四川眉山市高中 2017 级第二次诊断性考试理科数学

1 四川眉山市高中 2017 级第二次诊断性考试 理科数学 第 卷 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一个选项 是符合题目要求的 1 集合 10Ax x 2 320Bx xx 则 R AC B A 1 1 B 1 2 C 1 2 D 1 11 答案 答案 C 解析解析 1 A 1 2 R C B 1 2 R AC B 故选 C 2 已知向量 4am 1bm 其中 m 是实数 则 2 m 是 ab 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 答案 A 解析解析 2 4 1402aba bmmmm 故选 A 3 已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 1 2 则下列结论正确的是 A 2z ii B 复数 z 的共轭复数是12i C 5z D 13 122 z i i 答案 答案 D 解析解析 12zi 122z iiii 故 A 不正确 复数 z 的共轭复数是12i 故 B 不正确 5z 故 C 不正确 1211213 11122 iii i iii 故 D 正确 4 已知函数 3 1 0 0 xx f x g xx 是奇函数 则 1g f 的值为 A 10 B 9 C 7 D 1 答案 答案 B 解析解析 112229g fgfgff 故 B 正确 2 5 给出以下四个命题 依次首尾相接的四条线段必共面 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行 那么这两个角必相等 垂直于同一直线的两条直线必平行 其中正确命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 答案 答案 B 解析解析 空间四边形的四条线段不共面 错 不共线的三点确定一个平面 对 两个角可以相等或者互补 错 垂直于同一直线的两条直线可以相交 可以平行 可以异面 错 6 函数 2 2 2cossincos2f xxxx 的一个单调递减区间是 A 4 4 B 3 8 8 C 5 88 D 59 88 答案 答案 C 解 析解 析 2 2 2cossincos2sin2cos22sin 2 4 f xxxxxxx 则 由 fx 单 调 递 增 有 35 222 24288 kxkkZkxk 故 C 正确 7 某校在高一年级进行了数学竞赛 总分 100 分 下表为高一 一班 40 名同学的数学竞赛成绩 55575961686462598088 98956073887486777994 971009997898180607960 82959093908580779968 下面的算法框图中输入的 1 a为上表中的学生的数学竞赛成绩 运行相应的程 序 输出m n的值 则m n A 6B 8C 10 D 12 答案 答案 D 解析解析 由题意得n的取值为成绩高于 90 分 包括 90 分 的人数 m的取值为 成绩高于 60 分 包括 60 分 且低于 90 分的人数 故24 m 12 n 所以 12mn 3 8 已知数列 n a 的前n项和为 n S 且 1 41 21 n n S a n 1 1a n N 则 n a 的通项公式 n a A nB 1n C 21n D 21n 答案 答案 C 解析解析 法法 1 由 1 41 21 n n S a n 得 1 21 41 nn naS 令1nn 得 1 23 41 nn naS 得 1 21 21 nn nana 即 1 2 2121 nn aa n nn 又 1 41 21 n n S a n 1 1a 所以 2 3a 所以 12 2121 aa 故 21 n a n 为常数列 即1 21 n a n 故21 n an 法 2 求解 23 aa 可得到答案 9 已知实数x y满足约束条件 220 220 2 xy xy x 则 22 xy 的取值范围是 A 2 5 2 2 5 B 4 8 5 C 2 8 5 D 1 8 答案 答案 B 解析解析 作出可行域 如图所示 22 xy 可理解为可行域内的点 x y和点 0 0 间距离的平方 结合图 可知 2 OC为 22 xy 的最大值 O到直线AB的距离的平方为 22 xy 的最小值 所以 m 2 ax 