数字滤波器设计及在车辆称重中的应用毕业论文.doc

目目 录录 第第 1 章章 绪论绪论 1 1 1 研究背景与意义研究背景与意义 1 1 2 数字滤波器的发展数字滤波器的发展 1 1 3 设计的主要内容设计的主要内容 2 第第 2 章章 数字滤波器的简介数字滤波器的简介 5 2 1 数字滤波器的介绍数字滤波器的介绍 5 2 2 数字滤波器的分类数字滤波器的分类 6 第第 3 章章 FIR 滤波器设计及分析滤波器设计及分析 8 3 1 FIR 数字滤波器设计的基本思想数字滤波器设计的基本思想 8 3 2 方法一方法一 频率取样法设计频率取样法设计 FIR 数字滤波器数字滤波器 9 3 2 1 频率取样法设计的基本思路频率取样法设计的基本思路 9 3 2 2 频率取样法设计频率取样法设计 FIR 数字滤波器的实现数字滤波器的实现 10 3 3 方法二方法二 窗函数设计法设计窗函数设计法设计 FIR 滤波器滤波器 16 3 3 1 窗函数的介绍窗函数的介绍 16 3 3 2 基于窗函数方法的基于窗函数方法的 FIR 滤波器的原理及特性分析滤波器的原理及特性分析 17 3 4 方法三方法三 等效最佳一致逼近法设计等效最佳一致逼近法设计 FIR 数字滤波器数字滤波器 20 3 4 1 低通低通 21 3 4 2 高通高通 22 3 5 小结小结 三种方法的总结与对比三种方法的总结与对比 24 第第 4 章章 基于窗函数的基于窗函数的 FIR 滤波器的设计及在车辆动态试验中的应用滤波器的设计及在车辆动态试验中的应用 27 4 1 基于窗函数的基于窗函数的 FIR 滤波器设计滤波器设计 27 4 1 1 高通滤波器的设计高通滤波器的设计 27 4 2 2 低通滤波器的设计低通滤波器的设计 29 4 2 动态试验的介绍和应用动态试验的介绍和应用 31 第第 5 章章 结论结论 34 参考文献参考文献 36 致谢致谢 37 附录附录 38 附件附件 附件附件 1 开题报告开题报告 附件附件 2 译文及原文影印件译文及原文影印件 第第 1 1 章章 绪论绪论 1 1 研究背景与意义 随着信息时代和数字世界的到来 数字信号处理己成为当今一门极其重要的学 科和技术领域 数字信号处理在通信 语音 图像 自动控制雷达 军事 航空航 天 医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用 1 数字滤波器是数字信号处理的 重要基础 在对信号的滤波 检测及参数的估计等信号应用中 数字滤波器是使用 最为广泛的一种线性系统 2 在许多数字信号处理系统中 FIR滤波器是最常用的组 件之一 它完成信号预调 频带选择和滤波等功能 3 FIR滤波器在截止频率的边沿 陡峭性能虽然不及IIR滤波器 但是 考虑到FIR滤波器严格的线性相位特性和不像 IIR滤波器存在稳定性的问题 FIR滤波器能够在数字信号处理领域得到广泛的应用 4 MATLAB是一种面向科学和工程计算的语言 它集数值分析 矩阵运算 信号 处理和图形显示于一体 具有编程效率高 调试手段丰富 扩充能力强等特点 MATLAB的信号处理工具箱具有强大的函数功能 它不仅可以用来设计数字滤波器 还可以使设计达到最忧化 是数字滤波器设计的强有力工具 5 6 近 20 多年来 数字信号处理 DSP 技术紧紧围绕理论 实现及应用 3 个方面迅 速发展起来 广泛应用于众多的学科和领域 数字滤波技术就是 DSP 的一个主要部分 随着现代通信的数字化 DSP 包括数字滤波技术 变得更加重要 7 8 MATLAB 这 种用于科学和工程计算的高级语言 与其他高级语言相比具有独特的优点 MATLAB 工具箱为不同领域的用户提供了一条捷径 而 MATLAB 的信号处理工具箱为滤波器 的设计和谱分析提供了广泛的支持 9 1 2 数字滤波器的发展 滤波器在数值信号处理中有广泛的应用 为此我们将简单介绍滤波器 若滤波 器的输入 输出都是离散时间信号 那么 该滤波器的冲击响应 或滤波因子 也 必然是离散 的 我们称这样的滤波器为数字滤波器 digital filter 当用硬件实现 一个digital filter时 所需的元件是延迟器 乘法器和加法器 当在计算机上用软件实 现时 它就是一段线性褶积 或卷积 的程序 我们知道 模拟滤波器 analog filter 只能用硬件来实现 其元器件是r l c及运算放大器或开关电路 因此 digital filter的实现要比analog filter容易的多 而且易获得较为理想的效果 10 滤波器的种类很多 分类方法也不同 如可以从功能上分 也可以从实现方法 上分 或从设计方法上来分等等 但总的来说 滤波器可以分为两大类 即经典滤 波器和现代滤波器 经典滤波器是假定输入信号x n 中的有效信号和噪声 或干扰 信号成分各在不同的频 带 当x n 通过一个线性滤波系统后 可以将欲噪声信号成 分有效地去除 可是 如果有效信号和噪声信号的频率带相互重叠 那么经典的滤 波器将无能为力 现在的地质雷达信号处理中的滤波器主要采用经典的滤波器进行 处理 因此有时滤波效果较好 有时较差 11 现代滤波理论研究的主要内容是从含有噪声的数据记录 又称为时间序列 中 估计出信号的某些特征或信号本身 12 一旦信号被估计出 那么估计出的信号将比 原信号会有高的信噪比 现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号 