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浙江工业大学2008/2009 学年第 二 学期试卷答案及评分标准课程 线性系统理论 姓名_班级_题序一二三四五六七八九十总评计分1 已知系统 ， 试回答以下问题（24分）：a) 该系统是否渐近稳定？b) 该系统是否完全能控？c) 该系统是否能经状态反馈镇定？d) 该系统是否完全能观测？答：a) 特征值为1, -2, -3, -4, 有一个特征值1位于右半平面，所以该系统不是稳定的。 b) 利用PBH判据或能控判断矩阵的秩是否满秩来判断系统的能控性，该系统是不能控的 c) 由于原系统是不能控系统的分解形式，由该分解形式可看出其不能控部分的极点是-3, -4，故系统是可镇定的。 d) 利用PBH判据或能观判断矩阵的秩是否满秩来判断系统的能观性，该系统是不能观的评分标准： 每题6分2. 简答(10分)：a) 简单叙述处理非线性系统的几种方法b)线性定常系统和线性时变系统的等价性有什么不同？答：a) 处理非线性系统的方法是：(1) 针对一些特殊结构的非线性系统，在一定条件下导出非线性系统具有给定性能的分析和综合方法；(2) T-S模糊模型的逼近方法；(3) 在工作点附近，将非线性系统用一个线性系统模型来近似，进而，通过线性系统的分析和综合方法来导出非线性系统在所考虑工作点附近的特性。这一方法称为是非线性系统的线性化方法。 b)线性定常系统和线性时变系统的等价性的不同之处在于： (1) 在线性时不变系统中，等价的状态空间模型具有相同的极点，从而具有相同的动态特性; (2) 时变线性系统的任一状态空间模型可以等价变换到具有零状态矩阵的状态空间模型; (3) 线性定常系统的等价性不改变系统的能控性和能观性，线性时变系统则有可能改变这种特性。 评分标准： 每题5分3. 给定如下系统，设计状态观测器并使观测器极点为-5，-5，设计状态反馈控制器，使系统的闭环极点为-4，-4。（10分）答：设计状态观测器：设，则；又因为观测器极点为-5，-5，故期望特征多项式为，从而可推出。设计状态反馈控制器：设，则；又因为设计状态反馈控制器，使系统的闭环极点为-4，-4，故期望特征多项式为，从而可推出。评分标准： 设计状态观测器和设计状态反馈控制器各占5分，思路正确，仅计算错误减1-2分4. 给定系统，试求输入为单位阶跃函数时的状态响应。（10分）答：(1) (2) 由和初始状态，可得 评分标准： 每小题各5分5. 已知系统如下，试求使给定目标函数最小的参数值，并给出最优目标函数值。（12分）答：（1）令和，则由可得 （2）由可得，令，可得，因而最优目标函数值为。评分标准： 本题分两部分，每部分占6分，思路正确，仅计算错误得8-10分。6. 试求时变状态方程的一个基本解矩阵, 状态转移矩阵，并判断系统是否是稳定的（12）。答：(1) 解时变状态方程可得，令可得基本解矩阵为（初始状态选得不同，基本解矩阵也不同）（2）状态转移矩阵为（3）由状态转移矩阵可知 当时，因此系统是不稳定的。评分标准： 本题分三部分，每部分4分。7. 求下述状态空间模型的传递函数；若该状态空间模型为最小实现，求其应该满足的条件（12分）答：（1）传递函数（2）当模型为最小实现时，系统能控能观，根据能控能观性判据可以得出为最小实现的条件是，；另一种方法是，当模型为最小实现时，传递函数互质，根据上述传递函数也可得出系统为最小实现的条件是，。评分标准： 本题分两部分，每部分占6分。8. 证明矩阵的所有特征值都小于，当且仅当对任意给定的对称正定矩阵，矩阵方程 有惟一的对称正定解(10分)。证明：令，由已知矩阵的所有特征值都小于，故的特征值都小于零，根据定理 对于的系统，A的所有特征值均小于0的充分必要条件是存在唯一的正定矩阵，使得方程，其中Q为