2 8xy m 2 2 n 2 i 2 4 55 xy 所以 22 xy 的取值范围 4 8 5 10 52 2 32 xxx的展开式中 5 x项的系数为 A 23 B 17C 20D 63 4 答案 答案 B 解析解析 5 x的系数有 3 项构成 与 2 x构成 5 x的部分为 233 5 2 xC 与x2 构成 5 x的部分为 2 44 5 xC 与3 构成 5 x的部分为 55 5x C 故 5 x的系数为 5 5 4 5 3 5 344CCC 17 11 高斯是德国著名的数学家 近代数学奠基者之一 享有 数学王子 的称号 用其名字命名的 高斯函 数 为 设Rx 用 x表示不超过x的最大整数 则 xy 称为高斯函数 例如 1 5 0 1 5 1 已知函数 4234 2 1 x x xf 20 x 则函数 xfy 的值域为 A 2 3 2 1 B 1 0 1 C 2 1 0 1 D 2 1 0 答案 答案 B 解析 解析 设 x t2 4 1 t 2 1 3 2 1 43 2 1 22 tttxf 2 3 2 1 xf 1 0 1 xf 12 如图 圆锥底面半径为 2 体积为 2 2 3 ABCD 是底面圆O的两条互相垂直的直径 E是母线PB 的中点 已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分 则该抛物线的焦点到圆 锥顶点P的距离等于 A 1 2 B 1C 10 4 D 5 2 答案 答案 D 解析 解析 将抛物线放入坐标系 如图所示 将抛物线放入坐标系 如图所示 2 PO 1 OE 2 OCOD 1 2 C 设抛物线 2 2ypx 代入 C 点 可得 2 2yx 焦点为 1 0 2 即焦点为OE中点 设焦点为F 1 2 EF 1 PE 5 2 PF 故选 D 解析点评 以抛物线为载体 实则考查的是圆锥的基本量的计算 包含高 母线 体积 难度不大 解析点评 以抛物线为载体 实则考查的是圆锥的基本量的计算 包含高 母线 体积 难度不大 5 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知等差数列 n a 的前n项和为 n S 且 476 3aaa 则 9 S 答案 答案 27 解析解析 由等差数列 n a 得 47566 3aaaaa 所以 5 3a 故 95 927Sa 14 如图 1 F 2 F分别是双曲线的左 右焦点 过 2 F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A B两点 若 2 F AAB 12 0FB F B 则双曲线C的离心率为 答案 答案 2 解析解析 由题意 得A为 2 BF的中点 且 1 AO BF 又 12 0FB F B 所以 2 AOBF 所以 21 60AOFBOFAOB 故tan603 b a 所以 3ba 2222 34caaa 即 2 c e a 15 已知正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 2 点P是上底面 1111 ABC D内一动点 若三棱锥P ABC 的外接球 表面积为 41 4 则点P构成的图形围成的面积为 答案 答案 解析 解析 设三棱锥设三棱锥PABC 外接球半径为外接球半径为R 由由 2 41 4 4 R 得得 2 41 16 R 设下底面中心为设下底面中心为E 上底面中心为上底面中心为F 易易 知球心知球心O在在EF连线上连线上 正方体棱长为正方体棱长为 2 2AE 在在RtAOE 中 中 AOR 故 故 222 9 16 OERAE 则则 3 4 OE 35 2 44 OF 连接连接PF PO 在在RtPOF 中中 POR 222 1 PFRFOF 1PF 即即 P点轨迹为以点轨迹为以F为圆心 半径为为圆心 半径为 1 的圆 其面积为的圆 其面积为 6 16 函数 exf xa 与 1g xx 的图象上存在关于x轴的对称点 则实数a的取值范围为 答案 答案 1 解析解析 题意转化为 0f xg x 有解 即e10 x ax 1 ex x a 令 1 ex x h x 则 0 ex x h x 0 x 0 1h 且 h x在 0 上单调递增 在 0 上单调递减 则 h x在 0 x 处取得最大值 1h x 故 1a 解析点评 关键把题意转化成方程有解求参数的问题 解析点评 关键把题意转化成方程有解求参数的问题 