利用它们的统 计特征 如自相关函数 功率谱 函数等等 导出一套最佳的估值算法 然后用硬件 和软件实现 目前现代滤波器主要有 维纳滤波器 卡尔曼滤波器 线性预测器 自适应滤波器等 很多专家将基 于特征分解的频率估计及奇异值分解算法都归入现 代滤波器的范畴 13 雷达信号处理分析系统中的信号分析中的滑动平均谱和常规处 理中的反褶积运算采用了现代 处理的部分功能 14 目前 雷达信号处理分析系统开发人员目前仍在摸索和试算现代滤波器处理的 各种算法 我想在不久的将来 必将推出在地质雷达中应用中效果极佳的现代滤波 器 15 1 3 设计的主要内容 车辆的动态试验是指对车辆的换档 转向及制动等动态过程进行的试验 试验 时需借助计算机采集转速 转矩等信号 通常这些信号以电压量的形式传输 由于 试验现场电磁环境恶劣 这些信号都不可避免地受到干扰 16 下面图1 1表示了测量 中电子干扰 噪声 的主要来源 显然 从中很难清晰地看出转矩的变化趋势 因此必 须对信号做滤波处理 17 电子噪声 自然噪声人为噪声电路噪声 天 体 噪 声 空 间 噪 声 点 火 电 机 感 应 热 噪 声 散 粒 噪 声 闪 烁 噪 声 图图 1 11 1 电子干扰 噪声 主要来源电子干扰 噪声 主要来源 相对于模拟滤波器而言 数字滤波器突出的优点是可以通过软件实现 不需要 专门的硬件电路 有硬件电路不可比拟的灵活性 而且 随着处理器速度的飞速增 长和FFT等各种快速算法的出现 使数字滤波器特别是软件实现的数字滤波器的实时 性足以满足大部分测试系统的要求 18 按对单位冲激响应的时间特性 数字滤波器可以分为IIR 无限冲激响应 滤波器 和FIR 有限冲激响应 滤波器 19 IIR滤波器的结构简单 能够以较低的阶数获得良好的幅频特性 因而乘法操作 少 运算量小 与模拟滤波器有对应关系 可以借助模拟滤波器成熟的设计理论类 比设计IIR滤波器 但是IIR滤波器由于有极点 因此系统只在一定条件下才是稳定的 并 且 由于引入了系统的 过去 输出值作为反馈 从而容易产生溢出 噪声和量化误差 而FIR滤波器是一种 全零点数字滤波器 稳定性好 易于理解和设计 它的缺点是 要达到高性能需要很多系数 运算里较大 因此需要平衡性能和运算址间的矛盾 但这点随着计算机计算性能的提高使其不在成为FIR滤波器突出的缺点了 20 而且 由于采用窗函数方法使FIR滤波器的设计简单明了 物理概念清晰 因此 在试验台 数据采集系统软件的池波环节设计中采用了基于窗函数方法的FIR滤波器 第第2 2章章 数字滤波器的简介数字滤波器的简介 2 1 数字滤波器的介绍 数字滤波器 Digital Filter 是由数字乘法器 加法器和延时单元组成的一种装置 其功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理 以达到改变信号频谱的目的 作为一种电子滤波器 数字滤波器与完全工作在模拟信号域的模拟滤波器不同 数 字滤波器工作在数字信号域 它处理的对象是经由采样器件将模拟信号转换而得到 的数字信号 由于电子计算机技术和大规模集成电路的发展 数字滤波器已可用计 算机软件实现 也可用大规模集成数字硬件实时实现 如今 数字滤波器广泛用于 数字信号处理中 如电视 VCD 音响等 数字滤波器是一个离散时间系统 按预定的算法 将输入离散时间信号转换为所 要求的输出离散时间信号的特定功能装置 应用数字滤波器处理模拟信号时 首先 须对输入模拟信号进行限带 抽样和模数转换 数字滤波器输入信号的抽样率应大于 被处理信号带宽的两倍 其频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复 特性 且以 折叠频率即 1 2 抽样频率点呈镜像对称 为得到模拟信号 数字滤波器处理的输出 数字信号须经数模转换 平滑 数字滤波器具有高精度 高可靠性 可程控改变特性 或复用 便于集成等优点 随着集成电路技术的发展 数字滤波器的性能不断提高 而成本却不断降低 数 字滤波器的应用领域也因此越来越广 数字滤波器有低通 高通 带通 带阻和全通 等类型 按照数字滤波器的特性 它可以被分为时不变的或时变的 线性与非线性的 因 果与非因果的 无限脉冲响应 IIR 与有限脉冲响应 FIR 等等 其中 线性时不 变的数字滤波器是最基本的类型 而由于数字系统可以对延时器加以利用 因此可以 引入一定程度的非因果性 获得比传统的因果滤波器更灵活强大的特性 相对于 IIR 滤波器 FIR 滤波器有着易于实现和系统绝对稳定的优势 因此得到广泛的应用 在 语言信号处理 图像信号处理 医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了很好的 发展 2 2 数字滤波器的分类 数字滤波器基本分为 IIR 和 FIR 两类 IIR 滤波器有以下几个特点 IIR 数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式 IIR 数字滤波器采用递归型结构 即结构上带有反馈环路 IIR 滤波器运算结构 通常由延时 乘以系数和相加等基本运算组成 可以组合成直接型 正准型 级联 型 并联型四种结构形式 都具有反馈回路 由于运算中的舍入处理 使误差不断 累积 有时会产生微弱的寄生振荡 IIR 