三角函数与解三角形-高三一轮复习讲义.doc

三角函数一、基础知识1二、角的概念、定义7三、三角函数公式10四、三角函数性质与图象15五、解三角形19三角函数、三角恒等变形与解三角形练习22参考答案或提示26一、 基础知识1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角终边相同的角的集合：.1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 .3、弧长公式：. L= R 4、扇形面积公式： S= lr=r.1.2.1、任意角的三角函数1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：.2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设） ，.3、 ，在四个象限的符号一正二正弦三切四余 和三角函数线的画法.4、 诱导公式一：（）5、 特殊角0，30，45，60，90，180，270的三角函数值.1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系：.2、 商数关系：.1.3、三角函数的诱导公式1、 诱导公式二：2、诱导公式三：3、诱导公式四： 4、诱导公式五：5、诱导公式六： 1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、 会用五点法作图.1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、 周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.1.5、函数的图象1、 能够讲出函数的图象和函数的图象之间的平移伸缩变换关系.2、 对于函数：有：振幅A，周期，初相，相位，频率.第三章、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式 . 二倍角的正弦、余弦、正切公式1、，变形：cos=.2、 变形1：，变形2：.3、 1、注意正切化弦、平方降次.解三角形1、正弦定理 2、余弦定理a变形 cosA= b变形 cosB= c变形cosC=3、三角形面积公式： S=absinC=bcsinA=acsinB 课本题(必修4) 1.（P11 习题13）若扇形的周长为定值l，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？22.（P23 练习4）已知sin（-x）=-，且0x- ()7.(19)当角满足什么条件时，有sin=sin？8.( P41 练习6)y=sin()的图像可由y=sinx作怎样的变换得到？9.（P47 习题13(2)）求y=cos（-2x）的单调区间。增k减 kk（P49 习题12(3)）求y=tan（1-x）的单调区间。减（）k10.（ P99例5）求的值。11.（P101习题10）已知求sin的值12.（习题11(2)）在ABC中，已知sinA=，cosB=，求cosC.13.( P109例4)求证：sin50（1+tan10）=114.(P110 练习3)已知tan， tan且都是锐角，求的值15.（P111习题8）求值：sin10cos20cos40=1/816.（P117习题6）求值：=-2-17.（10(1)）在ABC中，求：tantan+tantan+ tantan=1(必修5) 18.(P10例5)在ABC中，AD是BAC的平分线，用正弦定理证明19(P10练习3) 在ABC中，若A=60，a=，则 2 20（P12习题10）在已知两边a，b和一边的对角A，求角B时，如果A是锐角，那么可能出现哪几种情况?如果A为钝角呢？21（P17习题10）在ABC中，已知2a=b+c，sinA=sinBsinC,试判断ABC的形状。正三角形22（P24习题5）、已知向量a，b，c满足a+b+c=0，且a，b的夹角等于135， b，c的夹角等于120，|=2，求|a| ，|b|。 |a|=，|b|=+123.（习题6）如图，已知A为定角，P,Q分别在A的两边上，PQ为定长。当PQ处于什么位置时，APQ的面积最大？当x=时S=高考题1.为得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个长度单位2.（若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为 3.若，则的取值范围是：4.把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 5. 将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为 6.已知cos（-）+sin= - 7.函数在区间上的最大值是 8.函数f(x)=() 的值域是 -1,0 9.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是 2 10.若则= 2 11. = 2 12.函数f(x)sin x +sin(+x)的最大值是 2 13.已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m（），n（cosA,sinA）.若mn，且acosB+bcosA=csinC，则角B .14.的最小正周期为，其中，则= 10 15.已知函数，则的最小正周期是 16.设的内角所对的边长分别为，且（）求的值；（）求的最大值解：解析：（）在中，由正弦定理及可得即，则；（）由得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.17在中， （）求的值；（）设的面积，求的长（）由，得，由，得所以（）由得，由（）知，故，又，故，所以 高三一轮复习：三角函数与解三解形-三角函数、三角恒等变形与解三角形练习第29页 共29页二、 角的概念、定义一、知识清单1. 