高中数学第一章1.3二项式定理第1课时课堂探究学案.docx

1.3 二项式定理 1课堂探究探究一 二项式定理(1)简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开，对于形式较复杂的二项式，在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形，然后再展开，以使运算得到简化，记准、记熟二项式(ab)n的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提(2)逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点a的指数是从高到低，b的指数是从低到高，a，b的指数和都相等，如果项的系数是正负相间，则是(ab)n的形式【典型例题1】(1)求4的展开式；(2)化简(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)思路分析：(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开(2)分析式子的结构形式，逆用二项式定理求解解：(1)方法一：直接利用二项式定理展开并化简：4C(2)40C(2)3C(2)22C(2)3C(2)0416x232x24.方法二：44(2x1)4C(2x)410C(2x)31C(2x)212C(2x)13C(2x)014(16x432x324x28x1)16x232x24.(2)原式C(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C1(x1)151x51.规律总结 熟记二项式(ab)n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便探究二 二项展开式中特定项的计算求展开式中的某些特定项时，应先确定哪些项是要求的项，再用通项公式求解常见问题：求常数项(未知量的指数为零)，求有理项(项的指数为整数)，求某一项注意某项的系数与二项式系数的区别【典型例题2】已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项思路分析：利用展开式的通项公式，求出当x的次数为0时n的值，再求解第(2)问、第(3)问解：(1)由通项公式知，展开式中第k1项为Tk1C()nkkCk.第6项为常数项，k5，且n520，n10.(2)由(1)知Tk1kC.令2，则k2.x2的系数为2C45.(3)当Tk1为有理项时，为整数，0k10，且kN*.令z，则k5z，z为偶数，从而求得当z2,0，2时，k2,5,8符合条件有理项为T3C2x2x2，T6C5，T9C8x2x2.规律总结 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk1Cankbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k0,1,2,3，n)(1)第m项：此时k1m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0，建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解探究三 利用二项式定理解决整除和余数问题用二项式定理解决anb整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1rn)的形式，利用二项展开式求解【典型例题3】试判断77771能否被19整除思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(761)77用二项式定理展开解：77771(761)7717677C7676C7675C76C176(7676C7675C7674C)由于76能被19整除，因此77771能被19整除规律总结 应用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系探究四 易错辨析易错点混淆二项展开式中项的系数与二项式系数【典型例题4】(x1)5的展开式中第4项的系数是()A10 B10 C20 D20错解：第4项的系数为