导数的基础运用.doc

导数的基础运用本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则，为基础层面；第二层次是导数的简单应用，包括求单调区间、函数的极值、证明函数的增减性等，为导数应用的重点层次；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的思想方法，这类问题用传统教材是难以甚至无法解决的；为导数应用的较高层次，用于设计压轴题，突出导数应用的灵活性与思想方法的交汇性。1. 复合函数求导公式（1）复合层次的划分：对较为复杂函数准确求导的前提是：会熟练地进行复合函数层次的划分。以基本初等函数作为划分基本层次的标准。基本初等函数有以下六类：常函数；指数函数；对数函数；幂函数为常数）；三角函数； 反三角函数（略）。（2）求导法则设，则。例如：求导： 已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 答案：划分复合层次：， 求导：；法1 （代换法）由（1）得，即，（2）联立（1）（2）消去得，所求切线方程为，即 法2 （复合函数求导法）两边求导得，令x=1得，在原式中令x=1得，于是所求切线方程为，即注：法2用到复合函数求导的结论，此法的好处是可以不必求其解析式。2. 抽象函数求导问题如：设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是（ ）A. B. C. D.已知对任意实数，有，且时，则时（ ）ABCD求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)(1)yf()；(2)yf()答案：构造特殊函数，适合题意要求，排除B,D；若取，可以排除C；故选A. 用结论：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，选B.解析(1)解法1：设yf(u)，u，则yxyuuxf(u)f.解法2：yff.(2)解法1：设yf(u)，u，vx21，3. 求导与单调性：若函数在区间I上可导，且使的点x仅有有限个，则在区间I上为严格递增（减）函数的充要条件为：对一切有 例如：若函数yx3ax24在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是_ 已知函数在R上是减函数，求a的取值范围。 已知函数f(x) = 在(2，)内单调递减，求实数a的取值范围。已知yx3bx2(b2)x3在R上不是单调增函数，则b的范围为_答案：y3x22ax，由题意知3x22axx在区间(0,2)上恒成立，a3.递减对任意恒成立 错解：f(x)=，由f (x)在(2，)内单调递减，知f(x)0在x(2，)内恒立，即0在x(2，)内恒立。因此，a。剖析：上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f(x)是否恒为零。因为f (x)在区间D上单调递增（或递减）的充要条件f(x)0 (f(x)0)且f(x)在任一子区间上不恒为零。而当a=时，f(x) =不是单调递减函数，不合题意。故a的取值范围是答案b2解析若yx22bxb20恒成立，则4b24(b2)0，1b2，由题意b1或b2.4. 求导与极值：若当时且当时，则为在上的极大（小）值。 注意：（1）正确理解极值定义： （2）极值也可能在不可导点取得，如：在处取得极小值，但是不可导。 （3）驻点即满足的点不一定是取得极值的点，如：在点处。 综上，满足的点是此点是极值点的既不充分也不必要条件。 例如： 函数f (x) = (x21)32的极值点是（ ）A、x=2 B、x=1C、x=1或1或0D、x=0 求的极值点。已知函数的导数，若在处取到极大值，则的取值范围是 。（状元之路50页5）函数f(x)x3ax2bxa2，在x1时有极值10，则a、b的值为()Aa3，b3，或a4，b11Ba4，b1，或a4，b11Ca1，b5D以上都不正确已知函数f(x)axlnx，若f(x)1在区间(1，)内恒成立，实数a的取值范围为_答案: 错解: f (x) =x63x43x21,则由f(x)=6x512x36x=0得极值点为x=1，x=1和x=0，故正确答案为C.正解: 事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由f(x) =6x512x36x=6x(x1)2(x1)2知，当x(，1)时，f(x)0；当x(1，0)时，f(x)0；当x(0，1)，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0. f (x)在 (，1)、(1，0)单调递增，在(0，1)、(1，)单调递减。则x=0为极小值点，x=1或1都不是极值点（称为拐点）。故应选D。剖析：（1）在可导的条件下，满足f(x0)=0的点x=x0（称为驻点）只是它为极大（小）值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。答案：x=1，0 (易遗漏)注：在求极值点的时候，有时还要注意导数不存在的点.如上例中x=0处。 解析f(x)3x22axbx1是函数f(x)的极值点，且在x1处的极值为10，f(1)32ab0f(1)1aba210由解得当a3，b3时f(x)3x26x33(x1)2当x1时，f(x)0当x1时，f(x)0当x1时函数不存在极值当a4，b11时符合题意，故应选D.答案a1解析由已知a在区间(1，)内恒成立设g(x)，则g(x)0(x1)，g(x)在区间(1，)内单调递减，g(x)g(1)，g(1)1，1在区间(1，)内恒成立，a1.3. 求导与几何意义：以曲线上一点为切点的切线方程是（1）注意鉴别：“过曲线上一点的切线”与“在曲线上一点处的切线”的区别：“在曲线上一点处的切线”是指以此点为切点的切线，而“过曲线上一点的切线”只表示曲线的切线过“此点”，但是“此点”不一定就是切点！例如： 已知曲线，则过点P（2，4）的切线方程是 。（练习：已知曲线上一点求过点P的切线方程。（2）利用导数的几何意义识图：如 已知函数的导函数的图象如下图，那么的图象可能是（ ）若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()Ak3或1k1或k3 B3k1或1k3C2k0得函数的增区间是(，2)和(2，)，由y0，得函数的减区间是(2,2)，由于函数在(k1，k1)上不是单调函数，所以有k12k1或k12k1，解得3k1或1k3，故选B.答案B解析不正确；导函数过原点，但三次函数在x0不存在极值；不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负故应选B.答案A解析由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.答案(2,2)解析令f(x)3x230得x1，可得极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，yf(x)的大致图象如图观察图象得2a2时恰有三个不同的公共点练习：一、选择题1对于R上可导的任意函数满足，则（ ）A. B. C. D. 2已知曲线，这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C，又设k1、k2、k3分别为以A、B、C为切点且分别与这三条曲线相切的直线的斜率，则（ ） A k1k2k3 B k3k2k1 C k1k3k2 D k3k10，函数在上是单调增函数，则a的最大值是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 （状元之路47页4）4已知二次函数的导数为，对于任意实数x都有，则的最小值为（ ）A 3 B C 2 D 5设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）二、填空题6曲线与曲线在交点处的切线的夹角为 。7已