数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果 如巴特沃斯 契比 雪夫和椭圆滤波器等 有现成的设计数据或图表可查 其设计工作量比较 小 对计 算工具的要求不高 在设计一个 IIR 数字滤波器时 我们根据指标先写出模拟滤波器 的公式 然后通过一定的变换 将模拟滤波器的公式转换成数字滤波 器的公式 IIR 数字滤波器的相位特性不好控制 对相位要求较高时 需加相位校准网络 在 MATLAB 下设计 IIR 滤波器可使用 Butterworth 函数设计出巴特沃斯滤波器 使用 Cheby1 函数设计出契比雪夫 I 型滤波器 使用 Cheby2 设计出契比雪夫 II 型滤 波器 使用 ellipord 函数设计出椭圆滤波器 下面主要介绍前两个函数的使用 与 FIR 滤波器的设计不同 IIR 滤波器设计时的阶数不是由设计者指定 而是根 据设计者输入的各个滤波器参数 截止频率 通带滤纹 阻带衰减等 由软件设 计出满足这些参数的最低滤波器阶数 在 MATLAB 下设计不同类型 IIR 滤波器均有 与之对应的函数用于阶数的选择 IIR 单位响应为无限脉冲序列 而 FIR 单位响应为有限的 IIR 幅频特性精度很 高 不是线性相位的 可以应用于对相位信息不敏感的音频信号上 FIR 是有限冲激响应 Finite Impulse Response 的简称 冲激响应是有限的意味着 在滤波器中没有发反馈 相较于 IIR 滤波器 FIR 滤波器有以下的优点 1 可以很容易地设计线性相位的滤波器 线性相位滤波器延时输入信号 却并不 扭曲其相位 2 实现简单 在大多数 DSP 处理器 只需要对一个指令积习循环就可以完成 FIR 计算 3 适合于多采样率转换 它包括抽取 降低采样率 插值 增加采样率 操作 无 论是抽取或者插值 运用 FIR 滤波器可以省去一些计算 提高计算效率 相反 如 果使用 IIR 滤波器 每个输出都要逐一计算 不能省略 即使输出要丢弃 4 具有理想的数字特性 在实际中 FIR 滤波器比 IIR 滤波器应用更广泛 缺少 反馈是关键 在计算机中实现 FIR 滤波器时 每个计算都产生数字错误 由于 FIR 滤波器没有反馈 因此不能够记住以前的错误 相反 IIR 滤波器的反馈可能导致错 误的积累 这个实际的影响就是 可以用更少的 bit 去实现与 IIR 滤波器相同精度的 滤波器 比如 FIR 滤波器通常用 16 位来实现的话 IIR 滤波器就通常需要 32 位 或者更多 5 可以用小数实现 不像 IIR 滤波器 FIR 滤波器通常可能用小于 1 的系数来实 现 如果需要 FIR 滤波器的总的增益可以在输出调整 当使用定点 DSP 的时 候 这也是一个考虑因素 它能使得实现更加地简单 第第 3 3 章章 FIR 滤波器设计及分析滤波器设计及分析 3 1 FIR 数字滤波器设计的基本思想 有限冲击响应 FIR 数字滤波器的转移函数为 3 1 1 0 N N n znhzH FIR滤波器的设计包括以下步骤 给出所需要的滤波器的技术指标 设计一个H z 使其逼近所需要的技术指标 实现所设计的H z FIR滤波器的冲激响应就是系统函数各次项的系数 所以设计FIR滤波器的方法之 一是 从时域出发 截取有限长的一段冲激响应作为H z 的系数 冲激响应长度N就是系 统函数H z 的阶数 只要N足够长 截取的方法合理 总能够满足频域的要求 这就是 FIR滤波器的窗口设计法 现在目标是设计一个线性相位的FIR数字滤波器 要求的理想频响为Hd ej 它是X 的周期函数 周期为2 因此 可以展开成傅里叶级数 3 2 jn d j enheH 式中hd n 为傅里叶系数 但是 我们不能以hd n 作为设计FIR数字滤波器的h n 因为hd n 一般是非因果的 且无 限长 物理上是不可实现的 为了解决这个问题 可以先把无限长的hd n 截短为有限长 序列 然后把有限长序列右移使之成为因果序列h n 用h n 近似hd n 设计出来的FIR滤 波器 其频响H ej 一定也是理想频响Hd ej 的近似 以上方法中的截短就是加窗 所以 称窗口设计 窗口法是以hd n 为媒介的时域设计法 而滤波器指标往往是在频域给出的 为此 要 由Hd ej 算出hd n 加窗后又从h n 算出hd n 来检验 当理想频响Hd ej 是任意曲线 或 者不存在明确的解析表达式时 求Hd n 就困难一些 因此 我们不得不想 能否不要频域 时域 频域地反复 所以我们采用频率采样法 频率采样法先对理想频响Hd ej 采样 得到样值H k 再利用插值公式直接求出系统 转换函数H z 以便实现 或者求出频响H ej 以便与理想频响进行比较 在 0 2 区间 上对Hd ej 进行N点采样 等效于时域以N为周期延拓 频率采样法的步骤可归纳为 a 给定理想频响Hd ej b 确定采样点数 对理想频响采样得到H k c 代入下式 即得FIR数字滤波器的转移函数 3 3 1 0 1 1 1 N K K N N ZW kH N z zH 频率采样法可以看做为插值法 它在采样的Xi上保证Hd ej 等于Hd ej i 而在非插值点 采样点 上 H ej 是插值函数的线性叠加 这种方法的缺点是通带和阻带的边缘要精确 确定 窗口法的矩形窗是一种最小平方逼近法 它不能保证在每个局部位置误差都很小 由此我们看穿口法的设计 3 2 方法一 