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 如图 EFGH是矩形 ABC 的顶点C在边FG上 点 A B分别是EF GH上的 动点 EF的长度满足需求 设BAC ABC ACB 且满足 sinsinsin coscos 1 求 2 2 若5FC 3CG 求 53 ACBC 的最大值 答案答案 1 2 2 2 解析解析 解法解法 一 一 易得sin sin sin coscos 化简得sin cossincos0 又 sin0 sin 0 则cos 0 故 2 二 二 角化边角化边 设BCa ACb ABc 由正弦定理和余弦定理得 222222 22 bcaacb abc bcac 化简得 222 abc 故 2 3 设ACF 由 1 可知CBG 则 53 cossin2sin 4ACBC 当 42 时 即 4 53 ACBC 取得最大值 且最大值为 2 解析点评 第一问利用三角恒等变换化简原式即可 第二问把所求的式子化成三角函数表达式即可 解析点评 第一问利用三角恒等变换化简原式即可 第二问把所求的式子化成三角函数表达式即可 18 在某社区举行的 2020 迎春晚会上 张明和王慧夫妻俩参加该社区的 夫妻蒙眼击鼓 游戏 每轮游戏中 张明和王慧各蒙眼击鼓一次 每个人击中鼓则得积分 100 分 没有击中鼓则扣积分 50 分 最终积分以家庭 为单位计分 已知张明每次击中鼓的概率为 3 4 王慧每次击中鼓的概率为 2 3 每轮游戏中张明和王慧击中与 否互不影响 假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏 1 若家庭最终积分超过 200 分时 这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机 问张明和王慧他们家庭可以 领取一台全自动洗衣机的概率是多少 7 2 张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和 的分布列和数学期望 E 答案答案 1 2 3 2 分布列见解析 数学期望为 分布列见解析 数学期望为 225 分分 解析解析 1 由题意 当家庭最终积分超过 200 分时 这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机 所以想领取 一台全自动洗衣机 则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓 设事件 i A为 张明第i次击中 事件 i B为 王慧第i次击中 1 i 2 由事件的独立性和互斥性可得 12121212121212121212 张明和王慧家庭至少击中三次鼓 PP A A B BP A A B BP A A B BP A A B BP A A B B 2 3 2 所有的取值为200 50 100 250 400 11111 4433144 200 P 111231115 2 4433443372 50 P 13123311112237 4 443344334433144 100 P 33221 44334 400 P 的分布列为 200 50 100250400 P 1 144 5 72 37 144 5 12 1 4 153751 20050100250400225E 分 19 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1 224ABBCAA E为 11 AD的中点 N为BC的中点 M为 线段 11 C D上一点 且满足 111 1 4 MCDC F为MC的中点 1 求证 EF平面 1 ADC 2 求二面角 1 NACF 的余弦值 8 答案答案 1 略 略 2 2 70 35 解析解析 1 法一 作 1 D D的中点H 连接EH FH 又E为 11 AD的中点 EH 为 11 ADD 的中位线 1 EH AD 又F为MC的中点 FH 为梯形 1 D DCM的中位线 FH CD 在平面 1 ADC中 1 ADCDD 在平面EHF中 EHFHH 平面 1 ADC平面EHF 又EF 平面EHF EF 平面 1 ADC 另解 法二 在长方体 1111 ABCDABC D 中 DA DC 1 DD两两互相垂直 建立空间直角坐标系 Dxyz 如图所示 则 0 0 0D 0 0A 2 2 