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文档简介

培优点十六 利用空间向量求夹角一、求直线与直线的夹角例1:在长方体中,则直线与所成角的余弦值为【答案】【解析】在长方体中,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设,则,设直线与所成角为,则,直线与所成角的余弦值为二、求直线与平面的夹角例2:正三棱柱的侧棱与底面边长相等,则与平面的夹角的余弦值为【答案】【解析】设,以为原点,建立空间直角坐标系坐标系如图,则,又平面的一个法向量,设与平面的夹角为,则,故三、求平面与平面的夹角例3:正方体中,二面角的大小是【答案】【解析】设正方体的棱长为,以为原点建立空间直角坐标系,设平面的法向量,则,取,得,设平面的法向量,则,取,得,设二面角的平面角为,二面角的大小为对点增分集训一、选择题1已知四面体中,平面平面,为边长的等边三角形,则异面直线与所成角的余弦值为()ABCD【答案】A【解析】根据题意画出图形如下图所示:平面平面,平面平面,平面以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系,则,异面直线与所成角的余弦值为2正方体的棱上(除去棱)到直线与的距离相等的点有个,记这个点分别为,则直线与平面所成角的正弦值为()ABCD【答案】D【解析】正方体的棱上到直线与的距离相等的点分别为:,的中点,的四等分点(靠近),假设与重合,的中点为,的四等分点(靠近)为,以为坐标原点,所在直线分别为,轴,建立空间直角坐标系,设,则,设平面的法向量,则,即,取,得,设直线与平面所成角为,则直线与平面所成角的正弦值为3如图所示,正方体的棱,的中点分别为,则直线与平面所成角的正弦值为()ABCD【答案】C【解析】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为,则,取平面的法向量为,设直线与平面所成角为,则,直线与平面所成角的正弦值为4在正方体中,点为的中点,则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为()ABCD【答案】B【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为,则,设平面的一个法向量为,所以有,即,解得,平面的一个法向量为,即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为二、填空题5在正方体中,分别是、的中点,则异面直线与所成角的余弦值为【答案】【解析】设正方体的棱长为,建立如图所示空间直角坐标系,则,异面直线与所成角的余弦值为6如图,在正方体中,分别为,的中点,则平面和平面所成二面角的正弦值为【答案】【解析】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为,则,设平面的一个法向量,则,取,得,平面的一个法向量,设平面和平面所成二面角为,则,所以三、解答题7如图,在底边为等边三角形的斜三棱柱中,四边形为矩形,过作与直线平行的平面交于点(1)证明:;(2)若与底面所成角为,求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)连接交于点,连接因为平面,平面,平面平面,所以又因为四边形为平行四边形,所以为的中点,所以为的中位线,所以为的中点又因为为等边三角形,所以(2)过作平面垂足为,连接,设,因为与底面所成角为,所以在中,因为,所以,因为平面,平面,所以又因为四边形为矩形,所以,因为,所以因为,平面,平面,所以平面因为平面,所以又因为,所以为的中点以为原点,分别以,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图则,因为,所以,因为,所以,设平面的法向量为

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