频率取样法设计 FIR 数字滤波器 3 2 13 2 1 频率取样法设计的基本思路频率取样法设计的基本思路 频率取样法先对理想频响 Hd ej 抽样 得到样值 H k 再利用插值公式直接求出系 统函数 H z 以便实现之 或者求出频响 H ej 以便与理想频响作比较 在 0 2 区间上对 Hd ej 进和行 N 点采样 等效于时域以 N 为周期延拓 设理想频响 Hd ej 的采样是 H k k 0 1 N 1 则其 IDFT 是 3 4 1 1 1 N N nk N WkH n nh 则 FIR 滤波器的系统函数可写为 3 3 式 1 0 1 1 1 N K K N N ZW kH N z zH 所以当采样点数 N 已知后 便是常数 只要采样值 H k 确定 则系统函数 H z K N W 就可以确定 要求的 FIR 滤波器就设计出来拉 若 H k Hd ej 2 k N Hkej k Hk 和 k 分别是对幅度函数 H 和相位函数 的第 k 个抽样点 在 X 0 2 内的 N 个样点 则约束条件为 3 10 Nk mNm kNHk 5 频率取样法分为 型和型 型取样 k k2 N k 0 1 N 1 即 N 个频率样点是 X 0 2 N N 1 2 N 型取样是将 型取样的 N 个样点偏移 N 即 k k2 N N k 0 1 N 1 N 个频率样点是 N 3 N 2 N 型取样和 型取 样又可分为 N 为奇数和 N 为偶数两种情况 根据给出的技术指标 我在这采用 N 为奇 数的 型取样 3 2 23 2 2 频率取样法设计频率取样法设计 FIRFIR 数字滤波器的实现数字滤波器的实现 当理想频响 Hd ej 是任意曲线 或者不存在明确的解析表达式时 求 Hd n 就困难 一些 因此 我们不得不想 能否不要频域 时域 频域地反复 而直接从频域来设计呢 这 就是采用 FIR 滤波器的频域设计法 频率采样法 频率采样法先对理想频响 Hd ej 采样 得到样值 H k 再利用插值公式直接求出系 统转换函数 H z 以便实现 或者求出频响 H ej 以便与理想频响进行比较 在 0 2 区 间上对 Hd ej 进行 N 点采样 等效于时域以 N 为周期延拓 频率采样法的步骤可归纳 为 a 给定理想频响 Hd ej b 确定采样点数 对理想频响采样得到 H k c 代入下式 即得 FIR 数字滤波器的转移函数 3 3 频率采样法可以看做为插值法 它在采样的 i上保证 H ej i 等于 Hd ej i 而在 非插值点 采样点 上 H ej 是插值函数的线性叠加 这种方法的缺点是通带和阻带 的边缘要精确确定 窗口法的矩形窗是一种最小平方逼近法 它不能保证在每个局部位 置误差都很小 如下为设计一技术指标为 一线性相位低通滤波器中截止频率为 15Hz S 12s 的 低通滤波器 设计过程 MATLAB 中滤波器设计的函数采用的是归一化频率 首先要将截止频 率化为归一化频率 归一化频率为 3 2 srad srad s 实际模拟频率 6 该程序除了给出设计滤波器的理想低通频谱取样点图 频率取样法设计的低通脉 冲响应图以及滤波器的低通衰耗特性图 还给出一个由两个正弦频率混合得到的信号 通过该滤波器后得到的时域波形和幅频波形同时为了增大阻带衰耗 采用增加过渡带 样点 比如在两边过渡带取一个值为 014 的过渡带取样点 如理想低通频谱取样点图 所示 用频率取样法设计的源程序如下 Fs 50 N 25 tao n 1 2 Wc 2 15 50 M fix wc 2 n 1 Omega 0 n 1 pi n Abs h ones 1 m 0 4 zeros 1 n 2 m 1 0 4 ones 1 m 1 H abs h exp j tao omega H ifit h Figure 1 Subplot 2 1 1 stem omega abs h Subplot 2 1 2 stem omega abs h Hh fit h 512 Hh db 20 log10 abs hh Figure 2 Omega 0 255 pi 256 Set gca tick 120 20 20 3 0 T 0 99 fs S sin 2 pi t 10 sin 2 pi t 10 sin 2 pi t20 Sf fft s 512 Figure 3 Subplot 3 1 1 plot 0 5 1 length y 1 y Subplot 3 1 3 plot w1 abs yf 1 256 运行够后得到下面图 图图 3 2 13 2 1 理想低通频谱取样点及频率取样法设计的低通脉冲响应理想低通频谱取样点及频率取样法设计的低通脉冲响应 图图3 2 23 2 2 滤波器的低通衰耗特性滤波器的低通衰耗特性 图图3 2 33 2 3 混合信号通过滤波器后的时域和幅频波形混合信号通过滤波器后的时域和幅频波形 测试频率是 10Hz 和 20Hz 通过滤波器后 20Hz 大于截止频率 所以被滤除掉 而 10Hz 小于截止频率所以得以通过滤波器 通过图 3 2 可以看出滤波器的各项时域 和频域指标均达到了要求 上面的 FIR 滤波器的系统函数表达式具有零点和极点 因此 由它描述的 FIR 滤波器与 IIR 滤波器类似的递归形式 利用 DFT 的共轭对称性 系统函 数改写为 3 7 2 1 2 1 0 1 0 11 zHkH Z NH Z H N z