4 0 B 0 4 0 C 1 0 0 2D 1 2 0 2A 1 2 4 2B 1 0 4 2C 1 0 2E 1 4 0N 0 3 2M 7 0 1 2 F 1 设平面 1 ADC的一个法向量为 mx y z 则 1 1 0 2 0 2 00 2 4 2 020 0 m ADx y zxz x y zxyz m AC 令1x 则1z 0y 1 0 1m 又 7 1 1 2 EF 0EF m EFm 又EF 平面 1 ADC EF 平面 1 ADC 9 2 设平面 1 ACN的一个法向量为 111 nx y z 则 1111111 111111 1 0 1 4 2 0420 2 4 2 020 0 n A Nx y zxyz x y zxyz n AC 令 1 1y 则 1 2z 1 0 x 0 1 2n 同理可算得平面 1 AFC的一个法向量为 1 3 2 1m 1 1 1 2 70 cos 35 mn m n mn 又由图可知二面角 1 NACF 的平面角为一个钝角 故二面角 1 NACF 的余弦值为 2 70 35 解析点评 解析点评 第第 1 问的解法一是通过平面与平面平行的性质得到线面平行问的解法一是通过平面与平面平行的性质得到线面平行 传统法要求学生对平面几何传统法要求学生对平面几何 的性质要熟悉的性质要熟悉 特别是辅助线的添加是关键特别是辅助线的添加是关键 解法二通过向量法给与了证明解法二通过向量法给与了证明 要求学生的计算必须过关要求学生的计算必须过关 第第 2 问的关键是准确算出平面向量的法向量 然后套公式即可 最后要注意是钝二面角 问的关键是准确算出平面向量的法向量 然后套公式即可 最后要注意是钝二面角 属于常规题属于常规题 20 已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 且椭圆C的一个焦点与抛物线 2 4 3yx 的焦点重合 过点 1 0E 的直线l交椭圆C于 11 M x y 22 N xy 两点 O为坐标原点 1 若直线l过椭圆C的上顶点 求MON 的面积 2 若A B分别为椭圆C的左 右顶点 直线MA NB MB的斜率分别为 1 k 2 k 3 k 求 312 kkk 的值 答案答案 1 4 5 2 1 解析解析 1 由题意可知 3 2 c e a 且抛物线焦点与椭圆焦点相同 3 0F 3 c 2 a 2 431b 即椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 设点M为椭圆的上顶点 即 0 1M 1 MN k 直线MN的直线方程为 10 xy 联立 2 2 88 1 4 55 1 0 MNN x y xxx xy 3 5 N y 83 55 N 10 1184 1 2255 MON SOMON 2 2 0 2 0 AB 11 M x y 22 N xy 设l的直线方程为 1xky 1 1 1 2 MA y kk x 2 2 2 2 MB y kk x 1 3 1 2 MB y kk x 3121323 kkkk kk k 其中 2 1 13 2 1 4 y k k x 因为M点在椭圆上 所以 2 21 1 1 4 x y 所以 2 2 1 1 13 2 2 1 1 4 1 4444 x y k k xx 又因为 2112 23 211212 2224 yyy y k k xxx xxx 联立 2 2 1 4 1 0 x y xky 化简得 22 4 230kyky 由韦达定理得 12 2 3 4 y y k 因为 1212 2 8 2 4 xxk yy k 2 2 121212 2 4 1 1 4 k x xk y yk yy k 所以 2 2112 23 2 211212 22 3 3 4 222444 1 16 4 4 4 yyy y k k k xxx xxxk kk 所以 3121 323 13 1 44 kkkk kk k 解析点评 第一问利用椭圆与抛物线焦点重合和 解析点评 第一问利用椭圆与抛物线焦点重合和 3 2 e 两个条件先求出椭圆方程 然后利用直线和椭圆两个条件先求出椭圆方程 然后利用直线和椭圆 相交求出点相交求出点 N 坐标坐标 从而求出三角形面积从而求出三角形面积 第二问通过将第二问通过将 312 kkk 用用 12 xx 12 x x 12 yy 12 y y表示出表示出 来 然后直线和椭圆方程联立进行求解来 然后直线和椭圆方程联立进行求解 