数学规划模型

数学建模竞赛中的优化问题 数学建模培训组2015 4 教学目的 让大家了解数学建模中常常遇到的问题 优化问题 初步认识数学建模需要准备的算法 软件 内容提要 1 优化模型的基本概念2 优化问题的建模实例3 LINGO软件简介 1 优化模型的基本概念 最优化是工程技术 经济管理 科学研究 社会生活中经常遇到的问题 如 优化模型和算法的重要意义 结构设计 资源分配 生产计划 运输方案 解决优化问题的手段 经验积累 主观判断 作试验 比优劣 建立数学模型 求解最优策略 最优化 在一定条件下 寻求使目标最大 小 的决策 优化问题 与最大 最小 最长 最短等等有关的问题 解决最优化问题的数学方法 运筹学运筹学主要分支 线性规划 非线性规划 动态规划 图与网络分析 存贮论 排队伦 对策论 决策论 线性规划1939年苏联数学家康托洛维奇发表 生产组织与计划中的数学问题 1947年美国数学家乔治 丹契克 冯 诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论 优化问题三要素 决策变量 目标函数 约束条件 优化问题的一般形式 无约束优化 没有约束 与约束优化 有约束 可行解 只满足约束 与最优解 取到最优值 局部最优解与整体最优解 局部最优解 LocalOptimalSolution 如x1 整体最优解 GlobalOptimalSolution 如x2 优化模型的简单分类 线性规划 LP 目标和约束均为线性函数非线性规划 NLP 目标或约束中存在非线性函数二次规划 QP 目标为二次函数 约束为线性整数规划 IP 决策变量 全部或部分 为整数整数线性规划 ILP 整数非线性规划 INLP 纯整数规划 PIP 混合整数规划 MIP 一般整数规划 0 1 整数 规划 连续优化 离散优化 数学规划 优化模型的简单分类和求解难度 优化 线性规划 非线性规划 二次规划 连续优化 整数规划 问题求解的难度增加 例家具生产的安排一家具公司生产桌子和椅子 用于生产的全部劳力共计450个工时 共有4立方的木材 每张桌子要使用15个工时 0 2立方木材 售价80元 每张椅子使用10个工时 0 05立方木材 售价45元 问为达到最大的收益 应如何安排生产 分析 1 求什么 生产多少桌子 生产多少椅子 2 优化什么 收益最大3 限制条件 原料总量劳力总数 x1x2Maxf 80 x1 45x20 2x1 0 05x2 415x1 10 x2 450 一般线性规划的数学模型及解法 minf cTxs t Ax bA1x b1LB x UBMatlab求解程序 x f linprog c A b A1 b1 LB UB 一个简单的LINGO程序 例直接用LINGO来解如下二次规划问题 输入窗口如下 LINGO简介 LINGO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包 由于LINGO执行速度快 易于方便地输入 求解和分析数学规划问题 因此在教学 科研和工业界得到广泛应用 LINGO主要用于求解线性规划 非线性规划 二次规划和整数规划等问题 也可以用于求解一些线性和非线性方程组及代数方程求根等 使用入门 界面 使用入门 菜单命令 File Edit matchparenthesis 括号匹配 选定某括号的一边 然后点击此选项 程序会自动寻找与之相匹配的括号 如果未找到 会有弹窗提示 pastefunction 用来进行函数的插入 lingo solution 主要是考察结果 可以指定某一行或者某一个项目来考察结果 有文字形式也有图表形式 range 主要是用于灵敏度分析 在这里要先更改默认设置 将price改为priceandrange 然后才能运行range generate 可以产生相对应的程序 debug 用于调试程序 只能在程序出错时才能用 示例 model sets number 1 6 x endsetsdata x 5134610 enddataend 程序结构 集 LINGO的程序一般是一 MODEL 开头 以 end 结束 内容包括四部分 集部分 数据部分 初始部分 目标函数 约束函数部分 集部分是LINGO模型的一个可选部分 在LINGO模型中使用集之前 必须在集部分事先定义 集部分以关键字 sets 开始 以 endsets 结束 一个模型可以没有集部分 或有一个简单的集部分 或有多个集部分 一个集部分可以放置于模型的任何地方 但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须被定义 程序结构 原始集 集包括原始集和派生集两种 定义原始集为了定义一个原始集 必须详细声明 集的名字 可选 集的成员 可选 集成员的属性定义一个原始集 用下面的语法 setname member list attribute list 注意 用 表示该部分内容可选 示例1 model sets students John Linda Tom age gender endsetsEnd示例2 Model Sets Month Jan Dec temperature Endsetsend 程序结构 原始集 集成员列表的罗列可以有显式罗列和隐式罗列两种 显示罗列如上页所示 即将集成员全部罗列出来 隐式罗列不必罗列出每个集成员 可采用如下语法 setname member1 memberN