终边相同的角与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）: ;终边在x轴上的角的集合:;终边在y轴上的角的集合：;终边在坐标轴上的角的集合：.2. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制.3.弧度制下的公式扇形弧长公式，扇形面积公式，其中为弧所对圆心角的弧度数。4.三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在终边上任取一点（与原点不重合），记，则，。注: 三角函数值只与角的终边的位置有关，由角的大小唯一确定,三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数. 根据三角函数定义可以推出一些三角公式:诱导公式：即或之间函数值关系，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系.重视用定义解题.三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.如单位圆5. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦 正弦 余弦 正切典型例题例1、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-36004或m例6.若是第三象限角,且,则是第二象限角变式1、（08江西）在复平面内，复数对应的点在第四象限例7、若的终边所在象限是第四象限变式1、（07北京文理1）已知，那么角是第三或第四象限角变式2（08全国1）若且是，则是第三象限角实战训练1、（07全国1文2）是第四象限角，则 2、（07全国2 理1）sin2100 =- 3、（07全国2文1） 4、（07湖北文1）tan690的值为- 5、(07浙江文2)已知，且，则tan 6、（08江苏模拟）已知，则= 7、的值是 8、角的终边过点P（8m，6cos60）且cos=，则m的值是9、已知sin=，cos=，若是第二象限角，则实数a10、已知是第二象限的角（1） 指出2所在的象限，并用图象表示其变化范围；第一或第三象限（2） 若,求的范围.（-）11、已知，求的值。T=4f(1)=cos三、 三角函数公式知识清单：（一）基本关系公式组二 ()公式组三公式组四 公式组五 公式组六 (二)两角和与差公式公式组一公式组二: ,公式组三, ,常用数据: 的三角函数值 , ,注: 以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备.三角函数恒等变形的基本策略。常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。项的分拆与角的配凑。如分拆项：;配凑角(常用角变换):、等.降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。典型例题例1、同角三角函数的基本关系已知，求变式1：已知，x0,0)相应地，的单调增区间 的解集是的增区间.注:或（）的周期;的对称轴方程是（），对称中心；的对称轴方程是（），对称中心；的对称中心（）.课前预习1函数的最小正周期是 2 . 2函数的最小正周期T= 4 3函数的最小正周期是4函数为增函数的区间是 5函数的最小值是16为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左平移个单位长度7将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移个单位，所得图象的解析式是y=sin(x+). 8 函数在区间的最小值为_1_. 9已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（xR）求f(x)的最小正周期；y=5sin(2x-) T=求f(x)单调区间；k,k+, k,k+k求f(x)图象的对称轴，对称中心。x=,() k典型例题例1、三角函数图像变换将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？变式1：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？例2、已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为，例3、三角函数性质求函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时的值的集合； 变式1：函数y=2sinx的单调增区间是2k，2k（kZ）变式2、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以为周期的偶函数是( B)(A)y=lgx2 (B)y=|sinx| (C)y=cosx (D)y=变式3、已知，求函数的值域y=sin（x+）变式4、已知函数 y=log()求它的定义域和值域；(2k) kZ 求它的单调区间；减(2k),增(2k) kZ判断它的奇偶性；非奇非偶 判断它的周期性.2例4、三角函数的简单应用如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（x）b.（）求这段时间的最大温差；20（）写出这段曲线的函数解析式y=10sin（）+20例5、三角恒等变换函数y的最大值是1变式1：已知，求的值1/2变式2：已知函数，求的最大值和最小值32实战训练1函数的最小正周期为 2. 