山东省滨州市2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年山东省滨州市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 . 1已知抛物线的标准方程为 y，则下列说法正确的是（ ） A开口向左，准线方程为 x=1 B开口向右，准线方程为 x= 1 C开口向上，准线方程为 y= 1 D开口向下，准线方程为 y=1 2命题 p： 1， 1，则 p 为（ ） A 1， 1 B 1， 1 C x 1， 1 D x 1， 1 3在平行六面体 ，化简 + + =（ ） A B C D 4 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，事件 A 表示 “2 名学生全不是男生 ”，事件 B 表示 “2 名学生全是男生 ”，事件 C 表示 “2 名学生中至少有一名是男生 ”，则下列结论中正确的是（ ） A A 与 B 对立 B A 与 C 对立 C B 与 C 互斥 D任何两个事件均不互斥 5已知甲、乙两名同学在某项测试中得分成绩的茎叶图如图所示， 别表示知甲、乙两名同学这项测试成绩的众数， 别表示知甲、乙两名同学这项测试成绩的方差，则有（ ） A x1= x1= x1=设直线 l 的方向向量是 =（ 2， 2， t），平面 的法向量 =（ 6， 6， 12），若直线 l 平面 ，则实数 t 等于（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 7执行如图程序框图，若输出的 S 值为 62，则判断框内为（ ） A i 4？ B i 5？ C i 6？ D i 7？ 8下列说法中，正确的是（ ） A命题 “若 x 2 或 y 7，则 x+y 9”的逆命题为真命题 B命题 “若 ，则 x=2”的否命题是 “若 ，则 x 2” C命题 “若 1，则 1 x 1”的逆否命题是 “若 x 1 或 x 1，则 1” 第 2 页（共 16 页） D若命题 p： x R， x+1 0， q： （ 0， +）， 1，则（ p） q 为真命题 9知点 A， B 分别为双曲线 E： =1（ a 0， b 0）的两个顶点，点 M 在 E 上， 等腰三角形，且顶角为 120，则双曲线 E 的离心率为（ ） A B 2 C D 10如图， 平面 ， 平面 ， 平面 所成的角为 60，且 A=N=1，则 长为（ ） A B 2 C D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11若双曲线 =1 的焦距为 6，则 m 的值为 12某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、 120 个、 180 个、 150 个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这 600 个销售点中，抽取一个容量为 100 的样本，则应从丙地区中抽取 个销售点 13已知两个具有线性相关关系的变量 x 与 y 的几组数据如下表 x 3 4 5 6 y m 4 根据上表数据所得线性回归直线方程为 = x+ ，则 m= 14在长为 4线段 任取一点 C，现作一矩形，邻边长等于线段 长，则矩形面积小于 3概率为 15已知圆 E：（ x+1） 2+6，点 F（ 1， 0）， P 是圆 E 上的任意一点，线段 垂直平分线和半径 交于点 Q，则动点 Q 的轨迹方程为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 . 16已知实数 p： 4x 12 0， q：（ x m）（ x m 1） 0 （ ）若 m=2，那么 p 是 q 的什么条件； （ ）若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 17一果农种植了 1000 棵果树，为估计其产量，从中随机选取 20 棵果树的产量（单位： 为样本数据，得到如图所示的频率分布直方图已知样本中产量在区间（ 45， 50上的果树棵数为 8， （ ）求频率分布直方图中 a， b 的值； 第 3 页（共 16 页） （ ）根据频率分布直方图，估计这 20 棵果树产量的中位数； （ ）根据频率分布直方图，估计这 1000 棵果树的总产量 18盒子中有 5 