attribute list 这里的member1是集的第一个成员名 memberN是集的最末一个成员名 LINGO将自动产生中间的所有成员名 LINGO也接受一些特定的首成员名和末成员名 用于创建一些特殊的集 列表如下 隐式成员列表格式示例所产生集成员 程序结构 原始集 也可以将集成员在数据部分定义 示例 集部分 sets students sex age endsets 数据部分 data students sex age John116Jill014Rose017Mike113 Enddata注意 开头用感叹号 末尾用分号 表示注释 可跨多行 请注意 数据部分的数据之间可以用空格隔开 也可以用逗号隔开 程序默认的数据是从索引1开始分配 即将 students sex age 的第一个数据分配完了之后再分配其第二个数据 再如下例 model sets students John Linda Tom age gender EndsetsData Age gender 10 1 11 0 12 1 enddataEnd运行之后便可看出数据分配的结果 程序结构 派生集 定义派生集为了定义一个派生集 必须详细声明 集的名字 父集的名字 可选 集成员 可选 集成员的属性可用下面的语法定义一个派生集 setname parent set list member list attribute list setname是集的名字 parent set list是已定义的集的列表 多个时必须用逗号隔开 如果没有指定成员列表 那么LINGO会自动创建父集成员的所有组合作为派生集的成员 派生集的父集既可以是原始集 也可以是其它的派生集 示例 model sets students John Linda Tom age gender friends Harry Green Links students friends relationship EndsetsData Relationship 8 4 9 6 6 8 enddataEnd 程序结构 派生集 稀疏集可以用显式表示也可以用成员资格过滤器表示 显式表示可如下示例 Links students friends John Harry Linda Green relationship 1 成员资格过滤器表示可如下示例 Links students friends 2 分别插入程序中 并修改数据 可得到如下结果 1 RELATIONSHIP JOHN HARRY 8 000000RELATIONSHIP LINDA GREEN 6 000000 2 RELATIONSHIP JOHN GREEN 8 000000 程序结构 数据 数据部分以关键字 data 开始 以关键字 enddata 结束 在这里 可以指定集成员 集的属性 其语法如下 object list value list 对象列 object list 包含要指定值的属性名 要设置集成员的集名 用逗号或空格隔开 一个对象列中至多有一个集名 而属性名可以有任意多 如果对象列中有多个属性名 那么它们的类型必须一致 如果对象列中有一个集名 那么对象列中所有的属性的类型就是这个集 数值列 value list 包含要分配给对象列中的对象的值 用逗号或空格隔开 注意属性值的个数必须等于集成员的个数 看下面的例子 示例 sets set1 A B C X Y endsetsdata X 1 2 3 Y 4 5 6 Enddata数据部分也可以如此表示 其本质是一样的 data X Y 142536 enddata 程序结构 数据 Data部分也可以用来定义标量变量 如下所示 data interest rate 085 enddata也可以同时指定多个参数 data interest rate inflation rate 085 03 enddata在某些情况 对于模型中的某些数据并不是定值 譬如模型中有一个通货膨胀率的参数 我们想在2 至6 范围内 对不同的值求解模型 来观察模型的结果对通货膨胀的依赖有多么敏感 我们把这种情况称为实时数据处理 whatifanalysis LINGO有一个特征可方便地做到这件事 在本该放数的地方输入一个问号 如下所示 data interest rate inflation rate 085 enddata每一次求解模型时 LINGO都会提示为参数inflation rate输入一个值 在WINDOWS操作系统下 将会接收到一个类似右上角所示的对话框 直接输入一个值再点击OK按钮 LINGO就会把输入的值指定给inflation rate 然后继续求解模型 程序结构 数据 指定属性为一个值可以在数据声明的右边输入一个值来把所有的成员的该属性指定为一个值 看下面的例子 数据部分的未知数值有时只想为一个集的部分成员的某个属性指定值 而让其余成员的该属性保持未知 以便让LINGO去求出它们的最优值 在数据声明中输入两个相连的逗号表示该位置对应的集成员的属性值未知 两个逗号间可以有空格 属性capacity的第2个和第3个值分别为34和20 其余的未知 示例1 sets days MO TU WE TH FR SA SU needs cost endsetsdata needscost 20100 Enddata示例2 sets years 1 5 capacity endsetsdata capacity 