21 已知函数 2 exf xax 1 已知直线01 yxl 012 1 yxl 若直线 2 l与 1 l关于l对称 又函数 xf在1 x处的切线与 2 l 垂直 求实数a的值 11 2 若函数 e2 1g xx 则当 0 x 1 a时 求证 xgxf ee1 ln1 x xxx 答案答案 1 e 1 2 a 2 见解析 解析解析 1 由 由 022 01 yx yx 解得 解得 0 1 y x 2 l必过必过 1 l与与l的交点的交点 0 1 A 在 1 l上取点 2 0 B 易得点 2 0 B关于l对称的点 1 1 B 2 l即为直线B A 所以 2 l的斜率为 2 1 e2 x fxax 1 e2fa 由题意 1e e2 11 22 aa 2 令 2 e e2 1 x h xf xg xxx e2 e2 x h xx e2 x hx 当 2ln x 0 x h x h 单调递减 当 2 ln x 0 x h x h 单调递增 注意到0 1 h min ln2 4e2ln20h xh 0 3e0 h 存在唯一 2ln 0 0 x 使得0 0 x h 所以当 0 0 xx 0 x h xh递增 当 1 0 xx 0 x h xh递减 1 x 0 x h xh递增 又0 1 0 hh 所以对任意0 x 都有0 xh 即 xgxf 先证明 1ln xx 构造函数1ln xxx x x x x 1 1 1 易得 x 在 1 0 单调递增 在 1 单调递减 故0 1 x 12 即1ln xx 故有21ln xx 有xxxxxx2 2 1 ln 2 由 知 2 ee12 x xxx 所以ee1 ln1 x xxx 恒成立 解析点评 解析点评 1 考查线线对称 可以选择两个特殊点求解 再利用斜率之积为 考查线线对称 可以选择两个特殊点求解 再利用斜率之积为1 即可即可 2 观察到观察到 0 1 h 以及利用零点定理确定在以及利用零点定理确定在 2ln 0 存在唯一的零点存在唯一的零点 这样可以画出一阶导数的走势图这样可以画出一阶导数的走势图 包括与包括与x轴轴 的位置关系的位置关系 从而知道从而知道 xh的单调性的单调性 问问 观察观察 和要证明的不等式和要证明的不等式 采用中间函数采用中间函数xxy2 2 来证来证 明明 22 在平面直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 2cos sin x y 为参数 将曲线C经过伸缩变换 1 1 2 xx yy 后得到曲线 1 C 在以原点为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 直线l的极坐标方程为 cossin50 1 说明曲线 1 C是哪一种曲线 并将曲线 1 C的方程化为极坐标方程 2 已知点M是曲线 1 C上的任意一点 又直线l上有两点E和F 且 5EF 又点E的极角为 2 点F 的极角为锐角 求 点F的极角 EMF 面积的取值范围 答案答案 1 曲线 1 C为圆心在原点 半径为2的圆 1 2 C 2 8 25 225 2 5 5 44 解析解析 1 曲线C的参数方程为 2cos sin x y 为参数 且 1 1 2 xx yy 则曲线 1 C的参数方程为 1 1 2cos 2sin x y 为参数 曲线 1 C的普通方程为 22 11 4 xy 则曲线 1 C为圆心在原点 半径为2的圆 曲线 1 C的极坐标方程为2 2 点E的极角为 2 代入直线l的极坐标方程 cossin50 得点E的极径 5 且5 EF 则EOF 为等腰三角形 又直线l的普通方程为 50 xy 点F的极角为锐角 13 4 FEO 则 3 8 FOE 点F的极角为 3 288 解法解法 1 直线l的普通方程为 50 xy 曲线 1 C上的点M到直线l的距离 2 2sin 5 2cos2sin5 4 22 d 当sin 1 4 即2 4 k kZ 时 d取到最小值为 2 25 5 2 2 22 当sin 1 4 即 3 2 4 k kZ 时 d取到最大值为 2 25 5 2 2 22 EMF 面积的最大值为 15 225 2 5 2 5 224 EMF 面积的最小值为 15 225 2 5 2 5 224 故EMF 面积的取值范围为 25 225 2 5 5 44 解法解法 2 直线l的普通方程为 50 xy 圆C的半径为2 且圆心到直线l的距离 0055 2 2 22 d 所