二次曲线学习辅导(2).doc

第5章 二次曲线第5章 二次曲线学习辅导（2）典型例题例1 填空选择题1 两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是（）。(A)一条二阶曲线 (B) 一条直线 (C)一个点 (D) 两个点2 若点在二次曲线上，那么它的极线一定是的（）。(A)切线 (B) 直径 (C) 半径 (D)渐近线3极线上的点与极点（）。(A)共轭 (B)不共轭(C)可能不共轭(D)不可判定4无穷远点关于二次曲线的极线称为二次曲线的（）。(A)半径 (B) 直径 (C) 渐近线(D) 切线解：1根据二次曲线的射影定义可知，两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是一条二阶曲线，因此正确的选项是(A)。 2 根据定理可知若点在二次曲线上，那么它的极线就是在点的切线，因此正确的选项是(A)。3根据极线与极点的定义可知，极线上的点与极点共轭，因此正确的选项是(A)。4根据定义可知无穷远点关于二次曲线的极线是二次曲线的直径，因此正确的选项是 (B)。 例2 求由两个射影线束，决定的二次曲线的方程。解：两个线束可以写成即消去，得所以即为所求二次曲线。例3 求通过点A（1，1，0），B（2，0，1），C（0，2，-1），D（1，4，-2），E（2，3，-2）的二阶曲线方程。解 设二阶曲线方程为将已知五点坐标代入上式得：解方程组得：，所求二阶曲线方程为即例4 设有一变动三角形，其三边通过三个不共线的定点，其二顶点分别在二定直线上移动，则第三个顶点的轨迹是一条二阶曲线且通过三定点的两个定点。RQPB1B1B2A1A2C1C2证明 设已知的变动三角形的边通过不共线三点，顶点分别在定直线和上移动，于是得到三角形，因为 所以 根据定理1，可知对应直线的交点也就是第三个顶点的轨迹是通过顶点的二阶曲线。注意：（1）此题中如果共线，则第三顶点的轨迹是退化的二阶曲线。（2）此命题的对偶命题是：一个变动的三线形，其三顶点分别在三条不共线的定直线上移动，两条边分别通过两个定点（不在定直线上），求第三边的轨迹。例5 (巴斯卡逆定理)若六角形的三双对边的交点共线，那么这六角形内接于一个二次曲线. 证明 如图，设是一简单六点形的六个顶点，其对边与与与分别交于QC561432ABP三点，且共线. 又设16与45交点为P，56与34交点为Q ,如图，则 又 ，所以 根据定理1可知六点在一条二阶曲线上。例6 已知二阶曲线上的五个点，利用巴斯卡定理作出第六个点。651432LMNp解 将五个点编号为12345，如图。设12与45交于L，过L任作一直线p，23交p于M，34交p于N，5M与1N交于一点6，根据巴斯卡定理的逆定理，得知6为二阶曲线上的点，变动直线p，就得到二阶曲线上其它点。同样，已知二级曲线上的五条切线，利用布利安香定理的逆定理可以作出第六条切线。例7 内接于圆的两个四点形与，设与交于点P， 与交于点Q，与交于点R，若P，Q，R在同一直线上，则与的交点S也在该直线上。证明 设与的交点为T。考虑六点形。根据巴斯卡定理，P，Q与T三点共线。再考虑六点形，根据巴斯卡定理，S，R与T三点共线。已知P，Q，R三点共线，则P，Q，R，S四点共线。例8 求二次曲线在点处的切线方程.解 因为,所以该点在二阶次曲线上，故所求切线方程为 ， 即为所求的切线方程。例9 求点（1，1，0）关于二阶曲线的极线方程。解 将点（1，1，0）的坐标及的值代入极线方程：即整理即得所求极线方程为例10 已知点不在二阶曲线上，求作点关于二阶曲线的极线。解 通过点作二阶曲线的两条割线，与分别交于AB，CD，如图，设AC与BD交于点Q，AD与BC交于点R，则直线QR就是点关于二阶曲线的极线。由此可见，当点在二阶曲线内部时，其极线与二阶曲线无交点；当点在二阶曲线外部时，其极线与二阶曲线相交于实点。QPDCABPRQPBCADRP例11 设为一已知点，证明它关于二次曲线的极线为。 证明 方程可以写成化成齐次方程为点的齐次坐标为，它关于二次曲线的共轭点的齐次坐标为，非齐次坐标为，极线方程应满足整理得，证毕。例12 （1） 求二阶曲线的中心与过（1，1）点的直径。（2） 求双曲线的渐近线。解 （1）中心：因为于是中心坐标为（3，1，1），或写成（3，1）过（1，1）的直径：由方程以点（1，1）坐标代入，得k1，故得直径方程为。（2） 方法一：根据渐近线是自共轭直径，因此渐近线斜率应满足解出 k11，