数学中的辩证思想.doc

数 学 中 的 辩 证 思 想我爱数学，我爱辩证法郭洪玲石家庄市第十五中学 050021 论文摘要：数学内容与方法中处处体现着唯物辩证法，在课堂的教与学中，充分运用数学本身的辩证因素，创设恰当的问题情境，培养学生的科学思维方法，发展学生的辩证思维能力，使学生享受到学习数学的快乐。关键词： 数学教学 辩证法 数学素养数学内容与方法中处处体现着唯物辩证法，如整数与分数、有限与无限、连续与间断、直线与曲线、确定现象与随机现象及一般与特殊、数形结合、函数方程等等。正如恩格斯所说“现实世界的辩证法在数学概念和公式中能得到自己的反映，学生到处都能遇到辩证法这些规律的表现”。因此，在课堂的教与学中，充分运用数学本身的辩证因素，教师设计、利用恰当的问题情境，有指导的启发，加大智力参与的程度，交流思维方法、思维过程，使学生在学习中体验和领会事物的绝对与相对、现象与本质特殊与一般、量变与质变、对立与统一间的辩证关系，不仅可以培养学生的科学思维方法，发展学生的辩证思维能力，而且也使学生享受到学习数学的快乐，喜欢数学。1坚持联系的观点世界上的一切事物都是普遍联系的，这是唯物辩主义的基本观点。以函数为例，不仅函数的图象和性质之间存在联系，它与其他数学内容也有着密切的联系：函数方程不等式（方程的根可看作函数的图象与x轴交点的横坐标，不等式的解就是函数的图象在x轴上方的那一部分所对应的横坐标的集合）；数列是定义在正整数集合上的函数，同样，几何中的距离由于具有最小的本质属性也与函数联系在一起；二次函数的图象是抛物线，因其具有圆锥曲线的背景，又可以研究与直线的位置关系，常与一元二次方程根的分布问题相综合，又能与数形结合的方法相联系概念是数学知识的基础，是数学思想与方法的载体。概念最能体现数学的抽象性，因而成为教与学的难点。在进行“映射”的教学过程中，我先请一位同学起立，让同学们把他介绍给我认识。学生们来了情绪，有人说：他叫王森，15岁，团员，近视，他是体委，他喜欢踢足球，爱吃苹果、香蕉我们的课堂上一下子就拥有了丰富的“对应”关系：教室内的所有的人员与姓名、年龄、学号、政治面貌、职务、性别、爱好等之间的对应。同学们不仅看到对应形式的多样性，还通过合作进一步概括出特殊的对应映射的概念，课堂上透着轻松、自然，流露出同学们的自信与智慧。当我再随手拿起书桌上放着的一本书时，由此产生的对应关系又一次让同学们热情高涨 联系的观点，让我们学会科学的思维方法：先找到事物之间存在的必然联系，再利用这种关系解决问题。 2坚持发展的观点事物的普遍联系构成了事物的运动、变化和发展。大到教书育人的过程中，如理论和实践、教与学、德育与智育、统一要求与因材施教之间，小到数学内部、数学与其他学科之间、数学与生产生活之间，既相互联系又不断发展、变化，都是辩证的统一。 例题教学作为学习的重要途径，可帮助学生巩固、深化基础知识，消除困惑，纠正存在的问题；完善知识系统，也是培养学生思维能力的主渠道。 例1 已知x、y、m、nR，x2+y2=1，m2+n2=4，求mx+ny的取值范围。 有的学生根据自己的知识、经验，很快提出下面的一个方案。解：x2+y2=1，m2+n2=4，x2+y2+m2+n2=5， 又x2+m2 2mx，y2+n2 2ny， mx+ny 2.5。 故mx+ny的取值范围为（-，2.5。 这样解对么？有学生说：“错了”。 “错在哪里？”有人答：“取不到2.5”，“不可能等于100”。大多数学生点头了。“错误是怎样产生的？”“学，起于思；思，源于疑”。课堂学习的过程应该是一个包含有猜想、错误与尝试、证明与反驳、检验与改进的复杂过程。在寻找原因的过程中必有一种愤懑的感觉，有一种强烈的寻根究底的心情：是粗心大意了？基础知识未掌握好？还是对知识理解错误造成的？认清题目的结构特征是变形的突破口，积与和运算关系的转化让同学们联想到重要不等式，重要不等式的本质理解不到位，而且使用时必须注意“定、等”的条件；题目中平方和的条件，可以与三角函数联系在一起通过反思，大家合作交流，不仅深化基础知识，走出误区，还应运而生了多种方法。解1：x2+y2=1，4x2+4y2=1， 又m2+n2=4，4x2+4y2+m2+n2=8， 又4x2+m2 4|mx|，4y2+n2 4|ny|，|mx+ny| |mx|+|ny| 2。 故mx+ny的取值范围为-2，2。 解2：由已知可设x=cos，y=sin，m=2cos，n=2sin，、R, 则mx+ny= 2coscos+2sinsin=2cos（-） 故mx+ny的取值范围为-2，2 。 解3：设u=（x，y），v=（m，n），得|u|=1，|v|=2， 利用平面向量数量积的性质| u v| |u|v|， 则|mx+ny|=| u v| |u|v| 2 故mx+ny的取值范围为-2，2 。 例2 在ABC中，AB=1，AC=2，则角C的取值范围是（ ） (A) (B) (C) (D) ACB 析：设BC=x，由，（1xx2；x12x22；|x1|x2。 