14混沌：开创新科学

混沌 开创新科学Chaos MakingANewScience 理论与计算物理研究所物理学与信息技术学院 屈世显 目录 引言决定论的辉煌与终结混沌 确定性系统中的内禀随机运动分形与标度不变性结束语 一 引言 新科学v s 传统科学 整体论v s 还原论 东方哲学v s 西方哲学 混沌 开创新科学 举例 宇宙的起源 GeorgesLema treBigBang 大爆炸 老子曰 道生一 一生二 二生三 三生万物 二 决定论的辉煌与终结 自然界有规律可循 人类可以发现它们 基本规律具有普适性 世界是简单的 美妙的 和谐的 可以用数学方程式精确描述 2 1还原论的世界图景 天地有大美而不言 万物有成理而不说 夫圣人者原天地之美 而达万物之理 庄子 知北游 境自远尘皆入咏 物含妙理总堪寻 颐和园铜停出口处对联 1686年 牛顿的墓志铭 诗人蒲柏 自然和自然的法则在黑夜中隐藏 上帝说 让牛顿去吧 于是一切都已照亮 牛顿定律 万有引力定律 世界的体系 人类掌握了描述自然的工具 可依据牛顿的理论探究宇宙万物 预测未来 2 2还原论 Reductionism 的范式 源于 古希腊 留基伯 BC440 德谟克利特 发展 经过弗兰西斯 培根 笛卡尔和 信念 事物一经分解 将变得简单 操作流程 见图 点图标 最终目的 建立包罗万象的 大统一理论 B C 460 B C 370 伊壁鸠鲁 代科学的基础 伽利略的继承和发扬 奠定了近 假如有一位智者在任一给定时刻都能洞见所有支配自然界的力和组成自然界的存在物之间的相互位置 假如这一智者的智慧巨大到足以对自然界的所有数据进行分析 他就能将宇宙最大的天体和最小的原子的运动统统纳入单一的公式之中 对这样的智者来说 没有什么是不能确定的 未来同过去一样都历历在目 Lapace 概率的解析理论 1812年 2 3决定论者的宣言 2 4还原论和决定论的后果 科学家 特别是物理学家为自己规定了建立理论的指导原则 简单 对称 和谐 普适 你相信掷骰子的上帝 我却信仰完备的定律和秩序 代表人物 摘自爱因斯坦给波恩的信 经典力学 Maxwell电磁场理论 Schr dinger方程 简单 优美的物理学定律 系综理论 多粒子体系的决定论 宏观物理定律具有决定论特征 微观层次的随机性造成涨落 多数法则起作用 决定论中的不和谐音 统计描述 个别单元的随机性与整体行为的确定性 但大数定理将之抹平了 2 5还原论和决定论的辉煌 1705年 哈雷预测一彗星将于1758年回归 TheOthers 电气化 电无线电通讯 原子武器 核电站 x 射线衍射 电子计算机 电子显微镜 宇宙飞行 GreatMany 果然 该彗星于1758年圣诞夜回归 人类第一次 于53年前成功预测彗星回归 汽车 鲁文公14年 BC613 1910 34次回归 中国记录31次 预测0次 微观 宇观 宏观 相对论量子力学 量子场论量子色动力学标准模型超玄理论 广义相对论引力理论量子场论非平衡统计超玄理论 经典物理 引力量子化 困惑 困惑 自由态夸克存在吗 超玄理论那多余的6维是什么 时间反演对称性存在吗 2 6决定论的不成功案例 传统科学尽管取得了非常巨大的成功 但在理解和预测宏观世界时却常常显得力不从心 许多事例 生命体 社会问题 经济 自然形貌的描述 相变与临界现象 灾害预报 复杂系统 2 6决定论的不成功案例 经典物理中两个著名的难题 湍流 三体运动的不稳定性 湍流 1883 给上帝出的一道难题 大螺旋套小螺旋 速度有增 小螺旋套微螺旋 黏滞乃生 理查逊 量子力学创始人海森堡临终时在病榻上宣布 他要带两个问题去见上帝 相对论和湍流 海森堡说 我真的相信他对第一个问题会有答案 工程学家对于湍流往往始终突出一种实际要求 设法使之消失 犯错的Landau 几乎所有 有名望的物理学家都涉足过 三体不稳定 最后一个通才的答案 HenriPoincar 一位集大成者 普遍原理的追求者 最后一位传统科学家 第一位现代科学家 历遍他那个时代一切数学 微分方程 数论 复分析 力学 天文学和数学物理最大的创造 拓扑学 并将之应用于动力学问题研究 1854 1912 1885年 瑞典数学杂志第七卷上有一则广告 悬赏2500克郎 举行数学问题比赛 庆祝奥斯卡二世 1889年60岁生日 问题之一 N体问题的稳定性问题 Poincar 