zH k L k N 这里 N 为奇数 L N 1 2 且 H N 2 项消失 Hk z 是二阶子系统 实际中用到的 FIR 滤波器 一般来说都具有很高的阶 即 N 值较大 首先需要用 M 文件编程形式给出频率 采样形式的各个参数 即各并联分支的二阶子系统的系统函数然后再用 Simulink 来模 拟 FIR 滤波器 确定频率采样结构参数的源程序如下 function c b a fitfs h c 包含各并联部分增益的行向量 b 包含按行排列的分子系数矩阵 a 包含按行排列的分母系数矩阵 h FIR 滤波器的单位脉冲响应向量 N length h H fft h N 求脉冲响应的 DFT MagH abs H angH angle H L N 1 2 a1 1 1 0 c1 real H 1 k 1 L c b zeros L 2 a ones L 3 初始化矩阵 b a a 1 L 2 2 cos 2 pi k N a a a1 设置 a 矩阵的第二列 b 1 L 1 cos angH 2 L 1 c 设置 b 矩阵的第一列 b 1 L 2 cos angH 2 L 1 c 2 pi k N 设置 b 矩阵的第二列 e 2 magH 2 L 1 cl c 设置增益矩阵 将上面程序中求得的单位脉冲响应向量 h 代入到 fitfs 子函数中求得各参数如下 c 0 63740 6374 2 00000 5358 0 5358 2 00006 1232e 17 0 7705 2 00001 00000 8090 2 00000 3162 0 0552 2 00000 44720 3316 2 0000 2 0000 a 0 80001 0000 1 93721 000 5 5511e 161 0000 1 75261 0000 2 2204e 161 0000 1 45791 0000 4 3885e 171 0000 1 07171 0000 4 3444e 161 0000 0 61801 0000 1 00001 0000 0 12561 0000 b 1 00000 37481 0000 0 99210 99211 00000 85161 0000 0 9686 0 96861 00001 27481 0000 0 9298 0 92981 00001 61801 0000 0 8763 0 87631 00001 85961 0000 0 80900 80901 00001 98421 0000 0 7290 0 72901 0000 1 00000 图图3 2 43 2 4 系统仿真图系统仿真图 根据以上给出的参数 用Simulink来设计实现该FLR滤波器的框图如图 3 4 其 中 分别是倍乘器 加法器和延迟单元 倍乘器是Simulink模块下的Math子模块中的 Gain模块实现 它将输入乘以增益输出 加法器是Simulink模块下的Math子模块中的 Sum模块实现 实现两个或多个输入相加 并送到输出端 延迟器是DSPBlockset模块下 的SignalOperations子模块下的IntergerDelay模块实现 它将输入信号延迟一个样本 6 上 面是用频率取样法设计的FIR滤波器的单位脉冲响应的波形图 下面是用Simulink仿真 实现的FIR滤波器的单位脉冲响应的波形图 通过对比 可以看出两种情况下的单位脉 冲响应是完全一样的 因此这样实现的FIR滤波器是完全满足上面设计的FIR滤波器的 各项参数的 3 3 方法二 窗函数设计法设计 FIR 滤波器 3 3 13 3 1 窗函数的介绍窗函数的介绍 窗函数设计法是一种通过截短和计权的方法使无限长非因果序列成为有限长脉 冲响应序列的设计方法 通常在设计滤波器之前 应该先根据具体的工程应用确定 滤 波器的技术指标 在大多数实际应用中 数字滤波器常常被用来实现选频操作 所以指标的形式一般为在频域中以分贝值给出的相对幅度响应和相位响应 用窗函数法设计 FIR 滤波器的步骤如下 1 根据过渡带宽及阻带衰减要求 选择窗函数的类型并估计窗口长度 N 或 阶数 M N 1 窗函数类型可根据最小阻带衰减 AS独立选择 因为窗口长度 N 对 最小阻带衰减 AS没 有影响 在确定窗函数类型以后 可根据过渡带宽小于给定指 标确定所拟用的窗函数的窗口长度 N 设待求滤波器的过渡带宽为 它与窗口长 度 N 近似成反比 窗函数类型确定后 其计算公式也确定了 不过这些公式是近似 的 得出的窗口长度还要在计算中逐步修正 原则是在保证阻带衰减满足要求的情 况下 尽量选择较 小的 N 在 N 和窗函数类型确定后 即可调用 MATLAB 中的窗 函数求出窗函数 wd n 2 根据待求滤波器的理想频率响应求出理想单位脉冲响应 hd n 如果给出待 求滤波器的频率响应为 Hd ej 则理想的单位脉冲响应可以用下面的傅里叶反变换 式求出 3 1 2 jwjw ddh nH ee dw 8 在一般情况下 hd n 是不能用封闭公式表示的 需要采用数值方法表示 从 0 到 2 采样 N 点 采用离散傅里叶反变换 IDFT 即可求出 3 计算滤波器的单位脉冲响应 h n 它是理想单位脉冲响应和窗函数的乘积 即 h n hd n wd n 在 MATLAB 中用点乘命令表示为 h hd wd 4 验算技术指标是否满足要求 为了计算数字滤波器在频域中的特性 可调 用 freqz 