34 20 Enddata属性capacity的第2个和第3个值分别为34和20 其余的未知 程序结构 初始部分 初始部分是LINGO提供的另一个可选部分 在初始部分中 可以输入初始声明 initializationstatement 和数据部分中的数据声明相同 对实际问题的建模时 初始部分并不起到描述模型的作用 在初始部分输入的值仅被LINGO求解器当作初始点来用 并且仅仅对非线性模型有用 和数据部分指定变量的值不同 LINGO求解器可以自由改变初始部分初始化的变量的值 一个初始部分以 init 开始 以 endinit 结束 初始部分的初始声明规则和数据部分的数据声明规则相同 也就是说 我们可以在声明的左边同时初始化多个集属性 可以把集属性初始化为一个值 可以用问号实现实时数据处理 还可以用逗号指定未知数值 示例 init X Y 0 001 endinitY log X X Y 1 注意 好的初始点会减少模型的求解时间 如左例中 若将x的初始值改为0 9 则可以明显减少迭代次数 程序结构 基本运算符 一 基本运算符1 算术运算符算术运算符是针对数值进行操作的 LINGO提供了5种二元运算符 乘方 乘 除 加 减LINGO唯一的一元算术运算符是取反函数 这些运算符的优先级由高到底为 高 取反 低 运算符的运算次序为从左到右按优先级高低来执行 运算的次序可以用圆括号 来改变 程序结构 逻辑运算符 2 逻辑运算符在LINGO中 逻辑运算符主要用于集循环函数的条件表达式中 来控制在函数中哪些集成员被包含 哪些被排斥 在创建稀疏集时用在成员资格过滤器中 LINGO具有 种逻辑运算符 not 否定该操作数的逻辑值 not 是一个一元运算符 eq 若两个运算数相等 则为true 否则为flase ne 若两个运算符不相等 则为true 否则为flase gt 若左边的运算符严格大于右边的运算符 则为true 否则为flase ge 若左边的运算符大于或等于右边的运算符 则为true 否则为flase lt 若左边的运算符严格小于右边的运算符 则为true 否则为flase le 若左边的运算符小于或等于右边的运算符 则为true 否则为flase and 仅当两个参数都为true时 结果为true 否则为flase or 仅当两个参数都为false时 结果为false 否则为true这些运算符的优先级由高到低为 高 not eq ne gt ge lt le 低 and or 程序结构 数学算符 二 数学函数LINGO提供了大量的标准数学函数 abs x 返回x的绝对值 sin x 返回x的正弦值 x采用弧度制 cos x 返回x的余弦值 tan x 返回x的正切值 exp x 返回常数e的x次方 log x 返回x的自然对数 lgm x 返回x的gamma函数的自然对数 sign x 如果x 0时 返回不超过x的最大整数 当x 0时 返回不低于x的最小整数 smax x1 x2 xn 返回x1 x2 xn中的最大值 smin x1 x2 xn 返回x1 x2 xn中的最小值 程序结构 概率函数 三 概率函数1 pbn p n x 二项分布的累积分布函数 当n和 或 x不是整数时 用线性插值法进行计算 2 pcx n x 自由度为n的 2分布的累积分布函数 3 peb a x 当到达负荷为a 服务系统有x个服务器且允许无穷排队时的Erlang繁忙概率 4 pel a x 当到达负荷为a 服务系统有x个服务器且不允许排队时的Erlang繁忙概率 5 pfd n d x 自由度为n和d的F分布的累积分布函数 6 pfs a x c 当负荷上限为a 顾客数为c 平行服务器数量为x时 有限源的Poisson服务系统的等待或返修顾客数的期望值 a是顾客数乘以平均服务时间 再除以平均返修时间 当c和 或 x不是整数时 采用线性插值进行计算 7 phg pop g n x 超几何 Hypergeometric 分布的累积分布函数 pop表示产品总数 g是正品数 从所有产品中任意取出n n pop 件 pop g n和x都可以是非整数 这时采用线性插值进行计算 8 ppl a x Poisson 分布的线性损失函数 即返回max 0 z x 的期望值 其中随机变量z服从均值为a的Poisson分布 9 pps a x 均值为a的Poisson分布的累积分布函数 当x不是整数时 采用线性插值进行计算 10 psl x 单位正态线性损失函数 即返回max 0 z x 的期望值 其中随机变量z服从标准正态分布 11 psn x 标准正态分布的累积分布函数12 ptd n x 自由度为n的t分布的累积分布函数 程序结构 qrand 13 qrand seed 产生服从 0 1 区间的拟随机数 qrand只允许在模型的数据部分使用 它将用拟随机数填满集属性 通常 声明一个m n的二维表 m表示运行实验的次数 n表示每次实验所需的随机数的个数 在行内 随机数是独立分布的 在行间 随机数是非常均匀的 这些随机数是用 分层取样 的方法产生的 model data M 4 N 2 seed 1234567 enddatasets rows 1 M cols 1 N table rows cols x endsetsdata X qrand seed enddataend如果没有为函数指定种子 那么LINGO将用系统时间构造种子 程序结构 rand 14 rand