其中能使恒成立的条件序号是 。函数是学习中的重点，也是高考命题的热点。一般地，遇到函数的问题应将函数的性质作为一个有机的整体来考察，即函数f(x)=x2-cosx，x的图象、值域、单调性、奇偶性、周期性与连续性是怎样的，结合题目的条件会发现，这里只涉及到奇偶性与单调性。在解数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构，全面关注已知条件和待求结论在这“整体”中的地位与作用，然后通过对整体结构的调节与转化使问题获解，这种解题的“整体思想”往往能为我们找到问题获解的简捷解法。如整体构造，整体换元，设而不求、整体转化都是常用的方法。整体与局部二者相互联系、密不可分，整体居于主导地位，统帅着部分。我们要树立全局观念，立足整体，统筹全局，实现整体最优目标。 （4）绝对与相对 现实世界中的数量关系有“相等”和“不相等”之分。相等关系只是局部的、相对的，而不等关系则是普遍的、绝对的。 函数性质的研究手段是从形着手，以数量关系为主的。掌握基本初等函数的性质时应注意到绝对性和相对性。如函数的单调性，它的绝对性，是指每个函数的函数值随自变量的大小变化而变化的趋势；它的相对性，以y=lgx为例，是指当真数在(0,+)上增大时，对数值也随之增大。因此，复合函数的单调性也就不难理解了。（5）数与形数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。“数形互化”是指代数问题几何化与几何问题代数化，数形结合的思想是指在处理问题时，既要发挥代数方法的优势，又要发挥几何方法的优势，不要顾此失彼。例4 已知实数x、y满足x+y=1，求证： 这道题目代数证明方法很多，就不一一列举了。 解：在直角坐标系中，x+y=1为一条直线，表示直线x+y=1的任一点（x，y）到点（-2，-2）的距离d的平方，而距离d的最小值为点（-2，-2）到直线x+y=1的距离。所以。所以d2 ，即 。 （6）一般与特殊华罗庚有这样一段话：善于退，足够的退，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。明智的“退”，之所以有效是因为“普遍性寓于特殊性之中”。以简驭繁，帮助我们弄清目标，寻找解题途径，进而制定破题良策。这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一。数学研究也不例外，“概念、性质、法则和公式的教学一般都是通过具体的实例进行的，因此学生学习、理解和掌握这些知识,都必须经过从具体到抽象、从特殊到一般的过程;而把这些概念、性质、法则、公式应用到实际中去又必须经过从抽象到具体，从一般到特殊的过程。例5 已知f (x)满足，求的表达式。由于函数中x可取任意的非零实数，因此学生在尝试着求出f（1）、f（1）、f（2）、f（）之后，利用方程的思想求解的方法也就呼之欲出了：解： ，将中x换成得 ， 2-得： 。例6 如图是由12个小正方形组成的34矩形网格，一质点沿网格线从点到点的不同路径之中，最短路径有 条。 在思考时，学生们有的将问题特殊化处理，有的将问题具体化处理。 方法1：在14矩形中，最短路径有5条，它也为后继问题的解决提供了方法按第一行中的竖线分成5类；在24矩形中，按第一行中的竖线分成5类，经第1条竖线的最短路径有5条，经第2条竖线的最短路径有4条，经第3条竖线的最短路径有3条，经第4条竖线的最短路径有2条，经第5条竖线的最短路径有1条，共有5+4+3+2+1=15条。 按照数数的方式、分类的方法都能研究34矩形中相应的问题。不仅如此，经过反思运算的过程，发现5=, 15=，利用组合数的意义，使大家恍然大悟！恰好与将问题具体化的方法达成一致。ABAAB 方法2：把质点沿网格线从点A到点的最短路径分为七步，如“右下右右右下”， 其中四步向右，三步向上，不同走法的区别在于哪三步向上，因此，本题的结论是：。一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统一。有些特殊问题的解决，需要我们通过一般性规律的研究来处理；而对于具有一般性的问题，我们也常通过考察其特殊情况揭示其一般规律。这种特殊与一般的辩证思想往往贯穿于整个解题过程之中。解剖麻雀，通过特殊化的过程，将规律产生的过程充分暴露出来，能使我们认识问题更加全面，而将问题一般化能使我们认识问题更加深刻。“从特殊到一般，再由一般到特殊”正是这一数学思想的具体体现。 在新课程标准下，知识和技能不再是课堂教学的唯一标准，学生的学习能力、持续发展、情感态度、价值观也是我们不断追求的目标。数学知识的价值与其说是数学知识的积累，不如说是培养思维习惯或数学观念。数学是文化的一部分，数学教育从某种意义上说就是数学文化教育，它不仅具有使学生掌握、运用数学知识、技能，而且具有使学生受到良好的数学思想方法的训练，提高数学素养等功能。 因此，在数学教学中运用唯物辩证法，近则让学生乐于思