浅谈“转化思想”在初中数学解题中的应用

浅谈“转化思想”在初中数学解题中的应用布卢姆在教育目标分类学明确指出：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。如果学生在掌握双基的同时，接受了数学思想，学会了数学方法，就能激发学习数学兴趣，提高分析问题和解决问题的能力，并为以后的学习数学打下坚实的基础。下面结合自己多年的教学实践，谈谈在数学解题中常见的基本转化类型和转化方法。一、运用数与形之间的“转化”，化抽象为直观。初中数学是以“数”与“形”这两个基本概念为基础而展开的。初中数学新课程标准（以下简称新课标）在学习内容中要求：“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”例1：一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形是几边形？一次函数Y=KX一定过那一点，当K0时此函数在那个象限？分析：题属于用代数方法来解决几何问题（可列方程）；题属于用几何方法来解决代数问题（可用坐标系画出此一次函数的大致图象再回答，这样把数与形结合起来较直观。）例2：如图，已知一次函数y1=x+m（m为常数）的图象与反比例函数y2=（k0）的图象相交于点A（1，3）。（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一个交B的坐标。（2）观察图象，写出使函数值y1y2的自变量的取值范围。分析：（1）本题要求函数解析式，只要把点A（1，3）代入函数关系式（点转化为数），即解得m=2，k=3。（2）要求两图象的另一交点B，只要解两个函数联立成的方程组，解得的另一组解（数转化为点），即得点B（-3，-1），此解题就是将数转化为形过程（使学生直接感受到抽象的方程组解，就是在平面直角坐标系中两个图象的交点的坐标）。（3）要写出函数值y1y2的自变量的取值范围（若转化为解分式不等式，则超出初中数学知识范围），本题可通过把形转化为数来解决；即通过观察图象可知：“所谓函数值y1y2，即在平面直角坐标系中就是直线在双曲线上方部分，此时自变量x的取值范围为：-3x1。”二、把生疏“转化”为熟悉，缩小接触新知识的陌生度例1已知两圆内切于T，过T点的直线交小圆于A，交大圆于B求证TA：TB为定值分析过T点的直线绕T旋转形成无数个不同的位置，其中过T的直径每个圆只有一条，要证TA：TB为定值，先将直线TAB过圆心，这时TA：TB=r：R在过T点任作一条直线交小圆于A，交大圆于B，连接AA、BB，即可把要求解的TA：TB为定值转化为证明三角形相似或证明平行线对应线段成比例。三、一般与特殊的转化例5：如图，在ABC中，AB=5，AC=7，B=60，求BC的长。分析：直角三角形是三角形中最特殊，最简单的情景，因此，构造Rt解题是转化的重要策略，如图过A作ADBC于D，此题便迎刃而解。四、复杂问题转化为简单问题复杂问题简化是数学解题中运用最普通的思考方法。一个难以直接解决的问题，通过深入观察和研究，转化为简单问题迅速求解。例2：解方程（xx-1）2-5（xx-1）+6=0分析：此方程形式较复杂，可通过换元化为简单方程。令xx-1=y，则y2-5y+6=0，通过换元转化为会解的一元二次方程可进一步求解。五、把综合问题“转化”为基础问题，变复杂的问题为简单。数学解题的过程是分析问题和解决问题的过程，对于较难（繁）的问题，通过分析将此转化成几个难度与学生的思维水平同步的小问题，再根据这几个小问题之间的相互联系，以局部知识的掌握为整体服务，从而找到解题的捷径。例：如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。（1）设AE=时，EGF的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。分析：本题通过以下几步转化：（1）把动点E转化为定点，一般学生见到动点就无从下手，找不到解题思路。只有将动点转化为定点，学生解题才能找到感觉，如何将动点转化为定点，就是我们常讲的“动中取静”。当点E在线段AB上运动，只可能存在三种情况，点E与点A重合，点E与点B重合，点E在线段AB上，通过观察分析不管点E在什么位置，EGF的面积=EFMG；（2）把线段EF转化用含x的代数式来表示；由M为AD中点，易证RtEAMRtFDM，得到EM=FM，在RtEAM中，由勾股定理得EM=，即EF=2；（3）把线段MG转化用含x的代数式来表示；作MNBC，构造RtMNGRtEAM，由相似三角形对应边成比例，得到MG=2；综合上述三次转化即得到EGF的面积为=22=2x2+2。由第一步的“动中取静”的转化可知：点E由点A移动到B，所以自变量x的取值范围0x2；只要在图中简单的画出点E分别在于A、B两点重合时，线段MG的中点P的位置，很容易得到线段MG的中点P运动的路线长为2。六、把实际问题“转化”为数学模型，体会数学与现实生活的密切联系。例：某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价销售量）分析：（1）要解决“销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？”问题，也就是把实际问题转化二次函数的极值问题：即每月利润=每件产品利润销售产品件数，得：w=（x-20）y=（x-20）（-10x+500），通过整理转化为二次函数w=-10x2+700x-10000，再由x=-，解得：x=35，即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润。（2）要解决“每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？”问题，即转化为列一元二次方程解应用题问题，由题意得：（x-20）（-10x+500）=2000，解这个方程得：x1=30，x2=40，所以要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元。（3）要解决售价、获利的在一定范围内的所需成本最低这一实际问题，则需将本题转化一次函数、二次函数有关性质来完成。二次函数w=-10x2+700x-10000，a=-10综上所述，数学转化思想是中学数学教育中最活跃，最实用的。其它的如不规则转化为