seed 返回0和1间的伪随机数 依赖于指定的种子 典型用法是U I 1 rand U I 注意如果seed不变 那么产生的随机数也不变 示例 利用 rand产生15个标准正态分布的随机数和自由度为2的t分布的随机数 model 产生一列正态分布和t分布的随机数 sets series 1 15 u znorm zt endsets 第一个均匀分布随机数是任意的 u 1 rand 1234 产生其余的均匀分布的随机数 for series I I GT 1 u I rand u I 1 for series I 正态分布随机数 psn znorm I u I 和自由度为2的t分布随机数 ptd 2 zt I u I ZNORM和ZT可以是负数 free znorm I free zt I end 程序结构 变量界定函数 四 变量界定函数变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制 共4种 bin x 限制x为0或1 bnd L x U 限制L x U free x 取消对变量x的默认下界为0的限制 即x可以取任意实数 gin x 限制x为整数在默认情况下 LINGO规定变量是非负的 也就是说下界为0 上界为 free取消了默认的下界为0的限制 使变量也可以取负值 bnd用于设定一个变量的上下界 它也可以取消默认下界为0的约束 应用示例 1 若添加 free函数 free x1 free x2 则结果显示为 UnboundedSolution 即为无界解 2 若将添加 gin函数 gin x1 gin x2 则结果显示 x1 0 x2 0 说明 gin函数限制x为整数的同时也限定x 0 3 若将程序修改为 max x1 x2 x1 x2 2 x1 2 x2 3 则结果显示为x1 2 333333 x2 0 333333 为全局最优解 4 若将添加 gin函数 gin x1 gin x2 则结果显示为 x1 1 x2 1 即为整数最优解 程序结构 集操作函数 五 集操作函数LINGO提供了几个函数帮助处理集 1 in set name primitive index 1 primitive index 2 如果元素在指定集中 返回1 否则返回0 示例 全集为I B是I的一个子集 C是B的补集 sets I x1 x4 B I x2 C I not in B endsets此例C I 中的元素为x1 x3 x4 另见此例 model sets series x1 x5 endsetsy in series 8 End返回的结果为y 0 说明集series中不包括第8个元素 若程序为 model sets series x1 x5 series1 z1 z4 links series series1 endsetsy in links 1 4 End返回的结果为y 1 说明在集links中存在第一行第四列的元素 程序结构 集操作函数 2 index set name primitive set element 该函数返回在集set name中原始集成员primitive set element的索引 如果set name被忽略 那么LINGO将返回与primitive set element匹配的第一个原始集成员的索引 如果找不到 则产生一个错误 示例1 如何确定集成员 B Y 属于派生集S3 sets S1 ABC S2 XYZ S3 S1 S2 AX AZ BY CX endsetsX in S3 index S1 B index S2 Y 看下面的例子 表明有时为 index指定集是必要的 示例2 sets girls debble sue alice boys bob joe sue fred endsetsI1 index sue I2 index boys sue I1的值是2 I2的值是3 我们建议在使用 index函数时最好指定集 程序结构 集操作函数 3 wrap index limit 该函数返回j index k limit 其中k是一个整数 取适当值保证j落在区间 1 limit 内 该函数相当于index模limit再加1 该函数在循环 多阶段计划编制中特别有用 4 size set name 该函数返回集set name的成员个数 在模型中明确给出集大小时最好使用该函数 它的使用使模型更加数据中立 集大小改变时也更易维护 程序结构 集循环函数 六 集循环函数集循环函数遍历整个集进行操作 其语法为 function setname set index list conditional qualifier expression list function相应于下面罗列的四个集循环函数之一 setname是要遍历的集 set index list是集索引列表 conditional qualifier是用来限制集循环函数的范围 当集循环函数遍历集的每个成员时 LINGO都要对conditional qualifier进行评价 若结果为真 则对该成员执行 function操作 否则跳过 继续执行下一次循环 expression list是被应用到每个集成员的表达式列表 当用的是 for函数时 expression list可以包含多个表达式 其间用分号隔开 这些表达式将被作为约束加到模型中 当使用其余的三个集循环函数时 expression