线性代数 矩阵的相似对角化

5 2矩阵的相似对角化 一 相似矩阵的基本概念与性质 1 相似矩阵的概念 定义 对于n阶矩阵A和B 则称A与B相似 称对A所进行的运算为对A进行相似变换 称可逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵 记为 若存在可逆的n阶方阵P使得 或者称A相似于B 一 相似矩阵的基本概念与性质 1 相似矩阵的概念 2 相似矩阵的性质 定理 若n阶矩阵A与B相似 则A与B有相同的特征多项式 证明 因A与B相似 即存在可逆的矩阵P使得 即A与B有相同的特征多项式 从而A与B有相同的特征值 故 一 相似矩阵的基本概念与性质 1 相似矩阵的概念 2 相似矩阵的性质 二 矩阵相似对角化的概念与问题分析 定义 对于n阶矩阵A 则称A可相似对角化 若存在可逆的n阶方阵P 使得 若存在可逆矩阵P使 则 则 二 矩阵相似对角化的概念与问题分析 假设存在可逆矩阵P 使得 即得 矛盾 故矩阵A不能相似对角化 1 问题分析 1 L如何构成 由于是L的n个特征值 而A与L相似 因此就是A的n个特征值 所考虑的问题是寻找可逆的n阶方阵P 使得 即 二 矩阵相似对角化的概念与问题分析 1 问题分析 2 P如何构成 设 即 则由有 于是有 又因为P可逆 因此是A的n个线性无关的特征向量 即 二 矩阵相似对角化的概念与问题分析 A有n个线性无关的特征向量 相似对角化 1 问题分析 2 矩阵可相似对角化的条件 即A每个特征值所对 应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征 值的重数 二 矩阵相似对角化的概念与问题分析 三 矩阵相似对角化的方法步骤 步骤 1 求n阶方阵A的特征值 其重数分别为 2 对每一个特征值求矩阵A特征向量 并找出其中线性无关的特征向量 其最大个数为 3 若则A不能相似对角化 4 若 从而有 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵P 其中 个 个 个 三 矩阵相似对角化的方法步骤 步骤 三 矩阵相似对角化的方法步骤 因此P也不是唯一的 几点说明 特征值的顺序一致 取法不是唯一的 三重根 得A的特征值为 由 得A的特征向量为 显然 最多能找到两个线性无关的特征向量 因此矩阵A不能相似对角化 得A的特征值为 对 对 取特征向量 令 则 取特征向量 解 有 2 由 则P可逆 且 2 因此有 证 1 由题意可知 n维基本向量是A的特征向量 令 即 则存在使得 例 设任意非零n维向量都是n阶方阵A的特征向量 证 2 又n维向量也是A的特征向量 证明A为数量阵 故存在使得 即 因此 即A为数量阵 例 四 矩阵相似对角化的应用 1 人口流动问题 第一年末城乡人口为 即 第k年末城乡人口为 即 记 则有 2 由 求得A的特征值为 它们对应的特征向量分别为 令 则 且 因而有 3 第k年末城乡人口为 故 当时 即当时 城与农村的人口之比为2 1 由A的特征值为 对应的特征向量分别为 故第k年末城乡人口为 线性无关 有 四 矩阵相似对角化的应用 1 人口流动问题 2 微分方程组求解问题 其中 设想 则它们是三个独立 其解非常容易得到 的齐次型微分方程 令 解 2 将矩阵A相似对角化 由 得A的特征值为 对 对 特征向量为 特