获奖 1888 引入数学工具 不变积分 第一回归映象 回归定理 同宿轨道 异宿轨道 结论 在同宿轨道与异宿轨道附近 解非常复杂 对于给定初植 很难预测长期行为 决定论的灾难 混沌 传统科学的态度 传统决定决定论是如此的根深蒂固 束之高阁 以致于大多数物理学家认为这只不过是一些奇珍异宝 凤毛麟角 HenriPoincar 的发现被搁置七十多年 直到20世纪60年代被重新发现 三 混沌 复杂系统的运动形式 什么是混沌 Chaos 老子的 三 吗 南海之帝为倏 北海之帝为忽 倏与忽时相与遇于浑沌之地 浑沌待之甚善 倏与忽谋报浑沌之德 曰 人皆有七窍 以视 听 食 息 此独无有 尝试凿之 日凿一窍 七日而浑沌死 庄子 应帝王 气似质具而未分离谓之混沌 易乾凿度 三 是一个特殊的数字吗 大英百科全书 Chaos 希腊 希腊解释 万物创始前的之无限广垠空虚的空间 罗马解释 原始的 粗糙的无形团块 造物主给它赋以秩序与和谐 科学名词 确定性非线性系统中所出现的不规则运动 一种内禀随机性 混沌的汪洋 原始地球 洪水期地球 现代地球 未来大火灾 千年期地球 地球末日 地球史 ThomasBernet 1681 决定论学者的天气预报工厂 1922年 英国物理学家和心理学家LewisF Richardson 用数值方法进行天气预报 的文章 一个异想天开的幻想 有朝一日或许有可能发展出比天气变化还要快的计算手段 从而使天气预报梦想成真 集聚64000长于计算的工作者 在统一指挥下 协调地对影响天气变化的各种数据计算 可以同步预报实际的天气变化 计算机之父约翰 冯 诺意曼认为 气象模拟是计算机的理想用武之地 天气不仅可预报 而且可人工控制 Lorenz的气候模型 1961 Rayleigh Bernard对流 T T x 旋涡速度y 顶 底板附近温度差z 温度前缘与临界温度之差 1960 RoyalMcBee 1961冬 似曾相识 既有一定模式 又有扰动 气压时升时降 气流忽南忽北 T T 为了考察更长序列 Lorenz走了捷径 计算从中途开始 Then wentoutandhadacupofcoffee 对初始值的敏感依赖 又坏了一只真空管 突然间他明白 问题出在打进的数 在计算机存储中保持6位 例如0 506127 而输出仅打印3位 即0 506 1 1000误差能有什么影响 小误差却引起了灾难性后果 就在这一天 Lorenz认定长期天气预报不可能 蝴蝶效应 对初始值的敏感依赖 民谣 钉子缺 蹄铁卸 蹄铁卸 战马蹶 战马蹶 骑士绝 骑士绝 战事折 战事折 国家灭 所谓 差之毫厘 谬以千里 DeterminsticNonperiodicFlow J Atmos Sci 20 130 141 1963 南美州热带雨林中一只蝴蝶煽动翅膀所造成的气流扰动 两个周后是否可在美国德克萨斯大草原上引起一场龙卷风 蝴蝶效应的政治类比 1907年10月 如果维也纳艺术院总监没有拒绝17岁的画家AdolfHittler 或许就没有二战的灾难和大屠杀 1972年6月9日 如果警卫FrankWills没有发现水门饭店楼梯井入口处的那小段录音带 或许就不会出现尼克松被弹劾 或许就没有卡特的获胜 也许不可能有里根和克林顿 小事件之众多的 不可预测的后果一直持续着 永不结束 2000年美国总统选举 棕榈滩的蝴蝶选票 没有第二次海湾战争 911 whatelse 奇怪吸引子 t 0 eht h 1 V t V0 e gt g b 1 1 1D h Lyapunov指数 轨道在有限空间内拉伸 折叠 收缩 但不能相交 零测度 但有精致的结构 混沌作为一门学问 有着很特别的历史 在一段时间中 许多不同领域的研究者研究着相似的主题 但他们之间没有联系 只是随着时间的推移 慢慢地人们才忽然发现这些不同的领域可以归结在一个主题之下 或者说 不同的研究者开辟着不同的道路 然而这些不同的道路最终通向了相同的终点 混沌 这些领域包括 数学 天体力学 生物学 这些迥异的领域都存在着对初始条件具有敏感 直到20世纪70年代末 混沌学才作为研究领域正式确立 物理学 医学 与天气一样 依赖性的混沌系统 在那段时间里 气象学家Lorenz 在MIT研究他的玩具天气模型 天文学家Henon 在研究银河系的轨道 拓扑学家Smale 用他那拓扑学的头脑研究 振子 