list只能有一个表达式 如果省略set index list 那么在expression list中引用的所有属性的类型都是setname集 1 for该函数用来产生对集成员的约束 基于建模语言的标量需要显式输入每个约束 不过 for函数允许只输入一个约束 然后LINGO自动产生每个集成员的约束 示例 产生序列 1 4 9 16 25 sets number 1 5 x for number I x I I 2 endsets 程序结构 集循环函数 2 sum该函数返回遍历指定的集成员的一个表达式的和 示例1 求向量 5 1 3 4 6 10 前5个数的和 model data N 6 enddatasets number 1 N x endsetsdata x 5134610 enddatas sum number I I le 5 x End注意 此时如果将集部分和第一个数据部分调换的话 程序无法运行 因为此时N尚未被定义 3 min和 max返回指定的集成员的一个表达式的最小值或最大值 示例2 求向量 5 1 3 4 6 10 前5个数的最小值 后3个数的最大值 model data N 6 enddatasets number 1 N x endsetsdata x 5134610 enddataminv min number I I le 5 x maxv max number I I ge N 2 x end LINGO实战 file函数 1 file函数该函数用从外部文件中输入数据 可以放在模型中任何地方 该函数的语法格式为 file 这里是文件名 可以采用相对路径和绝对路径两种表示方式 file函数对同一文件的两种表示方式的处理和对两个不同的文件处理是一样的 这一点必须注意 示例 以上例来讲解 file函数的用法 注意到在上例编码中有两处涉及到数据 第一个地方是集部分的6个warehouses集成员和8个vendors集成员 第二个地方是数据部分的capacity demand和cost数据 为了使数据和我们的模型完全分开 我们把它们移到外部的文本文件中 修改模型代码以便于用 file函数把数据从文本文件中拖到模型中来 LINGO实战 file函数 修改后 修改处代码黑体加粗 的模型代码如下 model sets warehouses file 1 2 txt capacity vendors file 1 2 txt demand links warehouses vendors cost volume Endsetsmin sum links cost volume for vendors J sum warehouses I volume I J demand J for warehouses I sum vendors J volume I J capacity I data capacity file 1 2 txt demand file 1 2 txt cost file 1 2 txt Enddataend LINGO实战 file函数 模型的所有数据来自于1 2 txt文件 其内容如下 warehouses成员 WH1WH2WH3WH4WH5WH6 vendors成员 V1V2V3V4V5V6V7V8 产量 605551434152 销量 3537223241324338 单位运输费用矩阵 626742594953858252197433767392712395726555228143 LINGO实战 text函数 2 text函数该函数被用在数据部分用来把解输出至文本文件中 它可以输出集成员和集属性值 其语法为 text 这里是文件名 可以采用相对路径和绝对路径两种表示方式 如果忽略 那么数据就被输出到标准输出设备 大多数情形都是屏幕 text函数仅能出现在模型数据部分的一条语句的左边 右边是集名 用来输出该集的所有成员名 或集属性名 用来输出该集属性的值 我们把用接口函数产生输出的数据声明称为输出操作 输出操作仅当求解器求解完模型后才执行 执行次序取决于其在模型中出现的先后 LINGO实战 ole函数 3 ole函数 OLE是从EXCEL中引入或输出数据的接口函数 它是基于传输的OLE技术 OLE传输直接在内存中传输数据 并不借助于中间文件 当使用 OLE时 LINGO先装载EXCEL 再通知EXCEL装载指定的电子数据表 最后从电子数据表中获得Ranges 为了使用OLE函数 必须有EXCEL5及其以上版本 OLE函数可在数据部分和初始部分引入数据 OLE可以同时读集成员和集属性 集成员最好用文本格式 集属性最好用数值格式 原始集每个集成员需要一个单元 cell 而对于n元的派生集每个集成员需要n个单元 这里第一行的n个单元对应派生集的第一个集成员 第二行的n个单元对应派生集的第二个集成员 依此类推 OLE只能读一维或二维的Ranges 在单个的EXCEL工作表 sheet 中 但不能读间断的或三维的Ranges Ranges是自左而右 自上而下来读 LINGO实战 ole函数 sets PRODUCT 产品 MACHINE 机器 WEEK 周 ALLOWED PRODUCT MACHINE WEEK x y 允许组合及属性 endsetsdata rate 0 01 PRODUCT MACHINE WEEK ALLOWED x y OLE D IMPORT XLS OLE D IMPORT