子程序 如果不满足要求 可根据具体情况 调整窗函数类型或长度 直到 满足要求为止 使用窗函数法设计时要满足以下两个条件 1 窗谱主瓣尽可能地窄 以获得较陡的过渡带 2 尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度 也就是使能量尽量集中于主瓣 减 小峰肩和纹波 进而增加阻带的衰减 根据工程经验 给定的滤波器指标参数一般为通带截止频率 p 阻带截止频率 s 实际通带波动 Rp和最小阻带衰减 As 窗函数设计的经验公式为 归一化过渡带 2 sp 滤波器阶数 7 95 14 36 sA M 当50 时 sA 0 1102 8 7 sA 当 2150 时 sA 0 4 0 5842 21 0 07886 21 ssAA 在实际工程中常用的窗函数有五种 即矩形窗 三角窗 汉宁窗 海明窗和凯 泽窗 这些窗函数在 MATLAB 中分别用 boxcar triang hanning hamming kaiser 实现 它们之间的性能比较如表 1 所示 表表 3 13 1 5 5 种窗函数的性能比较种窗函数的性能比较 窗类型旁瓣峰值主瓣峰值最小阻带衰减 矩形窗13dB4 M21dB 三角窗25dB8 M25dB 汉宁窗31dB8 M44dB 海明窗41dB8 M53dB 凯泽窗57dB12 M74dB 3 3 2 基于窗函数方法的基于窗函数方法的FIR滤波器的原理及特性分析滤波器的原理及特性分析 下式 3 9 表示的是理想FIR滤波器的复频域传递函数 3 9 jn T dd n Hjh nT e 3 10 sin cc d c TnT h nT nT 式中 c 截止频率 rad s s 采样频率 rad s T 采样周期 s 线性相频特性的斜率 实际应用中是不可能实现这样一个具有无穷多个系数的滤波器的 不可避免地 要将 3 9 式截断 从 3 9 式右侧的无穷项Fourier级数中截尾 取出有限项 构成有 限序列 使之具有 01 0 dh nTnN h nT O t hern 也就是 3 dh nTh nTw nT 11 3 101 0 nN w nT O t hern 12 可以证明 N 1 2 则 3 10 式可变为 3 1 si n 2 1 2 c c c N nT T h nT N nT 13 在复频域中相当于 3 dH jH jWj 14 3 21 00 1 2 si n 2 si n 2 NN j n Tj n T nn N j WjWnT ee N T e T 15 综合 3 14 3 15 式 我们可以确定窗口宽度N的选择将涉及以下因素 1 N增大 W j 主瓣的频谱范围变窄 则获得的H j 将更趋近于理想滤波器的 Hd j 但计算量增加 2 N减小 W nT 变窄 而W j 主瓣的频谱范围变宽 导致H j 对Hd j 异 3 N值不能改变主瓣与旁瓣的相对比例 用 MATLAB 实现 cjf2 1 m Clear close all N 21 wc pi 4 理想低通滤波器参数 n 0 N 1 r N 1 2 hdn sin wc n r pi n r 计算理想低通单位脉冲响应 nhn if rem N 2 0 hdn r 1 wc pi end N 为奇数时 处理 n r 点的 0 0 型 wn1 boxcar N 矩形窗 hn1 hdn wn1 加窗 wn2 hamming N hamming 窗 hn2 hdn wn2 加窗 w 2 0 511 512 hw1 fft hn1 512 hw2 fft hn2 512 subplot 2 2 1 作图 stem n hn1 grid xlabel n ylabel h n title 矩形窗设计的 h n 图形划分及标注语句 subplot 2 2 2 plot w 20 log10 abs hw1 grid xlabel w pi ylabel Magnitude dB title 幅频特性 dB subplot 2 2 3 stem n hn2 grid xlabel n ylabel h n title hamming 窗设计的 h n subplot 2 2 4 plot w 20 log10 abs hw2 grid xlabel w pi ylabel Magnitude dB title 幅频特性 dB 程序运行后得出下图 图图3 3 13 3 1 生成函数的幅频特性生成函数的幅频特性 经过对上述公式 图表的分析可以得出结论 l 窗宽N是决定主瓣宽度最主要的因素 2 不同的窗函数对旁瓣的抑制效果有显著区别 3 取不同的窗函数对幅频特性的整形效果远较单纯增加窗宽N为佳 比较表中的各项指标 当N取相同值时 采用Hamming窗滤波效果比较理想 3 4方法三 等效最佳一致逼近法设计 FIR 数字滤波器 信号处理工具箱采用 remez 算法实现线性相位 FIR 数字滤波器的等波纹最佳一 致逼近设计 与其他设计法相比 起优点是 设计指标相同时 使滤波器阶数最低 或阶数相同时 使通带最平坦 阻带最小衰减最大 通带和阻带均为等波纹形式 最适合设计片段常数特性的滤波器 以下是 2 个一 remez 算法设计 FIR 数字滤波器 的实例 依次我们看等效最佳一致逼近法的特点 3 4 13 4 1 低通低通 设计滤波器 使逼近低通滤波特性 jw d eH 3 16 50 4 01 jw