生态学家May 在研究虫口的演化 理论物理学家Feigenbau 在用计算器和重整化群理论研究简单映象中混沌运动的普适性 数学家李天岩和York 在闲暇时发现了周期3窗口定理 Mandelbrot 在IBM公司正从棉花价格的波动中寻找秩序 物理学家Ruelle 在研究湍流的本质和奇怪吸引子 加州大学圣克鲁斯分校物理系的研究生们在地下室里用模拟计算机观察Lorenz吸引子 一个生态学的例子 虫口演化模型 线性模型 xn 1 axn 解 xn anx0 a 1 虫满为患 a 1 种群灭绝 行为非常简单 a 2 采样 t 25年 马尔萨斯人口论 实际 1 有限食物 虫子互相咬斗 配对总数为 xn xn 1 2 xn2 2 传染疾病死亡 加入非线性 xn 1 axn bxn2 重新标度 0 xn 1 Logistic映象 xn 1 axn 1 xn a 3 1 a 2 8 周期 1轨道 不动点 x f x a 稳定不动点 df x a dx x x 1 p 阶映象 f p x f f f f x a a a a 周期 p轨道 x f p x 稳定性条件 df p x a dx x x 1 1 2 4 8 16 PeriodidDoubling df p x a dx x x 1 失稳条件 例如 a1 3 a2 1 6 a 3 5699456 倍周期分岔 通向混沌之路 一种级联过程 具有自相似性 Feigenbau 利用重整化群 得到了两个普适标度关系 Lim a ak k Lim k dk dk 1 4 669201660910299 2 5290780 dk 1 dk dk 1 k x ak 1 ak Li York周期 窗口定理 令I为一线段 f I I是线段的连续映象线段 设x0 I 1 对于任何k 1 2 3 线段I中都存在一条周期 k轨道 2 I中有一个不可数集合S I 它不包含任何周期点 b 对于S中每个p点和线段I中周期点q 也有 1 式成立 其最初3个映射为 x1 f x0 x2 f x1 f3 f x2 且满足 x3 x0 x1 x2 周期 3 a 对于S中p q的任意两点 满足 且满足如下条件 两条无穷长轨道有时会靠得很近 同时也必定以有限距离分开 Sharkovskii定理 考虑所有正整数的如下排列 Sharkovskii序列 3 5 7 2 3 2 5 2 7 22 3 22 5 22 7 23 3 23 5 23 7 25 24 23 22 2 1定理 假定某一维连续映象f x 有周期 p轨道 如果在上述序列中p出现在另一数l之前 则该映象也有周期l轨道 回答了老子的 3 四 分形与标度不变性 l 1 N l Fl D N l b bDN l 覆盖数N 1 1 2 1 3 l 22 32 l 2 经验维 空间维度概念及其推广 1D 2D 3D 0D D 3的整数 体积测度 K bD 若尺度缩小b倍 覆盖数增加K倍 Hausdorff维 形状因子 具有平移不变性的几何体 有限平移下的不变性 无限小平移下的不变性 有特征长度为几何体的线度 有特征长度为格子常数a 无内部结构 周期性结构 2D 3D 2D格子 维度可以是非整数吗 Sure BenoitBMandelbrotanswered 具有自相似性的几何体 l l 2 分辨长度 l 4 Sierpinski镂垫 l 8 Kock曲线 没有特征尺度 面积单元 1 3 9 27 Mandelbrot定义 这些具有自相似性的结构为分形 fractal 维度由Hausdorff维度给出 分形结构的显著特征标度不变性 ScalingInvariance 苏格兰海岸线 Kock曲线 秦岭 2 D 3 1 62维中国东海岸线 1 86维的粘性指进 1 85维的亚马逊河 大自然的分形 Kitaoka etal JApplPhysiol87 2207 1999 FractalsEveryWhere 佛教 一沙一世界 一叶一如来 没有故事可讲的故事 各种分形论调 各种分形论调 跳蚤分形 咏琼花二首 各种分形论调 春日琼花满扬州 花里藏花楼外楼 香溢八方醉过客 倩娘俏女共春秋 谁差瑶树扮春色 满载奇葩下广陵 玉女八仙难鉴辨 真经尽释五亭容 瓣瓣级联通广宇 枝枝嵌套咏一形 清冰丽质千年曲 貌若分形不做声 具有自相似性的系统没有特征长度 其结构 功能