个大小形状完全相同的 小球，其中黑色小球有 3 个，标号分别为 1， 2， 3，白色小球有 2 个，标号分别为 1， 2 （ ）若从盒中任取两个小球，求取出的小球颜色相同且标号之和小于或等于 4 的概率； （ ）若盒子里再放入一个标号为 4 的红色小球，从中任取两个小球，求取出的两个小球颜色不同且标号之和大于 3 的概率 19如图，等边三角形 边长为 8 ，且三个顶点均在抛物线 E： p 0）上，O 为坐标原点 （ ）证明： A、 B 两点关于 x 轴对称； （ ）求抛物线 E 的方程 20如图，在三棱柱 ， 平面 ， ， ， B 的中点 （ ）求证： （ ）求异面直线 成角的余弦值； （ ）求二面角 D B 的余弦值 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点为 2， 0）， 2， 0），点 M（ 2， ） 在椭圆 C 上 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）已知斜率为 k 的直线 l 过椭圆 C 的右焦点 椭圆 C 相交于 A， B 两点 若 | ，求直线 l 的方程； 设点 P（ ， 0），证明： 为定值， 并求出该定值 第 4 页（共 16 页） 2015年山东省滨州市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 . 1已知抛物线的标准方程为 y，则下列说法正确的是（ ） A开口向左，准线方程为 x=1 B开口向右，准线方程为 x= 1 C开口向上，准线方程为 y= 1 D开口向下，准线方程为 y=1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 根据抛物线的标准方程得到焦点在 y 轴上以及 2p=4，即可得出结论 【解答】 解：因为抛物线的标准方程为： y，焦点在 y 轴上； 所以： 2p=4，即 p=2， 所以准线方程 y= 1，开口向上 故选： C 2命题 p： 1， 1，则 p 为（ ） A 1， 1 B 1， 1 C x 1， 1 D x 1， 1 【考点】 命题的否定 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可 【解答】 解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即 x 1， 1， 故选： C 3在平行六面体 ，化简 + + =（ ） A B C D 【考点】 空间向量的加减法 【分析】 根据题意，画出图形，结合图形， 利用空间向量的加法运算，即可得出结论 【解答】 解：如图所示， 平行六面体 ， + + =（ + ） + = + = 故选： A 第 5 页（共 16 页） 4某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，事件 A 表示 “2 名学生全不是男生 ”，事件 B 表示 “2 名学生全是男生 ”，事件 C 表示 “2 名学生中至少有一名是男生 ”，则下列结论中正确的是（ ） A A 与 B 对立 B A 与 C 对立 C B 与 C 互斥 D任何两个事件均不互斥 【考点】 互斥事件与对立事件 【分析】 利用 互斥事件、对立事件的定义求解 【解答】 解：某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛， 事件 A 表示 “2 名学生全不是男生 ”，事件 B 表示 “2 名学生全是男生 ”，事件 C 表示 “2 名学生中至少有一名是男生 ”， A 与 B 不能同时发生，但能同时不发生，故 A 与 B 是互斥但不对立事件，故 A 和 D 都错误； A 与 C 不能同时发生，也不能同时不发生，故 A 与 C 是对立事件，故 B 正确； B 与 C 能同时发生，故 B 与 C 不是互斥事件，故 C 错误 故选： B 5已知甲、乙两名同学在某项测试中得分成绩的茎叶图如图所示， 别表 示知甲、乙两名同学这项测试成绩的众数， 别表示知甲、乙两名同学这项测试成绩的方差，则有（ ） A x1= x1= x1=考点】 茎叶图 【分析】 根据茎叶图中的数据分别计算甲、乙运动员成绩的众数、平均数与方差，进行比较即可 【解答】 解：根据茎叶图中的数据，得； 甲同学成绩的众数是 5， 平均数是 = （ 9+14+15+15+16+21） =15， 