从有理数谈起.doc

從有理數談起 左太政 /國立高雄師範大學數學系 一、何謂有理數（rational numbers or quotients）（一）有理數的集合 為整數，（二）Rational Numbers名稱的意義（三）有理數具有稠密性但不具有完備性 （四）單位分數及埃及分數1.試問介於 0與1 之間的任意有理數是否可表為單位分數的和？如果可以,其表法是否只有一種？2.試問任意單位分數是否能表為至少二個相異單位分數之和？3.設為正整數，若 為整數，試證：+。4.設 為奇數，試證： 必可表成二相異單位分數之和。（註:在西元前1650年 Rhine papyrus 已記載可表為埃及分數的和，其中為介於5和101之間的奇數）5.設 為互質的正整數，試證：必存在互質正整數,使得 成立之充要條件為必存在正整數 使得 及為整數。6.設為正整數，且滿足,試證：可被1979所整除。 （五）未解決問題 1.Erdos-Straus conjecture: 有相異正整數解.2.Sierpinski conjecture（1956）: 有相異正整數解. （六）(Salamin and Gosper 1972) 任取一個有理數使得其分母是偶數的機率為 。 （七）猜測(Conjecture)-數學的本質 試證：若存在一個實數使得 與 都是整數，則必為有理數。 （八）範例： 1. 設n為一個三位正整數,若的末三位數正好是n,試求滿足這樣條件的所有n值。 2.已知 為相異的有理數，試證： 必為某一個有理數的完全平方。 3.試證：必存在無窮多組,使得為整數，及 必為某一個整數的完全平方。 4.試求滿足方程式 的所有有理數解。 5.已知為正整數且試證：有無限 多組解；已知（1,1），(3,6)，(15,35),(85,204)為前四組解,試找出另三組解。 二、何謂無理數（irrational numbers）（一）無理數的意義：凡不是有理數的時數者稱為無理數。（二）無理數的個數比有理數多（Cardinal Number）有理數的集合是可數集但無理數的集合是不可數集。（三）根號數 是人類最早發現的無理數之一，又稱為Pythagorasconstants,早在西元前500年人們已證明 是無理數。 問題 1. 的長度如何求得？(可利用勾股定理（又稱畢氏定理）或正方形面積) 問題 2. 試給 是無理數的不同證明 問題 3. 試給 是無理數的不同證明，其中不為某一個整數的完全平方。 問題 4. 若為有理數， 且為無理數，試證：為無理數。 問題 5. 若為正無理數，且 為正整數，試證： 為無理數。 問題 6. 若為正有理數，且 為無理數，試證： 為無理數。又當時，則為無理數。三、尺規作圖 1.已知為正整數，試問如何用尺規做出 的長度來？2.已知的長度，試問如何用尺規做出1的長度來？3.試問能否用尺規做出 長度來呢？四、二個特殊的無理數： 與 1.是無理數的證明 （1）Euler（Swizerland,1707-1783）於1737 年證明和為無理數。 （1）利用， （2）利用反證法假設 為有理數，而得到矛盾。 2.是無理數的證明 由 Lambert（France,1728-1777）在 1768年發表是無理數的證明；他證明下列定理而得到結論：設為異於零之有理數，則與都不是有理數。但他的證明不完整，最後由Lengendre（1752-1833,France）給予完整證明。3.其他無理數 （1）為無理數，其中不是整數的次方冪。（2）為無理數，其中,皆為整數。（3）為無理數，其中為有理數。（4）為無理數，其中為有理數。（5）為無理數，其中,為有理數。（6）為無理數，其中為有理數。（7）為無理數，為正整數。五、代數數與超越數 實數又分為代數數（algebraic number）和超越數（transcendental number）二種， 1.代數數：如果實數為某一個整係數多項式的根，則此數稱為代數數。例如所有有理數及根號數都是代數數。從集合論的觀點而言，所有代數數所組成的集合是可數集（countable set）。 2.超越數：凡不是代數數的實數稱為超越數，例如 和 。（1）1873年由Hermite（1822-1901,France）證明為超越數；（2）1882年由Lindemann（185