难点4化解函数建模与方程思想的综合应用中的难点(修改稿).doc

难点4 你中有我,我中有你 化解函数建模与方程思想的综合应用中的难点江苏省启东中学 张杰“你在桥上看风景 看风景的人在楼上看你 ”.现代诗人卞之琳的断章诗句不妨在此一用,有关函数与方程思想之间,就是存在着如此关系. 请看下面引题: 方程10的解可视为函数yx的图象与函数y的图象交点的横坐标若90的各个实根，(k4)所对应的点(i1，2，k)均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是 分析: 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程。一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决。 本题将方程10转化为一次函数与反比例函数的图象交点的横坐标,实际上给出了一种求解高次方程的解题方法.即求两函数图象交点的横坐标,从而通过类比求解题中提出的问题.解析: 由原方程得,令,则根据题意可知:两图象交点均在直线yx的同侧,由方程组得其交点为和,而函数的图象由立方曲线上下平移得到,因此,(1)若点(i1，2，k) 在直线yx的左上方,则说明与在第第三象限内的交点满足,如过点,则,所以当时,符合题意;(2) 若点(i1，2，k) 在直线yx的右下方,则说明与在第第一象限内的交点满足,如过点,则,所以当时,符合题意;综上所述, 实数a的取值范围是，. 题型一. 函数中的方程思想典例1. (2011湖北) 设函数，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线。(I) 求a、b的值，并写出切线的方程；(II)若方程有三个互不相同的实根0、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。分析: 本题第(I)问中函数是已知的, 可根据导数的几何意义求得在点(2,0)处的切线方程,再利用待定系数法求的解析式;第(II) 问是一个一次三次方程,通过因式分解法,降次成二次方程,从而确定实数、的大致范围,再求实数m的取值范围.解析：(I)由得,切线的方程为;再由得; (II)由(I)得，所以方程中的两实根就是方程的两个相异实根，从而由得,又对任意的，恒成立，特别地，取时，成立得，于是由韦达定理知：，故，对任意的，有，则：；又所以函数在上的最大值为0,即当时对任意的，恒成立；综上：的取值范围是。 点评: 本题第(I)问求系数a、b之值,可由两个方程联立得之,是为方程思想; 第(II)问中的、,也是方程思想.高考试题中函数与方程是融为一体的整体,题设条件中给出的函数,可能使题目显得简洁而已.题型二.方程中的函数思想典例2.(2011南昌期末)设函数,其中,方程有且仅有四个解，求实数的取值范围.分析: 本题方程的左边是一个分段函数,右边是参数的代数式,精确求解已不属于中学阶段学习的问题,难点就是如何转化!可利用数形结合的数学思想,将方程两侧的表达式分别看作函数,作出其图象,利用数形结合的思想求解.解析:时，时，图1-1所以当时，取极小值；(1)当时，方程不可能有四个解；(2) 当时，因,若时，若时，图1-2所以时，取得极小值，又，所以的图像如右图1-1所示,从图像可以看出不可能有四个解。当时，时，时，所以时，取得极大值，又，所以的图像如右图1-2所示：从图像看出方程有四个解，则，所以实数的取值范围是。点评: 本题方程左侧是一个分段函数,它的图象视参数的取值范围而有所不同,因此要分类讨论,特别是三次函数的图象,在高考中是热点载体, 方程右边表示常函数,它的图象是平行于轴的直线,要使直线与分段函数的图象有交点,关键是求函数的最(极)值,是为函数思想.题型三.应用题中的函数与方程思想图2-1图2-2典例3. (2011苏北四市一调)如图2-1，OA，OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD上某点分别修建与OA，OB平行的栈桥MG，MK，且以MG，MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK建立如图2-2所示的直角坐标系，测得CD的方程是，曲线EF的方程是，设点M的坐标为（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度）（1）求三角形观光平台MGK面积的最小值；（2）若要使的面积不小于320平方米，求的范围 分析: 用的代数式表示三角形观光平台MGK面积, 本题的难点是求最值时,不能两次使用基本不等式,必须通过整体换元后,由求导法证所得函数的单调性后,再求最小值; 然后根据此关系式列得不等式,求的范围解析: (1)由题意得,，其中且满足，于是由得,而平台MGK面积所以当且仅当时,即三角形MGK面积的最小值为225平方米.（2）由题意得得或（舍去）将代入得,所以的范围是点评: 本题已知的线段CD方程,可得点坐标满足的等量关系为,这是方程思想; 而由已知的曲线EF方程, 可将点K,G的坐标用的式子表示为和, 从而表示出三角形观光平台MGK的面积,求其最小值,是为函数思想.综上所述,函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。两者水乳交融,紧密联系,充分体现了 “函数与方程的统一性”.巩固练习:1.设函数区间，集合，是否存在着使成立的实数对.参考答案:不存在使成立的实数对。2.（2011温州十校高三期末）已知