方差是 = （ 9 15） 2+（ 14 15） 2+2 （ 15 15） 2+（ 16 15） 2+（ 21 15） 2= ； 乙运动员成绩的众数是 5， 平均数是 = （ 8+13+15+15+17+22） =15， 方差是 = （ 8 15） 2+（ 13 15） 2+2 （ 15 15） 2+（ 17 15） 2+（ 22 15） 2= ； x1= 故选： D 第 6 页（共 16 页） 6设直线 l 的方向向量是 =（ 2， 2， t），平面 的法向量 =（ 6， 6， 12），若直线 l 平面 ，则实数 t 等于（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 【考点】 平面的法向量 【分析】 根据题意，得出 ，由向量的共线定理列出方程求出 t 的值 【解答】 解： 直线 l 平面 ，且 直线 l 的方向向量是 =（ 2， 2， t），平面 的法向量 =（ 6， 6， 12）， ， = = ， 解得 t= 4 故选： B 7执行如图程序框图，若输出的 S 值为 62，则判断框内为（ ） A i 4？ B i 5？ C i 6？ D i 7？ 【考点】 循环结构 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 S=62， i=6 时应该不满足条件，退出循环，输出 S 的值为 62，则判断框内为： i 5 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 S=0， i=1 满足条件， S=2， i=2 满足条件， S=6， i=3 满足条件， S=14， i=4 满足条件， S=30， i=5 满足条件， S=62， i=6 由题意可知，此时应该不满足条件，退出循环，输出 S 的值为 62， 则判断框内为： i 5， 故选： B 8下列说法中，正确的是（ ） A命题 “若 x 2 或 y 7，则 x+y 9”的逆命题为真命题 B命题 “若 ，则 x=2”的否命题是 “若 ，则 x 2” C命题 “若 1，则 1 x 1”的逆否命题是 “若 x 1 或 x 1，则 1” D若命题 p： x R， x+1 0， q： （ 0， +）， 1，则（ p） q 为真命题 【考点】 四种命题 【分析 】 A根据逆否命题的定义进行判断 第 7 页（共 16 页） B根据否命题的定义进行判断 C根据逆否命题的定义进行判断 D根据复合命题的真假关系进行判断 【解答】 解： A命题 “若 x 2 或 y 7，则 x+y 9”的否命题为， “若 x=2 且 y=7，则 x+y=9”，为真命题，则命题的逆命题为真命题正确，故 A 正确， B命题 “若 ，则 x=2”的否命题是 “若 4，则 x 2”，故 B 错误， C命题 “若 1，则 1 x 1”的逆否命题是 “若 x 1 或 x 1，则 1”，故 C 错误， D x+1=（ x ） 2+ 0 恒成立， 命题 p 为真命题，则 p 为假命题， 1， 1 ， （ 0， +）， 1 为假命题，则 p 是假命题，则（ p） q 为假命题故 D 错误， 故选： A 9知点 A， B 分别为双曲线 E： =1（ a 0， b 0）的两个顶点，点 M 在 E 上， 等腰三角形，且顶角 为 120，则双曲线 E 的离心率为（ ） A B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 M 在双曲线 E： =1 的左支上，由题意可得 M 的坐标为（ 2a， a），代 入双曲线方程可得 a=b，再由离心率公式即可得到所求值 【解答】 解：设 M 在双曲线 E： =1 的左支上， 且 B=2a， 20， 则 M 的坐标为（ 2a， a）， 代入双曲线方程可得， =1， 可得 a=b， c= = a， 即有 e= = 故选： D 10如图， 平面 ， 平面 ， 平面 所成的角为 60，且 A=N=1，则 长为（ ） 第 8 页（共 16 页） A B 2 C D 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 由题意， = + + ，两边平方，利用条件，即可得出结论 【解答】 解：由题意， = + + ， 2= 2+ 2+ 2+2 +2 +2 =1+1+1+0 2110=3 ， | |= 