XLS rate enddata LINGO实战 ole函数 代替在代码文本的数据部分显式输入形式 我们把相关数据全部放在如下电子数据表中来输入 下面是D IMPORT XLS的图表 除了输入数据之外 我们也必须定义Ranges名 PRODUCT MACHINE WEEK ALLOWED x y 明确的 我们需要定义如下的Ranges名 NameRangePRODUCTB3 B4MACHINEC3 C4WEEKD3 D5ALLOWEDB8 D10XF8 F10YG8 G10rateC13为了在EXCEL中定义Ranges名 按鼠标左键拖曳选择Range 释放鼠标按钮 选择 插入 名称 定义 输入希望的名字 点击 确定 按钮 LINGO实战 ole函数 LINGO实战 ole函数 我们在模型的数据部分用如下代码从EXECL中引入数据 PRODUCT MACHINE WEEK ALLOWED x y OLE D IMPORT XLS OLE D IMPORT XLS rate 等价的描述为PRODUCT MACHINE WEEK ALLOWED x y OLE D IMPORT XLS PRODUCT MACHINE WEEK ALLOWED x y OLE D IMPORT XLS rate rate 这一等价描述使得变量名和Ranges不同亦可 程序结构 应用实例 职员时序安排模型一项工作一周7天都需要有人 比如护士工作 每天 周一至周日 所需的最少职员数为20 16 13 16 19 14和12 并要求每个职员一周连续工作5天 试求每周所需最少职员数 并给出安排 注意这里我们考虑稳定后的情况 model sets days mon sun required start endsetsdata 每天所需的最少职员数 required 20161316191412 enddata 最小化每周所需职员数 min sum days start for days J sum days I I le 5 start wrap J I 2 7 required J end 程序结构 应用实例 计算的部分结果为Globaloptimalsolutionfoundatiteration 0Objectivevalue 22 00000VariableValueReducedCostREQUIRED MON 20 000000 000000REQUIRED TUE 16 000000 000000REQUIRED WED 13 000000 000000REQUIRED THU 16 000000 000000REQUIRED FRI 19 000000 000000REQUIRED SAT 14 000000 000000REQUIRED SUN 12 000000 000000START MON 8 0000000 000000START TUE 2 0000000 000000START WED 0 0000000 3333333START THU 6 0000000 000000START FRI 3 0000000 000000START SAT 3 0000000 000000START SUN 0 0000000 000000从而解决方案是 每周最少需要22个职员 周一安排8人 周二安排2人 周三无需安排人 周四安排6人 周五和周六都安排3人 周日无需安排人 程序结构 辅助函数 七 辅助函数1 if logical condition true result false result if函数将评价一个逻辑表达式logical condition 如果为真 返回true result 否则返回false result 示例1 求解最优化问题其LINGO代码如下 model min fx fy fx if x gt 0 100 0 2 x fy if y gt 0 60 0 3 y x y 30 end2 warn text logical condition 如果逻辑条件logical condition为真 则产生一个内容为 text 的信息框 示例2 model x 1 warn x是正数 x gt 0 end LINGO的语法规定 1 求目标函数的最大值和最小值分别用MAX 或MIN 来表示 2 每个语句必须以分号 结束 每行可以有多个语句 语句可以跨行 3 变量名称必须以字母 A Z 开头 由字母 数字 0 9 和下划线 组成 长度不超过32个字符 不区分大小写 4 可以给语句加上标号 例如 OBJ MAX 5 以 开头 以 结束的语句是注释语句 6 如果对变量的取值范围没有作特殊说明 则默认所有决策变量都非负 7 LINGO模型以语句 MODEL 开头 以 END 结束 对于比较简单的模型 这两句可以省略 LINGO的基本用法的几点注意事项 LINGO中不区分大小写字母 8个字符 变量和行名 32个字符 且必须以字母开头 LINGO中假定所有变量非负 除非用限定变量取值范围的函数 free或 sub或 slb另行说明 变量可以放在约束条件的右端 同时数字也可放在约束条件的左端 但为了提高LINGO求解时的效率 应尽可能采用线性表达式定义目标和约束 如果可能的话 语句是LINGO的基本单位 每个语句都以分号结尾 编写程序时应注意模型的可读性 例如 一行只写一个语句 按照语句之间的嵌套关系对语句安排适当的缩进 增强层次感 