函数的最小正周期是_3函数的最大值等于 4（07年浙江卷理2）若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则5（2007年辽宁卷7）若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量6（2007年江西卷文2）函数的最小正周期为7（2007年湖北卷理2）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为8（2007年广东卷理3）若函数，则f(x)是最小正周期为的偶函数9（2007年福建卷理5）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ A ）A关于点对称B关于直线对称C关于点对称 D关于直线对称10（2007年江苏卷1）下列函数中，周期为的是（ D ）A B C D11（2007年江苏卷5）函数的单调递增区间是（ D ）A B C D12（2007年天津卷文9）设函数，则（ A ）A在区间上是增函数B在区间上是减函数C在区间上是增函数D在区间上是减函数13（07年山东卷文4）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ A）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位14（07年全国卷二理2）函数的一个单调增区间是（ C ）ABCD15（2007年北京卷文3）函数的最小正周期是16（2007年重庆卷文）（18）已知函数。（）求f(x)的定义域； （）若角a在第一象限且x|xk-,kZ 14/5五、 解三角形知识清单常用的主要结论有：(1)A+B+C=1800 任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.等边对等角:; 大边对大角:底高=(其中是内切圆半径)(正弦定理)(余弦定理)课前预习1已知，求2.在中，如果=568，那么此三角形最大角的余弦值是-1/33在中，、分别为角、的对边，若，则边的长等于 4已知：在ABC中，则此三角形为等腰三角形5在ABC中，角A、B、C的对边分别为则26在中，,分别是，的对边，且则等于 7在中,则a等于58在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为米9在中，,若这个三角形有两解，则的取值范围是10在中，已知内角，边.设内角,面积为.六、 求函数的解析式和定义域；y=sin（2x+）-(0x)七、 求的最大值. 典型例题例1正弦定理与余弦定理在中，若 ，则变式1：在中，若a=6，则_2_变式2：在中，若 ，则此三角形的周长为_变式3：已知a、b、c是ABC中A、B、C的对边，S是ABC的面积若a=4，b=5，S=5，求c的长度或例2.三角形中的几何计算在中，的平分线交过点且与平行的线于点求的面积3变式1：已知的周长为，且（I）求边的长；1（II）若的面积为，求角的度数变式2：ABC中，则ABC的周长为例3解三角形的实际应用某观察站B在城A的南偏西的方向，由A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B31km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km。这个人还要走多少路才能到达A城？15实战训练1（2007年重庆卷理5）在中，则BC = 2（2007年北京卷理11）在中，若，则3（2007年重庆卷文13）在ABC中，AB=1,BC=2,B=60，则AC。4（2007年湖南卷文12）在中，角所对的边分别为，若，则 5在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =，且(1) 求角C的大小； （2）求ABC的面积.6在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且（1）求tanC的值; -1 （2）若ABC最长的边为1，求b。8在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）求的值9在ABC中，已知角A为锐角，且.（I）求f (A)的最大值；sin(2A+)+ +（II）若，求ABC的三个内角和AC边的长.10已知的周长为，且（I）求边的长；1（II）若的面积为，求角的度数60三角函数、三角恒等变形与解三角形练习A组（1） 若角的终边过点，则的值为（ ）(A) (B)(C) (D) （2） 的图象与直线的交点的个数为（ ）(A)0 (B)1(C)2 (D)3（3）在中，则的值为（ ）(A)(B)(C)(D)（4）化简的结果是（ ）(A)(B)(C) (D) （5）在中，若，则此三角形解的情况为（ ）(A)无解(B)两解(C)一解(D)解的个数不能确定（6）若，且为第三象限角，则的值为（ ）(A)(B) (C) (D) （7）有以下四种变换方式： 向左平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； 向右平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； 每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平行移动个单位长度； 每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平行移动个单位长度其中能将函数的图象变为函数的图象的是（ ）(A)和 (B)和(C)和(D)和（8）在中，若，则（ ）(A)(B)(C)(D)（9）已知，则的值为 （10）函数在一个周期的区间上的图象如图，则 ， ， （11）已知，其中（1）求；（2）求的值（12）已知，求的值（13）一个单摆如图所示，小球偏离铅垂方向的角为作为时间 的函数，满足关系求：（1）最初时的值是多少？（2）单摆摆动的频率是多少？（3）经过多长时间单摆完成5次完整摆动？（14） 已知函数（1）求的最小正周期；（2）画出函数在区间上的图象（15） 已知函数的最大值为1（1）求常数的值；（2）求使成立的x的取值集合B