故选： D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11若双曲线 =1 的焦距为 6，则 m 的值为 5 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线的标准方程，求出 a， b， c，利用双曲线 =1 的焦距是 6，求出m 的值 【解答】 解：因为双曲线 =1，所以 a=2， b= ， 又双曲线的焦距是 6，所以 6=2 ， 解得 m=5 故答案为： 5 12某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、 120 个、 180 个、 150 个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这 600 个销售点中，抽取一个容量为 100 的样本，则应从丙地区中抽取 30 个销售点 【考点】 分层抽样 方法 【分析】 根据分层抽样的定义，建立方程，解方程求得 x 的值即得所求 【解答】 解：根据分层抽样的定义和方法可得 ，解得 x=30 故答案为： 30 13已知两个具有线性相关关系的变量 x 与 y 的几组数据如下表 x 3 4 5 6 第 9 页（共 16 页） y m 4 根据上表数据所得线性回归直线方程为 = x+ ，则 m= 3 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出 代入回归方程解出 m 【解答】 解： = = = = = ，解得 m=3 故答案为： 3 14在长为 4线段 任取一点 C，现作一矩形，邻边长等于线段 长，则矩形面积小于 3概率为 【考点】 几何概型 【分析】 设 AC=x，则 x，求出对应矩形的面积，根据几何概型的概率公式进行计算即可 【解答】 解：设 AC=x，则 x 矩形的面积 S=x（ 4 x）， 由 S=x（ 4 x） 3 得 4x+3 0 x 3 或 x 1， 0 x 4， 0 x 1 或 3 x 4 由几何概率的求解公式可得，矩形面积小于 3概率 P= = 故答案为： 15已知圆 E：（ x+1） 2+6， 点 F（ 1， 0）， P 是圆 E 上的任意一点，线段 垂直平分线和半径 交于点 Q，则动点 Q 的轨迹方程为 =1 【考点】 轨迹方程 【分析】 连结 据题意， |则 |4 |故 Q 的轨迹 是以 E， F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，从而可求动点 Q 的轨迹 的方程 第 10 页（共 16 页） 【解答】 解：连结 据题意， | 则 |4 | 故 Q 的轨迹 是以 E， F 为焦点 ，长轴长为 4 的椭圆， a=2， c=1， 所以 b= ， 所以点 Q 的轨迹方程为 =1 故答案为： =1 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 . 16已知实数 p： 4x 12 0， q：（ x m）（ x m 1） 0 （ ）若 m=2，那么 p 是 q 的什么条件； （ ）若 q 是 p 的充分不必要条件 ，求实数 m 的取值范围 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 （ ）分别解出关于 p， q 的不等式，将 m=2 代入 q，结合集合的包含关系判断 p，q 的充分必要性即可； （ ）根据集合的包含关系解出关于 m 的不等式组，从而求出 m 的范围 【解答】 解：实数 p： 4x 12 0，解得： 2 x 6， q：（ x m）（ x m 1） 0，解得： m x m+1， 令 A= 2， 6， B=m， m+1， （ ）若 m=2，则 B=2， 3， BA，那么 p 是 q 的必要不充分条件； （ ）若 q 是 p 的充分不必要条件， 即 BA，则 ，解得： 2 m 5（等号不同时成立）， m 2， 5）或 m （ 2， 5 17一果农种植了 1000 棵果树，为估计其产量，从中随机选取 20 棵果树的产量（单位： 为样本数据，得到如图所示的频率分布直方图已知样本中产量在区间（ 45， 50上的果树棵数为 8， （ ）求频率分布直方图中 a， b 的值； （ ）根据频率分布直方图，估计这 20 棵果树产量的中位数； （ ）根据频率分布直方图，估计这 1000 棵果树的总产量 第 11 页（共 16 页） 【考点】 频率分布直方图 【分析】 （ ）由频率 = ，利用频率和为 1，即可求出 a、 b 的值； （ ）利用频率分布直方图中中位数两侧的频率相等，列出方程求出中位数 x； （ ）求出这 20 棵果树产量的平均数 ，用样本数据估计总体的产量即可 【解答】 解：（ ）由样本中产量在区间（ 45， 50上的果树棵数为 8， 得 a 5 20=8，解得 a= 又因为 5 （ b+=1， 解得 b= 所以 a=b= （ ）设这 20 棵果树产量的中位数为 x， 因为样本中产量在区间（ 40， 45上的频率为 5= 样本中产量在区间（ 45， 50上的频率为 5= 所以中位数在区间（ 45， 50内， 令 5+（ x 45） 解得 x= 所以估计这 20 棵果树产量的中位数为 （ ）设这 20 棵果树产量的平均数是 ， 则 =5 （ =48（ 根据样本数据估计这 1000 棵果树的总产量为 48 1000=48000（ 18盒子中有 5 个大小形状完全相同的小球，其中黑色小球有 3 个，标号分别为 1， 2， 3，白色小球有 2 个，标号分别为 1， 2 （ ）若从盒中任取两个小球，求取出的小球颜色相同且标号之和小于或等于 4 的概率； （ ）若盒子里再放入一个标号为 4 的红色小球，从中任取两个小球，求 取出的两个小球颜色不同且标号之和大于 3 的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）设黑色小球为 色小球为 用列举法能求出取出的小球颜色相同且标号之和小于或等于 4 的概率 （ ）设红色小球为 用列举法能求出取出的两个小球颜色不同且标号之和大于 3 的概率 【解答】 解：（ ）设黑色小球为 色小球为 从盒子中任取两个小球，其一切可能的结果组成的基本事件有： 共 10 个， 根据题意，这些基本事件是等可能的， 事件 “取出的小球颜色相同且标号之和小于或等于 4”包含的基本事件有： 共 3 个， 第 12 页（共 16 页） 取出的小球颜色相同且标号之和小于或等于 4 的概率 （ ）设红色小球为 盒子中任取两个小球，其一切可能的结果组成的基本事件有： 共 15 个， 根据题意这些基本事件是等可能的， 事件 “取出的两个小球颜色不同且标号之和大于 3”所包含的基本事件有： 共 8 个， 取出的两个小球颜色不同且标号之和大于 3 的概率 19如图，等边三角形 边长为 8 ，且三个顶点均在抛物线 E： p 0）上，O 为坐标原点 （ ）证明： A、 B 两点关于 x 轴对称； （ ）求抛物线 E 的方程 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ ） A（ B（ 据 |得 于 A， 理可得（ x1+p） =0根据 x1、 p 同号可知 x1+p 0 进而可得 x1=据抛物线对称性，知点 A、 B 关于 x 轴对称 （ ）由（ ）可知 0，进而根据抛物线和直线方程求得点 A 的坐标，利用等边三角形 边长为 8 ，可得 p，即可求抛物线 E 的方程 【解答】 （ ）证明：设 A（ B（ | 又 p（ =0， 即（ x1+p） =0 又 p 同号， x1+p 0 ，即 x1= 由抛物线对称性，知点 A、 B 关于 x 轴对称 （ ）解：由（ ）知 0，则 x=6p， y= x， y=2 p A（ 6p， 2 p） ， 等边三角形 边长为 8 ， （ 6p） 2+（ 2 p） =（ 8 ） 2 p=2， 第 13 页（共 16 页） 抛物线 E 的方程为 x 20如图，在三棱柱 ， 平面 ， ， ， B 的中点 （ ）求证： （ ）求异面直线 成角的余弦值； （ ）求二面角 D B 的 余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ ）以 C 为原点，直线 别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 （ ）求出 =（ 3， 0， 3）， =（ 0， 4， 3），利用得量法能地求出异面直线 成角的余弦值 （ ）求出平面 一个法向量和平面 一个法向量，利用向量法能求出二面角D B 的余弦值 【解答】 证明：（ ）在三棱柱 ， ， ， ， 又 平面 两垂直， 以 C 为原点，直线 别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C（ 0， 0， 0）， A（ 3， 0， 0）， B（ 0， 4， 0）， 0， 0