d eH 16 要求通带波纹 ap 3dB 阻带衰减 as 60dB 并用最小阶数实现 绘出设计的 FIR 数字滤波幅频特性曲线 先由题意计算设计参数 f 1 4 5 16 m 1 0 由于 3 17 2 log 20 1 1 1 1 log20devA dev dev R Sp 所以 20 20 20 10 2 110 110 1 S pp A RR devdev 用 MATLAB 实现 cjf2 3 m 用 remez 函数设计 FIR 低通滤波器 clear close all fc 1 4 fs 5 16 输入给定指标 Rp 3 As 60 Fs 2 f fc fs m 1 0 计算 remezord 函数所需要参数 f m dev dev 10 Rp 20 1 10 Rp 20 1 10 As 20 N fo mo w remezord f m dev Fs 确定 remez 函数所需参数 hn remez N fo mo w 调用 remez 函数进行设计 hw fft hn 512 求设计出的滤波器频率特性 w 0 511 2 512 plot w 20 log10 abs hw grid 画对数幅频特性曲线 axis 0 max w 2 90 5 xlabel w pi ylabel Magnitude dB title 幅频特性 line 0 0 4 3 3 画线检验设计结果 line 1 4 1 4 90 5 line 5 16 5 16 90 5 图形如下 图图 3 4 13 4 1 幅频特性幅频特性 如图所示 图中 横线为 3dB 两条竖线分别位于频率 4 和 5 16 显然 通 带指标稍有富裕 过渡带宽度和阻带最小衰减刚好满足指标要求 3 4 23 4 2 高通高通 观察等波纹逼近法中加权系数 w 及滤波器阶数 N 的作用和影响 期望逼近的 滤波器通带为 3 4 阻带为 0 23 32 在滤波器设计中 技术指标越高 实现滤波器的阶数也就越高 在 remez 函数调用格式 b remez N f m w 中 f 0 3 4 23 32 1 m 0 0 1 1 其余参 数分三种情况进行设计 1 N 30 w 1 1 2 N 30 w 1 5 3 N 60 w 1 1 利用 MATLAB 实现 cjf2 4 m 用 remez 函数设计高通滤波器 clear close all f 0 23 32 3 4 1 m 0 0 1 1 N1 30 w1 1 1 hn1 remez N1 f m w1 情况 1 k 0 1023 2 1024 Hw1 fft hn1 1024 figure 1 plot k 20 log10 abs Hw1 求出其幅频特性 axis 0 1 40 5 grid on 只画出正半轴频谱 xlabel w pi ylabel Magnitude dB 标注 title N1 30 w1 1 1 N2 30 w2 1 5 hn2 remez N2 f m w2 情况 2 Hw2 fft hn2 1024 求出其幅频特性 figure 2 plot k 20 log10 abs Hw2 axis 0 1 40 5 grid on 只画出正半轴频谱 xlabel w pi ylabel Magnitude dB 标注 title N2 30 w2 1 5 N3 60 w2 1 1 hn3 remez N3 f m w2 情况 3 Hw3 fft hn3 1024 求出其幅频特性 figure 3 plot k 20 log10 abs Hw3 axis 0 1 40 5 grid on 只画出正半轴频谱 xlabel w pi ylabel Magnitude dB 标注 title N3 60 w1 1 1 作图如下 图图 3 4 23 4 2 滤波器的幅频特性滤波器的幅频特性 由图可见 w 较大的频段逼近精度越高 w 越小的频段逼近精度越低 N 较大时 逼近精度越高 N 越小时逼近精度越低 3 5 小结 三种方法的总结与对比 有限冲击响应 FIR 数字滤波器的转移函数为 3 18 1 0 N N n znhzH FIR滤波器的设计包括以下步骤 给出所需要的滤波器的技术指标 设计一个H z 使其逼近所需要的技术指标 实现所设计的H z FIR滤波器的冲激响应就是系统函数各次项的系数 所以设计FIR滤波器的方法之 一是 从时域出发 截取有限长的一段冲激响应作为H z 的系数 冲激响应长度N就是 系统函数H z 的阶数 只要N足够长 截取的方法合理 总能够满足频域的要求 这就 是FIR滤波器的窗函数设计法 现在目标是设计一个线性相位的FIR数字滤波器 要求的理想频响为Hd ej 它是X 的周期函数 周期为2 因此 可以展开成傅里叶级数 3 19 jn d j enheH 式中hd n 为傅里叶系数 但是 我们不能以hd n 作为设计FIR数字滤波器的h n 因为hd n 一般是非因果的 且无限长 物理上是不可实现的 为了解决这个问题 可以先把无限长的hd n 截短为有 限长序列 然后把有限长序列右移使之成为因果序列h n 用h n 近似hd n 设计出来的 FIR滤波器 其频响H ej 一定也是理想频响Hd ej 的近似 以上方法中的截短就是加 窗 在以上关于窗函数设计的章节示例中得以体现这点 窗函数法是以hd n 为媒介的时域设计法 而滤波器指标往往是在频域给出的 