第一轮数学：4.7三角函数的图象与性质三

4.7 三角函数的图象与性质（三）知识梳理1.能利用“五点法”作三角函数的图象，并能根据图象求解析式.2.能综合利用性质，并能解有关问题.点击双基1.（2003年春季上海）关于函数f（x）=sin2x（）|x|+，有下面四个结论，其中正确结论的个数为f（x）是奇函数 当x2003时，f（x）恒成立 f（x）的最大值是 f（x）的最小值是A.1B.2C.3D.4解析：显然f（x）为偶函数，结论错.对于结论，当x=1000时，x2003，sin21000=0，f（1000）=（）1000，因此结论错.又f（x）=（）|x|+=1cos2x（）|x|，1cos2x1，1cos2x.故1cos2x（）|x|，即结论错.而cos2x，（）|x|在x=0时同时取得最大值，所以f（x）=1cos2x（）|x|在x=0时可取得最小值，即结论是正确的.答案：A2.（2004年天津，12）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x0，时，f（x）=sinx，则f（）的值为A.B.C.D.解析：f（）=f（2）=f（）=f（）=sin=.答案：D3.（2004年全国，10）函数y=xcosxsinx在下面哪个区间内是增函数A.（，）B.（，2）C.（，）D.（2，3）解析：用排除法，可知B正确.答案：B4.（2004年全国，11）函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为A.B.C.D.2解析：y=sin4x+cos2x=（）2+=+=cos4x+.故最小正周期T=.答案：B5.y=5sin（2x+）的图象关于y轴对称，则=_.解析：y=f（x）为偶函数.答案：=k+（kZ）典例剖析【例1】 判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）.剖析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（x）的关系.解：定义域为R，又f（x）+f（x）=lg1=0，即f（x）=f（x），f（x）为奇函数.评述： 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件.【例2】 求下列函数的单调区间：（1）y=sin（）；（2）y=sin（x+）.剖析：（1）要将原函数化为y=sin（x）再求之.（2）可画出y=|sin（x+）|的图象.解：（1）y=sin（）=sin（）.故由2k2k+3kx3k+（kZ），为单调减区间；由2k+2k+3k+x3k+（kZ），为单调增区间.递减区间为3k，3k+，递增区间为3k+，3k+（kZ）.（2）y=|sin（x+）|的图象的增区间为k，k+，减区间为k+，k+.深化拓展（2）不用图象能求解吗?提示：y=.【例3】 （2003年春季北京）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理.解：由cos2x0得2xk+，解得x+（kZ）.所以f（x）的定义域为x|xR且x+，kZ.因为f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）=f（x），所以f（x）是偶函数.又当x+（kZ）时，f（x）=3cos2x1，所以f（x）的值域为y|1y或y2.评述：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.闯关训练夯实基础1.（2005年北京海淀区高三期末练习）函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数A.（，）B.（，2）C.（，）D.（2，3）解析：仿前面第3小题依次排除A、B、D.答案：C2.为了使y=sinx（0）在区间0，1上至少出现50次最大值，则的最小值是A.98B.C.D.100解析：49T1，即1，.答案：B思考：若条件改为在x0，x0+1上至少出现50次最大值呢？3.（2004年福建，11）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x3，5时，f（x）=2|x4|，则A.f（sin）f（cos）B.f（sin1）f（cos1）C.f（cos）f（sin）D.f（cos2）f（sin2）解析：由f（x）=f（x+2）知T=2，又x3，5时，f（x）=2|x4|，可知当3x4时，f（x）=2+x.当4x5时，f（x）=6x.其图如下，故在（1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数. 又由|cos2|sin2|，f（cos2）f（sin2）.答案：D4.若f（x）具有性质：f（x）为偶函数，对任意xR，都有f（x）=f（+x），则f（x）的解析式可以是_.（只写一个即可）答案：f（x）=a或f（x）=cos4x或f（x）=|sin2x|等.5.给出下列命题：正切函数的图象的对称中心是唯一的；y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为、；若x1x2，则sinx1sinx2；若f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（）=0.其中正确命题的序号是_.答案：6.当（0，）时，求y=.解：y=sincossin+cos.（1）当（0，时，有sincos，sin+cos0，y=cossinsincos=2sin.（2）当（，）时，sincos，sin+cos0，y=sincossincos=2cos.（3）当（，）时，有sincos，sin+cos0，y=sincos+sin+cos=2sin.培养能力7.设x0，f（x）=sin（cosx），g（x）=cos（sinx），求f（x）、g（x）的最大值.解：在x0，上，y=cosx是单调递减的，且cosx0，1，而y=sinx是单调递增的，且sinx0，1，f（x）=sin（cosx）0，sin1，g（x）=cos（sinx）cos1，1.f（x）的最大值是sin1，g（x）的最大值是1.8.若logcossinlogsincos（为锐角），求的取值范围.解：为锐角，0cos1，0sin1，logcossin0，logsincos0.原式就是logcossinlogsincos1（logcossin）21logcossin1sincos0.探究创新9.已知P（1，cosx），Q（cosx，1），x，.（1）求向量和的夹角的余弦用x表示的函数f（x）；（2）求的最值.解：（1）=2cosx，|=1+cos2x，f（x）=cos=.（2）cos=，x，cosx，1.2cosx+，f（x）1，即cos1.max=arccos，min=0.思悟小结1.函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小.2.当函数的定义域为关于原点对称的区间时，判断函数的奇偶性一般运用奇偶性的定义，有时亦可应用与定义等价的命题，如f（x）f（x）=1（f（x）0），则f（x）为偶函数，若f（x）f（x）=1（f（x）0），则f（x）为奇函数，或由f（x）f（x）=0来判断奇偶性.3.判断y=Asin（x+）（0）的单调区间，只需求y=Asin（x+）的相反区间即可，一般常用数形结合.而求y=Asin（x+）（0）单调区间时，则需要先将x的系数变为正的，再设法求之.（读者考虑为什么）教师下载中心教学点睛本节是图象和性质的综合应用的内容，例题讲解要突出数形结合思想、化归转化思想、分类讨论等数学思想方法，并注意三角知识的载体作用，注意和其他知识间的关联.拓展题例【例1】 判断f（x）=的奇偶性.正确解法：取x=，f（x）有意义，取x=，f（x）没有意义，故定义域关于原点不对称.f（x）是非奇非偶函数.常见错误及诊断：一些学生不分析定义域是否关于原点对称，而急于函数变