以感叹号开始的是说明语句 说明语句也需要以分号结束 LINGO总是根据 MAX 或 MIN 寻找目标函数 而除注释语句和TITLE语句外的其他语句都是约束条件 因此语句的顺序并不重要 限定变量取整数值的语句为 GIN X1 和 GIN X2 不可以写成 GIN 2 否则LINGO将把这个模型看成没有整数变量 LINGO中函数一律需要以 开头 其中整型变量函数 BIN GIN 和上下界限定函数 FREE SUB SLB 与LINDO中的命令类似 而且0 1变量函数是 BIN函数 LINGO的基本用法的几点注意事项 工具栏 F3 打开文件 F7 打印文件 Edit Copy Ctrl C 复制 Edit Undo Ctrl Z 取消操作 Edit Find Ctrl F 查找 LINGO Solution Alt O 显示解答 Edit MatchParenthesis Ctrl P 匹配括号 LINGO Options Ctrl I 选项设置 Window CloseAll Alt X 关闭所有窗口 Help Contents F1 在线帮助 F2 新建文件 F4 保存文件 Edit Cut Ctrl X 剪切 Edit Paste Ctrl V 粘贴 Edit Redo Ctrl Y 恢复操作 Edit GoToLine Ctrl T 定位某行 LINGO Solve Ctrl S 求解模型 LINGO Picture Ctrl K 模型图示 Window SendtoBack Ctrl B 窗口后置 Window Tile Alt T 平铺窗口 上下文相关的帮助 输出特殊格式文件 MPS格式文件 MPI格式文件 IBM开发的数学规划文件标准格式 LINDO公司制定的数学规划文件格式 用户基本信息 该命令弹出一个对话框 要求输入用户名和密码 这些信息在用 ODBC函数访问数据库要用到 选择性粘贴 该命令把Window剪贴板中的内容插入到光标所在位置 插入新对象 链接 修改模型内插入对象的链接性质 对象的性质 在模型中选择一个链接或嵌入对象 用本命令可以查看和修改这个对象的属性 灵敏度分析 该命令产生当前模型的灵敏度分析报告 1 最优解保持不变的情况下 目标函数的系数变化范围 2 在影子价格和缩减成本系数都不变的前提下 约束条件右边的常数变化范围 例 做下列模型的灵敏度分析 MAX 200 X1 300 X2 X1 100 X2 120 X1 2 X2 160 注 灵敏性分析耗费相当多的求解时间 因此当速度很关键时 就没有必要激活它 生成模型的展开形式 为当前模型生成一个用代数表达式表示的完整形式 即LINGO将所有基于集合的表达式 目标函数和约束条件 扩展成为等价的完全展开的普通数学表达式模型 生成图形 由模型生成图形 以矩阵形式显示模型的系数 调试 模型统计资料 调试结果 找到充分行 SufficientRows 和必要行 NecessaryRows 查看 以为本方式显示模型内容 命令行窗口 主要是为用户交互地测试命令脚本而设计 通常不用 状态窗口 变量 约束 非零系数 内存使用量 已运行时间 求解器状态 扩展求解器状态 LINGO软件主要具有两大优点 内置建模语言 允许以简练 直观的方式描述较大规模的优化问题 所需的数据可以以一定格式保存在独立的文件中 可用于求解非线性规划问题 包括非线性整数规划问题 LINGO的文件类型 2 优化问题的建模实例 企业生产计划 1奶制品的生产与销售 空间层次 工厂级 根据外部需求和内部设备 人力 原料等条件 以最大利润为目标制订产品生产计划 车间级 根据生产计划 工艺流程 资源约束及费用参数等 以最小成本为目标制订生产批量计划 时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化 可制订单阶段生产计划 否则应制订多阶段生产计划 例1加工奶制品的生产计划 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 制订生产计划 使每天获利最大 35元可买到1桶牛奶 买吗 若买 每天最多买多少 可聘用临时工人 付出的工资最多是每小时几元 A1的获利增加到30元 公斤 应否改变生产计划 每天 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2 获利24 3x1 获利16 4x2 原料供应 劳动时间 加工能力 决策变量 目标函数 每天获利 约束条件 非负约束 线性规划模型 LP 时间480小时 至多加工100公斤A1 模型分析与假设 比例性 可加性 连续性 xi对目标函数的 贡献 与xi取值成正比 xi对约束条件的 贡献 与xi取值成正比 xi对目标函数的 贡献 与xj取值无关 xi对约束条件的 贡献 与xj取值无关 xi取值连续 A1 A2每公斤的获利是与各自产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1 A2的数量和时间是与各自产量无关的常数 A1 A2每公斤的获利是与相互产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1 A2的数量和时间是与相互产量无关的常数 加工A1 A2的牛奶桶数是实数 线性规划模型 模型求解 图解法 约束条件 目标函数 z c 常数 等值线 在B 20 30 点得到最优解 