为此 要由Hd ej 算出hd n 加窗后又从h n 算出hd n 来检验 当理想频响Hd ej 是任意曲线 或者不存在明确的解析表达式时 求Hd n 就困难一些 因此 我们不得不想 能否不要 频域 时域 频域地反复 所以我们采用频率采样法 频率采样法先对理想频响Hd ej 采样 得到样值H k 再利用插值公式直接求出系 统转换函数H z 以便实现 或者求出频响H ej 以便与理想频响进行比较 在 0 2 区 间上对Hd ej 进行N点采样 等效于时域以N为周期延拓 频率采样法的步骤可归纳为 a 给定理想频响Hd ej b 确定采样点数 对理想频响采样得到H k c 代入下式 即得FIR数字滤波器的转移函数 3 3 频率采样法可以看做为插值法 它在采样的Xi上保证Hd ej 等于Hd ej i 而在非插 值点 采样点 上 H ej 是插值函数的线性叠加 这种方法的缺点是通带和阻带的边缘要 精确确定 在以上章节的设计中恰恰就满足了着点 窗函数法的矩形窗是一种最小平 方逼近法 它不能保证在每个局部位置误差都很小 等效最佳一致逼近法的优点是 设计指标相同时 使滤波器阶数最低 或阶数相同时 使通带最平坦 阻带最小衰 减最大 通带和阻带均为等波纹形式 最适合设计片段常数特性的滤波器 看以上 章节中设计要求通带波纹ap 3dB 阻带衰减as 60dB 并用最小阶数实现 这个不难 看出用等效最佳一致逼近法最为合适 由此我们可以得出对于FIR数字滤波器设计方法的选择要根据设计要求灵活选择 而对于本设计的要求 最终选择了窗函数方法进行设计 第第 4 章章 基于窗函数的基于窗函数的 FIR 滤波器设计及在车辆动态试验滤波器设计及在车辆动态试验 中的应用中的应用 4 1基于窗函数的 FIR 滤波器设计 通过第 3 章中对设计 FIR 滤波器的不同方法进行比较 我们确定了用窗函数来 设计所需的 FIR 滤波器 窗函数法的优点是简单 方便 有闭合的公式可以使用 性能及参数都有表格资料可以查寻 计算程序简单 较为实用 使用窗函数设计 FIR 滤波器 只需确定 FIR 的技术指标 按照第 3 章中的表 3 1 列出的不同窗函数的性能指标 选择一个最为合适的窗进行设计 按照公式进行编 程 可以很方便的设计出所需性能的 FIR 滤波器 具体示例如下 4 1 14 1 1 高通滤波器的设计高通滤波器的设计 用窗函数设计高通滤波器 性能指标如下 通带截止频率 s 0 2 阻带截止频 率 p 0 3 实际通带波动 Rp 0 25dB 最小阻带衰减 As 70dB 分析 从表 1 可以看出凯泽窗能提供 74dB 的最小阻带衰减 所以选用凯泽窗进 行设计 程序主要部分如下 As 70 s 0 2 p 0 3 tr width p s 计算过渡带宽 M ceil As 7 95 2 14 36 tr width 1 1 按凯泽窗计算滤波器长度 disp 滤波器的长度为 num2str M beta 0 1102 As 8 7 计算凯泽窗的 值 n 0 1 M 1 disp 线性相位斜率为 num2str beta w kai kaiser M beta 求凯泽窗函数 c s p 2 hd ideal lp M ideal lp c M 求理想脉冲响应 h hd w kai 设计的脉冲响应为理想脉冲响应与窗函数乘积 db mag pha grd freqz m h 1 delta 2 1000 Rp min db p delta 1 1 501 disp 实际通带波动为 num2str Rp 以下为作图程序 As round max db 1 1 s delta 1 disp 最小阻带衰减为 num2str As subplot 1 1 1 subplot 2 2 1 stem n hd title 理想脉冲响应 axis 0 M 1 0 4 0 8 ylabel hd n subplot 2 2 2 stem n w kai title 凯泽窗 axis 0 M 1 0 1 1 ylabel wd n subplot 2 2 3 stem n h title 实际脉冲响应 axis 0 M 1 0 4 0 8 xlabel n ylabel h n subplot 2 2 4 plot db title 幅度响应 dB axis 0 1 100 10 grid xlabel 以 为单位的频率 ylabel 分贝数 dB 程序运行结果如图 1 所示 实际通带波动为 0 04369 最小阻带衰减为 70 滤波 器长度为 89 线性相位斜率为 6 7553 符合设计要求 图图 4 1 14 1 1 kaiserkaiser 窗高通滤波响应脉冲曲线窗高通滤波响应脉冲曲线 4 1 24 1 2 低通滤波器的设计低通滤波器的设计 用窗函数设计低通滤波器 性能指标如下 通带截止频率 p 0 1 阻带截止频 率 s 0 25 实际通带波动 Rp 0 10dB 最小阻带衰减 As 40dB 分析 从表 1 可以看出 汉宁窗 海明窗和凯泽窗能提供大于 40dB 的最小阻带 衰减 但汉宁窗的旁瓣峰值较小 而主瓣宽度和海明窗一样 可以使滤波器的阶数 较少 所以选用汉宁窗进行设计 程序主要部分如下 p 0 10 s 0 25 tr width s p 计算过渡带宽 M ceil 6 6 tr width 1 按汉宁窗计算滤波器长度 disp 滤波器的长