2019届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2019届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1已知集合，集合，则（ ）A B C D【答案】A【解析】,所以,故选A.2已知满足约束条件则的最小值为( )ABCD【答案】B【解析】做出可行域，根据图像，即可求解.【详解】做出可行域，如下图所示（阴影部分）：由，解得，由图像可得，当目标函数过点时，取得最小值为3.故选:B. 【点睛】本题考查二元一次不等式表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题.3如图是一个算法流程图，则输出的值是( )ABCD【答案】D【解析】根据循环体的运算定义，直到满足条件，退出循环体，输出，即可求出结论.【详解】；，输出6.故选:D【点睛】本题考查循环结构运行结果，属于基础题.4已知等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n项和公式进行判断即可【详解】若公比q1，则当a10时，则S20190成立，若q1，则S2019，1q与1q2019符号相同，a1与S2019的符号相同，则“a10”“S20190”，即“a10”是“S20190”充要条件，故选：C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n项和公式是解决本题的关键5要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点的( )A横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度B横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度C横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度D横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度【答案】C【解析】将化为根据三角函数伸缩、平移关系，即可求解.【详解】将函数的图象横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图像，再向左平移个长度单位，得到函数.故选:C.【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数图像变换关系，属于基础题.6已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，则的大小关系是（ ）ABCD【答案】C【解析】试题分析：函数是偶函数，在上是增函数，所以在上是减函数，【考点】函数奇偶性单调性7设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率等于( )ABCD【答案】B【解析】将直线与双曲线的渐近线方程联立，结合韦达定理，求出中点坐标，由，得出直线斜率为-3，求出关系，即可求解.【详解】双曲线的两条渐近线方程为，联立消去得，当，设中点为，则，解得，.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的渐近线的位置关系，合理设出渐近线方程是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.8，若方程的实数根个数有个，则的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】设，方程的实数根个数有个，根据已知条件，有两不大于1的解，结合图像与直线关系，即可求出的范围.【详解】设，方程的实数根个数有个，有两不大于1的解，由已知得，当， 当，当且仅当时，等号成立，做出的图像如下图所示：，所以 当时，则，有解得或 此时只有三个解，不合题意， 根据图像可得.故选:A.【点睛】本题考查复合函数根的个数求参数，换元结合函数图像是解题的关键，属于中档题.二、填空题9已知为虚数单位，则_.【答案】【解析】由复数的除法运算法则，即可求解.【详解】.故答案为:【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.10展开式中的常数项为_.【答案】【解析】写出展开式的通项，令的指数为零，即得常数项.【详解】展开式中第项为，令，所以常数项为.故答案为:-220【点睛】本题考查二项展开式中特定的项，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.11设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，则其外接球的表面积为_.【答案】【解析】将三棱锥补成长方体，转化为求长方体外接球的问题，利用长方体的对角线为外接球的直径，即可求解.【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，以三棱锥的侧棱为边补成长方体，则长方体相邻的三边长为，且长方体的外接球即为所求，对角线长为，外接球的半径为，所以所求的外接球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查球与锥的接切问题，将问题转化为熟悉几何体的外接球，可提高解题效率，减少计算量，属于基础题.12在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(为参数).若曲线与相交于两点，则线段的长等于_.【答案】8【解析】化为直角坐标方程，消去参数化为普通方程，联立方程，由韦达定理结合弦长公式，即可得出结论.【详解】展开得，得到为曲线的直角坐标方程，消去参数得，联立，消去，得，设，.故答案为:8.【点睛】本题考查极坐标方程与直线坐标方程互化，参数方程与普通方程互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系，要熟练掌握相交弦长公式，属于基础题.13如图在平行四边形中，已知，则的值是_.【答案】22【解析】根据基底表示再根据向量数量积化简，即得结果.【详解】【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决14已知，且在恒成立，则的值为_.【答案】【解析】等价于，在恒成立，只需，根据的对称轴分类讨论，求出在的最大值和最小值，结合不等式的性质，即可求解.【详解】，对称轴方程为，在恒成立，需，当时， ，得，不合题意舍去；当时， ，得，不合题意舍去； 当 得，代入得，.故答案为:.【点睛】本题考查二次函数的最值以及不等式的性质，考查分类讨论思想，属于较难题.三、解答题15已知函数.(1)求函数的最小正周期;(2)在中，角所对的边分别为，且满足，求的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】（1）用两角差余弦公式、辅助角公式，化简，即可求出周期；（2）用正弦定理将条件等式化为角，结合三角形内角和关系，可求出，求出的范围，整体替换结合正弦函数的值域，即可求解.【详解】(1)由，则的最小正周期;(2)由正弦定理:则，由，则，则，由，所以，由，则由，则，所以，则，所以.【点睛】本题考查三角函数恒等变换以及图像与性质，考查正弦定理边角互化，考查计算能力，属于中档题.16甲乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队人.随机播放一首歌曲， 参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分，答错得零分， 假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)若比赛前随机从两队的个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率;(2)用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和数学期望;(3)求两队得分之和大于4的概率.【答案】(1);(2)分布列见解析，;(3)【解析】（1）用求组合数的方法，求出从6人中抽取2人的抽法个数，再求出2人来自同一组的抽法个数，按求古典概型概率的方法，即可求解；（2）甲队中每人答对的概率均为，且每人答题时相互独立，答对者为本队赢得一分，甲队的总得分服从二项分布，即可求出分布列和期望；（3）两队得分之和大于4按互斥事件分为：总分和为5分包括甲队2分乙队3分和甲队3分乙队2分，总分和为6分甲乙各3分.分别求出以上各互斥事件的概率，然后相加，即可求出结果.【详解】(1)个选手中抽取两名选手共有种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有:种结果用表示事件:“从两队的个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队.”故从两队的个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为(2)由题意知，的可能取值为，且的分布列为:的数学期望.(3)用表示事件:“两队得分之和大于”， 包括:两队得分之和为，两队得分之和为，用表示事件:“两队得分之和为”，包括甲队分乙队分和乙队分甲队分.用表示事件:“两队得分之和为”，甲队分乙队分，【点睛】本题考古典概型概率以及互斥事件概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，解题的关键要把问题转化为二项分布，属于中档题.17如图，四边形是正方形，平面，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；（3）在线段上是否存在一点，使直线与直线所成的角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】试题分析：建立平面直角坐标系，由，证得平面建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；假设存在点，由共线向量基本定理得到点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线与直线所成角为转化为两向量所成的角为，由两向量的夹角公式求出点的坐标，得到的点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论解析：（1）平面，平面，又四边形是正方形，故，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，分别为，的中点，平面的一个法向量为，又，又平面，平面.（2），设为平面的一个法向量，则，即，取，得，设为平面的一个法向量，则，即，取得， ，平面与平面所成锐二面角的大小为.（3）假设在线段上存在一点，使直线与直线所成角为，设，其中，由，则，又，直线与直线所成角为，即，解得，在线段上存在一点，使直线与直线所成角为，此时.18已知数列中，且，其中.(1)求的值;(2)求数列通项公式;(3)求数列的前项和.【答案】(1)，;(2);(3)【解析】（1）用代入递推公式分别求出，再将，代入前一个递推公式，求出；（2）由递推公式可得，用累加法求出奇数项的通项公式，再由递推关系，求出偶数项的通项公式，即可求解；（3）根据通项公式将前项和分成奇数项和与偶数项分别求和，转化为求等比数列和常数列的和.【详解】(1)(2) 所以，所以，累加，得令，则，所以为奇数)令，则所以为偶数);所以(3)所以【点睛】本题考查求数列的通项公式，关键要寻找项之间的关系，考查用分组求和等价转化为求等比数列的和，考查计算能力，属于中档题.19如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点.(1)求直线的方程;(2)求的值;(3)设为常数，过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，分别交圆于点，记三角形和三角的面积分别为.求的最大值.【答案】(1);(2);(3)【解析】（1）连接，根据已知条件由，可得，从而有为等边三角形，可得出直线倾斜角为，即可求解；（2）由，椭圆方程化为，由（1）知，求出点坐标，进而求出直线方程，与椭圆方程联立，求出点坐标，即可求解；（3）设的方程为，与椭圆方程联立求出点坐标，进而求出，同理求出，求出以为自变量的目标函数，应用基本不等式，求出其最大值.【详解】(1)连接，则，且，又，所以.又，所以为正三角形，所以，所以直线的方程为.(2)由(1)知，由（1）知，点坐标为，的方程为，因为，即所以，故椭圆的方程为由，消去，得，或，所以 (3)不妨设的方程为，联立方程组整理得，在第一象限，得所以.用代替上面的，得圆方程为，联立整理得，或，得，所以，用代替上面的，得 所以因为当且仅当时等号成立，所以的最大值为.【点睛】本题考椭圆的性质应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程及圆的性质，考查计算能力和综合运用知识分析问题解决问题的能力，属于较难题.20已知函数f（x）（xb）（a），（b0），在（1，f（1）处的切线方程为（e1）xeye10（）求a，b；（）若方程f（x）m有两个实数根x1，x2，且x1x2，证明：x2x11【答案】（），（）见解析【解析】（）由题意利用导函数研究函数的切线方程，得到关于a,b的方程组，求解方程组并检验可得，.（）由（）可知，则在(-1，0)处的切线方程为，构造函数，结合新构造函数的性质分类讨论即可证得题中的不等式.【详解】（）由题意，所以，又，所以，若，则，与矛盾，故，.（）由（）可知， ， 设在(-1，0)处的切线方程为，易得，令即，当时，当时，设， ，故函数在上单调递增，又，所以当时，当时， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故.，设的根为，则又函数单调递减，故，故，设在(0,0)处的切线方程为，易得令，当时，当时，故函数在上单调递增，又，所以当时，当时， 所以函数在区间上单调