目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边形的某个顶点取得 单纯形法 单纯形法 运行状态窗口 Variables 变量数量 变量总数 Total 非线性变量数 Nonlinear 整数变量数 Integer Constraints 约束数量 约束总数 Total 非线性约束个数 Nonlinear Nonzeros 非零系数数量 总数 Total 非线性项系数个数 Nonlinear GeneratorMemoryUsed K 内存使用量 ElapsedRuntime hh mm ss 求解花费的时间 求解器 求解程序 状态框 当前模型的类型 LP QP ILP IQP PILP PIQP NLP INLP PINLP 以I开头表示IP 以PI开头表示PIP 当前解的状态 GlobalOptimum LocalOptimum Feasible Infeasible 不可行 Unbounded 无界 Interrupted 中断 Undetermined 未确定 解的目标函数值 当前约束不满足的总量 不是不满足的约束的个数 实数 即使该值 0 当前解也可能不可行 因为这个量中没有考虑用上下界命令形式给出的约束 目前为止的迭代次数 模型求解 软件实现 LINGO9 0 Model max 72 x1 64 x2 x1 x2 50 12 x1 8 x2 480 3 x1 100 end OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3360 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120 0000000 000000X230 0000000 000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 00000048 0000003 0 0000002 0000004 40 0000000 000000NO ITERATIONS 2 20桶牛奶生产A1 30桶生产A2 利润3360元 结果解释 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3360 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120 0000000 000000X230 0000000 000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 00000048 0000003 0 0000002 0000004 40 0000000 000000NO ITERATIONS 2 原料无剩余 时间无剩余 加工能力剩余40 三种资源 资源 剩余为零的约束为紧约束 有效约束 Model max 72 x1 64 x2 x1 x2 50 12 x1 8 x2 480 3 x1 100 end 结果解释 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3360 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120 0000000 000000X230 0000000 000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 00000048 0000003 0 0000002 0000004 40 0000000 000000NO ITERATIONS 2 最优解下 资源 增加1单位时 效益 的增量 原料增加1单位 利润增长48 时间增加1单位 利润增长2 加工能力增长不影响利润 影子价格 35元可买到1桶牛奶 要买吗 35 48 应该买 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元 2元 RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172 00000024 0000008 000000X264 0000008 00000016 000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250 00000010 0000006 6666673480 00000053 33333280 0000004100 000000INFINITY40 000000 最优解不变时目标函数系数允许变化范围 敏感性分析RANGE SENSITIVITY ANALYSISwindow commandwindow输入 setdualco2 x1系数范围 64 96 x2系数范围 48 72 A1获利增加到30元 千克 应否改变生产计划 x1系数由24 3 72增加为30 3 90 在允许范围内 不变 约束条件不变 结果解释 RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172 00000024 0000008 000000X264 0000008 00000016 000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE2