高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷

第 1 页 共 31 页 高中数学 人教版 必修五第二章数列综合测试卷高中数学 人教版 必修五第二章数列综合测试卷 本试卷满分 150 分 其中选择题共 75 分 填空题共 25 分 解答题共 50 分 试卷难度 0 63 一 选择题 共一 选择题 共 15 小题 满分小题 满分 75 分 每小题分 每小题 5 分 分 1 5 分 记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 若 a4 a5 24 S6 48 则 an 的公 差为 A 1B 2C 4D 8 2 5 分 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意思是 一座 7 层塔共 挂了 381 盏灯 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍 则塔的顶层 共有灯 A 1 盏B 3 盏C 5 盏 D 9 盏 3 5 分 几位大学生响应国家的创业号召 开发了一款应用软件 为激发大 家学习数学的兴趣 他们推出了 解数学题获取软件激活码 的活动 这款软件 的激活码为下面数学问题的答案 已知数列 1 1 2 1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 8 16 其中第一项是 20 接 下来的两项是 20 21 再接下来的三项是 20 21 22 依此类推 求满足如下 条件的最小整数 N N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂 那么该款软件 的激活码是 A 440 B 330 C 220 D 110 4 5 分 已知数列 an bn cn 以下两个命题 若 an bn bn cn an cn 都是递增数列 则 an bn cn 都是递增数 列 若 an bn bn cn an cn 都是等差数列 则 an bn cn 都是等差数 列 下列判断正确的是 A 都是真命题B 都是假命题 C 是真命题 是假命题D 是假命题 是真命题 5 5 分 一给定函数 y f x 的图象在下列图中 并且对任意 a1 0 1 第 2 页 共 31 页 由关系式 an 1 f an 得到的数列 an 满足 an 1 an n N 则该函数的图象是 A B C D 6 5 分 若数列 an bn 的通项公式分别为 an 1 n 2016 a bn 2 且 an bn 对任意 n N 恒成立 则实数 a 的取值范围是 A B 1 1 C 2 1 D 7 5 分 数列 an 是正项等比数列 bn 是等差数列 且 a6 b7 则有 A a3 a9 b4 b10B a3 a9 b4 b10 C a3 a9 b4 b10D a3 a9与 b4 b10 大小不确定 8 5 分 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 n N 若 n N b1 且数列 bn 是单调递增数列 则实数 的取值范围是 A B 1C D 9 5 分 设 AnBnCn的三边长分别是 an bn cn AnBnCn的面积为 Sn n N 若 b1 c1 b1 c1 2a1 bn 1 则 A Sn 为递减数列 B Sn 为递增数列 第 3 页 共 31 页 C S2n 1 为递增数列 S2n 为递减数列 D S2n 1 为递减数列 S2n 为递增数列 10 5 分 张丘建算经 是我国南北朝时期的一部重要数学著作 书中系统 的介绍了等差数列 同类结果在三百多年后的印度才首次出现 书中有这样一 个问题 大意为 某女子善于织布 后一天比前一天织的快 而且每天增加的 数量相同 已知第一天织布 5 尺 一个月 按 30 天计算 总共织布 390 尺 问 每天增加的数量为多少尺 该问题的答案为 A 尺B 尺C 尺D 尺 11 5 分 已知数列 an 为等差数列 Sn其前 n 项和 且 a2 3a4 6 则 S9等于 A 25B 27C 50D 54 12 5 分 九章算术 是我国古代的数字名著 书中 均属章 有如下问题 今有五人分五钱 令上二人所得与下三人等 问各德几何 其意思为 已知 A B C D E 五人分 5 钱 A B 两人所得与 C D E 三人所得相同 且 A B C D E 每人所得依次成等差数列 问五人各得多少钱 钱 是古代 的一种重量单位 在这个问题中 E 所得为 A 钱B 钱C 钱D 钱 13 5 分 已知等差数列 an 的前 n 项和为 sn 且 S2 10 S5 55 则过点 P n an Q n 2 an 2 n N 的直线的斜率为 A 4B C 4D 14 5 分 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 S3 9 a2a4 21 数列 bn 满 足 若 则 n 的最小值为 A 6B 7C 8D 9 15 5 分 已知函数 f x 的图象关于 x 1 对称 且 f x 在 1 上单 调 若数列 an 是公差不为 0 的等差数列 且 f a50 f a51 则 an 的前 100 项的和为 第 4 页 共 31 页 A 200 B 100 C 50 D 0 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 满分小题 满分 25 分 每小题分 每小题 5 分 分 16 5 分 等比数列 an 的各项均为实数 其前 n 项为 Sn 已知 S3 S6 则 a8 17 5 分 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a3 3 S4 10 则 18 5 分 中国剩余定理 又称 孙子定理 1852 年英国来华传教伟烈亚利将 孙子算经 中 物不知数 问题的解法传至欧洲 1874 年 英国数学家马西森指 出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理 因而西方称之 为 中国剩余定理 中国剩余定理 讲的是一个关于整除的问题 现有这样一个 整除问题 将 2 至 2017 这 2016 个数中能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数按由小 到大的顺序排成一列 构成数列 an 则此数列的项数为 19 5 分 已知无穷数列 an a1 1 a2 2 对任意 n N 有 an 2 an 数列 bn 满足 bn 1 bn an n N 若数列中的任意一项都在该数列中重复出 现无数次 则满足要求的 b1的值为 20 5 分 设数列 an 的通项公式为 an n2 bn 若数列 an 是单调递增数列 则实数 b 的取值范围为 三 解答题 共三 解答题 共 5 小题 满分小题 满分 50 分 每小题分 每小题 10 分 分 21 10 分 对于给定的正整数 k 若数列 an 满足 an k an k 1 an 1 an 1 an k 1 an k 2kan对任意正整数 n n k 总成立 则称数 列 an 是 P k 数列 1 证明 等差数列 an 是 P 3 数列 2 若数列 an 既是 P 2 数列 又是 P 3 数列 证明 an 是等差数 列 22 10 分 设 an 和 bn 是两个等差数列 记 第 5 页 共 31 页 cn max b1 a1n b2 a2n bn ann n 1 2 3 其中 max x1 x2 xs 表示 x1 x2 xs这 s 个数中最大的数 1 若 an n bn 2n 1 求 c1 c2 c3的值 并证明 cn 是等差数列 2 证明 或者对任意正数 M 存在正整数 m 当 n m 时 M 或者 存在正整数 m 使得 cm cm 1 cm 2 是等差数列 23 10 分 已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足 a1 b1 1 a2 a4 10 b2b4 a5 求 an 的通项公式 求和 b1 b3 b5 b2n 1 24 10 分 记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和 已知 S2 2 S3 6 1 求 an 的通项公式 2 求 Sn 并判断 Sn 1 Sn Sn 2是否成等差数列 25 10 分 已知 xn 是各项均为正数的等比数列 且 x1 x2 3 x3 x2 2 求数列 xn 的通项公式 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 依次连接点 P1 x1 1 P2 x2 2 Pn 1 xn 1 n 1 得到折线 P1 P2 Pn 1 求由该折线与直线 y 0 x x1 x xn 1所围成的区域的面积 Tn 第 6 页 共 31 页 高中数学 人教版 必修五第二章数列综合测试卷高中数学 人教版 必修五第二章数列综合测试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 15 小题 满分小题 满分 75 分 每小题分 每小题 5 分 分 1 5 分 2017 新课标 记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 若 a4 a5 24 S6 48 则 an 的公差为 A 1B 2C 4D 8 考点 85 等差数列的前 n 项和 84 等差数列的通项公式 菁优网版权所有 专题 11 计算题 34 方程思想 4O 定义法 54 等差数列与等比 数列 分析 利用等差数列通项公式及前 n 项和公式列出方程组 求出首项和公差 由此能求出 an 的公差 解答 解 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 a4 a5 24 S6 48 解得 a1 2 d 4 an 的公差为 4 故选 C 点评 本题考查等差数列的面公式的求法及应用 是基础题 解题时要认真 审题 注意等差数列的性质的合理运用 2 5 分 2017 新课标 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意 思是 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数 的 2 倍 则塔的顶层共有灯 A 1 盏B 3 盏C 5 盏 D 9 盏 第 7 页 共 31 页 考点 89 等比数列的前 n 项和 88 等比数列的通项公式 菁优网版权所有 专题 11 计算题 34 方程思想 54 等差数列与等比数列 分析 设这个塔顶层有 a 盏灯 由题意和等比数列的定义可得 从塔顶层依 次向下每层灯数是等比数列 结合条件和等比数列的前 n 项公式列出方程 求 出 a 的值 解答 解 设这个塔顶层有 a 盏灯 宝塔一共有七层 每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍 从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比 a 为首项的等比数列 又总共有灯 381 盏 381 127a 解得 a 3 则这个塔顶层有 3 盏灯 故选 B 点评 本题考查了等比数列的定义 以及等比数列的前 n 项和公式的实际应 用 属于基础题 3 5 分 2017 新课标 几位大学生响应国家的创业号召 开发了一款应 用软件 为激发大家学习数学的兴趣 他们推出了 解数学题获取软件激活码 的活动 这款软件的激活码为下面数学问题的答案 已知数列 1 1 2 1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 8 16 其中第一项是 20 接 下来的两项是 20 21 再接下来的三项是 20 21 22 依此类推 求满足如下 条件的最小整数 N N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂 那么该款软件 的激活码是 A 440 B 330 C 220 D 110 考点 8E 数列的求和 菁优网版权所有 专题 35 转化思想 4R 转化法 54 等差数列与等比数列 分析 方法一 由数列的性质 求得数列 bn 的通项公式及前 n 项和 可知 当 N 为时 n N 数列 an 的前 N 项和为数列 bn 的前 n 项和 即为 2n n 2 容易得到 N 100 时 n 14 分别判断 即可求得该款软件的激活码 第 8 页 共 31 页 方法二 由题意求得数列的每一项 及前 n 项和 Sn 2n 1 2 n 及项数 由题意可 知 2n 1为 2 的整数幂 只需将 2 n 消去即可 分别分别即可求得 N 的值 解答 解 设该数列为 an 设 bn 2n 1 n N 则 ai 由题意可设数列 an 的前 N 项和为 SN 数列 bn 的前 n 项和为 Tn 则 Tn 21 1 22 1 2n 1 2n n 2 可知当 N 为时 n N 数列 an 的前 N 项和为数列 bn 的前 n 项和 即为 2n n 2 容易得到 N 100 时 n 14 A 项 由 435 440 435 5 可知 S440 T29 b5 230 29 2 25 1 230 故 A 项 符合题意 B 项 仿上可知 325 可知 S330 T25 b5 226 25 2 25 1 226 4 显然不为 2 的整数幂 故 B 项不符合题意 C 项 仿上可知 210 可知 S220 T20 b10 221 20 2 210 1 221 210 23 显然 不为 2 的整数幂 故 C 项不符合题意 D 项 仿上可知 105 可知 S110 T14 b5 215 14 2 25 1 215 15 显然不为 2 的整数幂 故 D 项不符合题意 故选 A 方法二 由题意可知 根据等比数列前 n 项和公式 求得每项和分别为 21 1 22 1 23 1 2n 1 每项含有的项数为 1 2 3 n 第 9 页 共 31 页 总共的项数为 N 1 2 3 n 所有项数的和为 Sn 21 1 22 1 23 1 2n 1 21 22 23 2n n n 2n 1 2 n 由题意可知 2n 1为 2 的整数幂 只需将 2 n 消去即可 则 1 2 2 n 0 解得 n 1 总共有 2 3 不满足 N 100 1 2 4 2 n 0 解得 n 5 总共有 3 18 不满足 N 100 1 2 4 8 2 n 0 解得 n 13 总共有 4 95 不满足 N 100 1 2 4 8 16 2 n 0 解得 n 29 总共有 5 440 满足 N 100 该款软件的激活码 440 故选 A 点评 本题考查数列的应用 等差数列与等比数列的前 n 项和 考查计算能 力 属于难题 4 5 分 2017 上海模拟 已知数列 an bn cn 以下两个命题 若 an bn bn cn an cn 都是递增数列 则 an bn cn 都是递增数 列 若 an bn bn cn an cn 都是等差数列 则 an bn cn 都是等差数 列 下列判断正确的是 A 都是真命题B 都是假命题 C 是真命题 是假命题D 是假命题 是真命题 考点 81 数列的概念及简单表示法 菁优网版权所有 专题 11 计算题 35 转化思想 4O 定义法 5L 简易逻辑 分析 对于 不妨设 an 2n bn 3n cn sinn 满足 an bn bn cn an cn 都是递增数列 但是不满足 cn sinn 是递增数列 第 10 页 共 31 页 对于 根据等差数列的性质和定义即可判断 解答 解 对于 不妨设 an 2n bn 3n cn sinn an bn bn cn an cn 都是递增数列 但 cn sinn 不是递增数列 故为假 命题 对于 an bn bn cn an cn 都是等差数列 不妨设公差为分别为 a b c an bn an 1 bn 1 a bn cn bn 1 cn 1 b an cn an 1 cn 1 c 设 an bn cn 的公差为 x y x 则 x y z 故若 an bn bn cn an cn 都是等差数列 则 an bn cn 都是等差数 列 故为真命题 故选 D 点评 本题考查了等差数列的性质和定义 以及命题的真假 属于基础题 5 5 分 2017 徐汇区校级模拟 一给定函数 y f x 的图象在下列图中 并且对任意 a1 0 1 由关系式 an 1 f an 得到的数列 an 满足 an 1 an n N 则该函数的图象是 A B C D 第 11 页 共 31 页 考点 81 数列的概念及简单表示法 菁优网版权所有 专题 31 数形结合 51 函数的性质及应用 分析 由关系式 an 1 f an 得到的数列 an 满足 an 1 an n N 根据点与 直线之间的位置关系 我们不难得到 f x 的图象在 y x 上方 逐一分析不 难得到正确的答案 解答 解 由 an 1 f an an知 f x 的图象在 y x 上方 故选 A 点评 本题考查了数列与函数的单调性 数形结合思想方法 考查了推理能 力与计算能力 属于基础题 6 5 分 2017 河东区二模 若数列 an bn 的通项公式分别为 an 1 n 2016 a bn 2 且 an bn 对任意 n N 恒成立 则实数 a 的取值范 围是 A B 1 1 C 2 1 D 考点 82 数列的函数特性 菁优网版权所有 专题 32 分类讨论 35 转化思想 54 等差数列与等比数列 59 不等式的解法及应用 分析 由 an 1 n 2016 a bn 2 且 an bn 对任意 n N 恒成 立 可得 1 n 2016 a 2 对 n 分类讨论即可得出 解答 解 an 1 n 2016 a bn 2 且 an bn 对任意 n N 恒 成立 1 n 2016 a 2 n 为偶数时 化为 a 2 则 a n 为奇数时 化为 a 2 则 a 2 则实数 a 的取值范围是 故选 D 第 12 页 共 31 页 点评 本题考查了数列通项公式 分类讨论方法 数列的单调性 考查了推 理能力与计算能力 属于中档题 7 5 分 2017 宝清县一模 数列 an 是正项等比数列 bn 是等差数列 且 a6 b7 则有 A a3 a9 b4 b10B a3 a9 b4 b10 C a3 a9 b4 b10D a3 a9与 b4 b10 大小不确定 考点 82 数列的函数特性 菁优网版权所有 专题 54 等差数列与等比数列 分析 由于 bn 是等差数列 可得 b4 b10 2b7 已知 a6 b7 于是 b4 b10 2a6 由于数列 an 是正项等比数列 可得 a3 a9 2a6 即可得出 解答 解 bn 是等差数列 b4 b10 2b7 a6 b7 b4 b10 2a6 数列 an 是正项等比数列 a3 a9 2a6 a3 a9 b4 b10 故选 B 点评 本题考查了等差数列与等比数列的性质 基本不等式的性质 属于中 档题 8 5 分 2017 湖北模拟 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 n N 若 n N b1 且数列 bn 是单调递增数列 则实数 的取值范围是 A B 1C D 考点 82 数列的函数特性 菁优网版权所有 第 13 页 共 31 页 专题 11 计算题 35 转化思想 4O 定义法 54 等差数列与等比 数列 分析 根据数列的递推公式可得数列 1 是等比数列 首项为 1 2 公比为 2 再代值得到 bn 1 n 2 2n 根据数列的单调性即可求出 的范 围 解答 解 数列 an 满足 a1 1 an 1 n N 1 化为 1 2 数列 1 是等比数列 首项为 1 2 公比为 2 1 2n bn 1 n 2 1 n 2 2n 数列 bn 是单调递增数列 bn 1 bn n 2 2n n 1 2 2n 1 解得 1 但是当 n 1 时 b2 b1 b1 1 2 2 解得 故选 A 点评 本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法 单调递增数列 考 查了推理能力与计算能力 属于中档题 9 5 分 2017 海淀区校级模拟 设 AnBnCn的三边长分别是 an bn cn AnBnCn的面积为 Sn n N 若 第 14 页 共 31 页 b1 c1 b1 c1 2a1 bn 1 则 A Sn 为递减数列 B Sn 为递增数列 C S2n 1 为递增数列 S2n 为递减数列 D S2n 1 为递减数列 S2n 为递增数列 考点 82 数列的函数特性 菁优网版权所有 专题 54 等差数列与等比数列 58 解三角形 59 不等式的解法及应 用 分析 由 an 1 an可知 AnBnCn的边 BnCn为定值 a1 由 bn 1 cn 1 2a1 bn cn 2an b1 c1 2a1得 bn cn 2a1 则在 AnBnCn中边长 BnCn a1为定值 另两边 AnCn AnBn的长度之和 bn cn 2a1为定值 由此可知顶 点 An在以 Bn Cn为焦点的椭圆上 根据 bn 1 cn 1 cn bn 得 bn cn 可知 n 时 bn cn 据此可判断 AnBnCn的边 BnCn的高 hn随着 n 的增大而增大 再由三角形面积公式可得到答案 解答 解 b1 2a1 c1且 b1 c1 2a1 c1 c1 a1 c1 b1 a1 2a1 c1 a1 a1 c1 0 b1 a1 c1 又 b1 c1 a1 2a1 c1 c1 a1 2c1 a1 c1 由题意 bn 1 cn 1 an bn 1 cn 1 2an bn cn 2an bn cn 2an 0 bn cn 2an 2a1 bn cn 2a1 又由题意 bn 1 cn 1 bn 1 2a1 bn 1 a1 bn bn 1 a1 a1 bn b1 a1 bn a1 b1 a1 cn 2a1 bn a1 b1 a1 单调递增 第 15 页 共 31 页 可得 Sn 单调递增 故选 B 点评 本题主要考查由数列递推式求数列通项 三角形面积海伦公式 综合 考查学生分析解决问题的能力 有较高的思维抽象度 属于难题 10 5 分 2017 汉中二模 张丘建算经 是我国南北朝时期的一部重要数 学著作 书中系统的介绍了等差数列 同类结果在三百多年后的印度才首次出 现 书中有这样一个问题 大意为 某女子善于织布 后一天比前一天织的快 而且每天增加的数量相同 已知第一天织布 5 尺 一个月 按 30 天计算 总共 织布 390 尺 问每天增加的数量为多少尺 该问题的答案为 A 尺B 尺C 尺D 尺 考点 84 等差数列的通项公式 菁优网版权所有 专题 11 计算题 34 方程思想 4O 定义法 54 等差数列与等比 数列 分析 由题意 该女子从第一天起 每天所织的布的长度成等差数列 其公 差为 d 由等差数列的前 n 项和公式能求出公差 解答 解 由题意 该女子从第一天起 每天所织的布的长度成等差数列 记为 a1 a2 a3 an 其公差为 d 则 a1 5 S30 390 390 d 故选 B 点评 本题查等差数列的公差的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意 等差数列的性质的合理运用 11 5 分 2017 徐水县模拟 已知数列 an 为等差数列 Sn其前 n 项和 且 a2 3a4 6 则 S9等于 第 16 页 共 31 页 A 25B 27C 50D 54 考点 84 等差数列的通项公式 菁优网版权所有 专题 11 计算题 分析 由题意得 a2 3a4 6 所以得 a5 3 所以由等差数列的性质得 S9 9a5 27 解答 解 设数列 an 的首项为 a1 公差为 d 因为 a2 3a4 6 所以 a1 d 3 a1 3d 6 所以 a5 3 所以 S9 9a5 27 故选 B 点评 解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题 12 5 分 2017 安徽模拟 九章算术 是我国古代的数字名著 书中 均 属章 有如下问题 今有五人分五钱 令上二人所得与下三人等 问各德几 何 其意思为 已知 A B C D E 五人分 5 钱 A B 两人所得与 C D E 三 人所得相同 且 A B C D E 每人所得依次成等差数列 问五人各得多少钱 钱 是古代的一种重量单位 在这个问题中 E 所得为 A 钱B 钱C 钱D 钱 考点 84 等差数列的通项公式 菁优网版权所有 专题 11 计算题 21 阅读型 33 函数思想 51 函数的性质及应 用 54 等差数列与等比数列 分析 设 A a 4d B a 3d C a 2d D a d E a 列出方程组 能求出 E 所 得 解答 解 由题意 设 A a 4d B a 3d C a 2d D a d E a 则 解得 a 第 17 页 共 31 页 故 E 所得为钱 故选 A 点评 本题考查函数值的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意函数性 质 等差数列的性质的合理运用 13 5 分 2017 南开区模拟 已知等差数列 an 的前 n 项和为 sn 且 S2 10 S5 55 则过点 P n an Q n 2 an 2 n N 的直线的斜率为 A 4B C 4D 考点 84 等差数列的通项公式 菁优网版权所有 专题 54 等差数列与等比数列 分析 设出等差数列的首项和公差 由已知列式求得首项和公差 代入两点 求直线的斜率公式得答案 解答 解 设等差数列 an 的首项为 a1 公差为 d 由 S2 10 S5 55 得 解得 过点 P n an Q n 2 an 2 的直线的斜率为 k 故选 A 点评 本题考查等差数列的通项公式 考查等差数列的前 n 项和 训练了两 点求直线的斜率公式 是基础题 14 5 分 2017 枣阳市校级模拟 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 S3 9 a2a4 21 数列 bn 满足 若 则 n 的最小值为 A 6B 7C 8D 9 考点 84 等差数列的通项公式 菁优网版权所有 专题 34 方程思想 35 转化思想 54 等差数列与等比数列 59 第 18 页 共 31 页 不等式的解法及应用 分析 设等差数列 an 的公差为 d 由 S3 9 a2a4 21 可得 3a1 d 9 a1 d a1 3d 21 可得 an 由数列 bn 满足 利用递推关系可得 对 n 取值即可 得出 解答 解 设等差数列 an 的公差为 d S3 9 a2a4 21 3a1 d 9 a1 d a1 3d 21 联立解得 a1 1 d 2 an 1 2 n 1 2n 1 数列 bn 满足 n 1 时 1 解得 b1 n 2 时 1 bn 若 则 n 7 时 n 8 时 因此 则 n 的最小值为 8 故选 C 点评 本题考查了等差数列通项公式与求和公式 数列递推关系及其单调性 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 第 19 页 共 31 页 15 5 分 2017 安徽一模 已知函数 f x 的图象关于 x 1 对称 且 f x 在 1 上单调 若数列 an 是公差不为 0 的等差数列 且 f a50 f a51 则 an 的前 100 项的和为 A 200 B 100 C 50 D 0 考点 84 等差数列的通项公式 菁优网版权所有 专题 11 计算题 35 转化思想 4O 定义法 54 等差数列与等比 数列 分析 由函数图象关于 x 1 对称 由题意可得 a50 a51 2 运用等差数列的性 质和求和公式 计算即可得到所求和 解答 解 函数 f x 的图象关于 x 1 对称 数列 an 是公差不为 0 的等差 数列 且 f a50 f a51 可得 a50 a51 2 又 an 是等差数列 所以 a1 a100 a50 a51 2 则 an 的前 100 项的和为 100 故选 B 点评 本题考查函数的对称性及应用 考查等差数列的性质 以及求和公式 考查运算能力 属于中档题 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 满分小题 满分 25 分 每小题分 每小题 5 分 分 16 5 分 2017 江苏 等比数列 an 的各项均为实数 其前 n 项为 Sn 已知 S3 S6 则 a8 32 考点 88 等比数列的通项公式 菁优网版权所有 专题 34 方程思想 35 转化思想 54 等差数列与等比数列 分析 设等比数列 an 的公比为 q 1 S3 S6 可得 联立解出即可得出 第 20 页 共 31 页 解答 解 设等比数列 an 的公比为 q 1 S3 S6 解得 a1 q 2 则 a8 32 故答案为 32 点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式 考查了推理能力与计算 能力 属于中档题 17 5 分 2017 新课标 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a3 3 S4 10 则 考点 8E 数列的求和 85 等差数列的前 n 项和 菁优网版权所有 专题 11 计算题 35 转化思想 49 综合法 54 等差数列与等比 数列 分析 利用已知条件求出等差数列的前 n 项和 然后化简所求的表达式 求 解即可 解答 解 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a3 3 S4 10 S4 2 a2 a3 10 可得 a2 2 数列的首项为 1 公差为 1 Sn 则 2 1 2 1 故答案为 点评 本题考查等差数列的求和 裂项消项法求和的应用 考查计算能力 18 5 分 2017 汕头三模 中国剩余定理 又称 孙子定理 1852 年英国来 华传教伟烈亚利将 孙子算经 中 物不知数 问题的解法传至欧洲 1874 年 英 国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定 第 21 页 共 31 页 理 因而西方称之为 中国剩余定理 中国剩余定理 讲的是一个关于整除的问 题 现有这样一个整除问题 将 2 至 2017 这 2016 个数中能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列 构成数列 an 则此数列的项数为 134 考点 81 数列的概念及简单表示法 菁优网版权所有 专题 11 计算题 35 转化思想 4R 转化法 54 等差数列与等比数 列 分析 由能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数就是能被 15 整除余 1 的数 运用等 差数列通项公式 以及解不等式即可得到所求项数 解答 解 由能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数就是能被 15 整除余 1 的数 故 an 15n 14 由 an 15n 14 2017 得 n 135 当 n 1 时 符合要求 但是该数列是从 2 开始的 故此数列的项数为 135 1 134 故答案为 134 点评 本题考查数列模型在实际问题中的应用 考查等差数列的通项公式的 运用 考查运算能力 属于基础题 19 5 分 2017 闵行区一模 已知无穷数列 an a1 1 a2 2 对任意 n N 有 an 2 an 数列 bn 满足 bn 1 bn an n N 若数列中的任意一 项都在该数列中重复出现无数次 则满足要求的 b1的值为 2 考点 81 数列的概念及简单表示法 菁优网版权所有 专题 35 转化思想 48 分析法 5M 推理和证明 分析 依题意数列 an 是周期数咧 则可写出数列 an 的通项 由数列 bn 满 足 bn 1 bn an n N 可推出 bn 1 bn an 第 22 页 共 31 页 要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数 次 则 b2 b6 b10 b2n 1 b4 b8 b12 b4n 可得 b8 b4 3 即可 解答 解 a1 1 a2 2 对任意 n N 有 an 2 an a3 a1 1 a4 a2 2 a5 a3 a1 1 an bn 1 bn an b2n 2 b2n 1 a2n 1 1 b2n 1 b2n a2n 2 b2n 2 b2n 3 b2n 1 b2n 1 3 b3 b1 b5 b3 b2n 1 b2n 1 3 b4 b2 b6 b4 b8 b6 b2n b2n 2 3 b2 b1 1 b4n 2 数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次 b2 b6 b10 b4n 2 b4 b8 b12 b4n 解得 b8 b4 3 b2 3 b2 b1 1 b1 2 故答案为 2 点评 本题考查了数列的推理与证明 属于难题 20 5 分 2017 青浦区一模 设数列 an 的通项公式为 an n2 bn 若数列 an 是单调递增数列 则实数 b 的取值范围为 3 第 23 页 共 31 页 考点 82 数列的函数特性 菁优网版权所有 专题 35 转化思想 54 等差数列与等比数列 59 不等式的解法及应 用 分析 数列 an 是单调递增数列 可得 n N an 1 an 化简整理 再利用 数列的单调性即可得出 解答 解 数列 an 是单调递增数列 n N an 1 an n 1 2 b n 1 n2 bn 化为 b 2n 1 数列 2n 1 是单调递减数列 n 1 2n 1 取得最大值 3 b 3 即实数 b 的取值范围为 3 故答案为 3 点评 本题考查了数列的单调性及其通项公式 不等式的解法 考查了推理 能力与计算能力 属于中档题 三 解答题 共三 解答题 共 5 小题 满分小题 满分 50 分 每小题分 每小题 10 分 分 21 10 分 2017 江苏 对于给定的正整数 k 若数列 an 满足 an k an k 1 an 1 an 1 an k 1 an k 2kan对任意正整数 n n k 总成立 则称数 列 an 是 P k 数列 1 证明 等差数列 an 是 P 3 数列 2 若数列 an 既是 P 2 数列 又是 P 3 数列 证明 an 是等差数 列 考点 8B 数列的应用 菁优网版权所有 专题 23 新定义 35 转化思想 4R 转化法 54 等差数列与等比数 列 第 24 页 共 31 页 分析 1 由题意可知根据等差数列的性质 an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 an 3 an 3 an 2 an 2 an 1 an 1 2 3an 根 据 P k 数列 的定义 可得数列 an 是 P 3 数列 2 由已知条件结合 1 中的结论 可得到 an 从第 3 项起为等差数列 再 通过判断 a2与 a3的关系和 a1与 a2的关系 可知 an 为等差数列 解答 解 1 证明 设等差数列 an 首项为 a1 公差为 d 则 an a1 n 1 d 则 an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 an 3 an 3 an 2 an 2 an 1 an 1 2an 2an 2an 2 3an 等差数列 an 是 P 3 数列 2 证明 当 n 4 时 因为数列 an 是 P 3 数列 则 an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 因为数列 an 是 P 2 数列 所以 an 3 an 3 an an 1 4an 1 an 1 an an 2 an 3 4an 1 得 2an 4an 1 4an 1 6an 即 2an an 1 an 1 n 4 因此 n 4 从第 3 项起为等差数列 设公差为 d 注意到 a2 a3 a5 a6 4a4 所以 a2 4a4 a3 a5 a6 4 a3 d a3 a3 2d a3 3d a3 d 因为 a1 a2 a4 a5 4a3 所以 a1 4a3 a2 a4 a5 4 a2 d a2 a2 2d a2 3d a2 d 也即前 3 项满足等差数列的通项公式 所以 an 为等差数列 点评 本题考查等差数列的性质 考查数列的新定义的性质 考查数列的运 算 考查转化思想 属于中档题 第 25 页 共 31 页 22 10 分 2017 北京 设 an 和 bn 是两个等差数列 记 cn max b1 a1n b2 a2n bn ann n 1 2 3 其中 max x1 x2 xs 表示 x1 x2 xs这 s 个数中最大的数 1 若 an n bn 2n 1 求 c1 c2 c3的值 并证明 cn 是等差数列 2 证明 或者对任意正数 M 存在正整数 m 当 n m 时 M 或者 存在正整数 m 使得 cm cm 1 cm 2 是等差数列 考点 8B 数列的应用 8C 等差关系的确定 菁优网版权所有 专题 32 分类讨论 4R 转化法 54 等差数列与等比数列 分析 1 分别求得 a1 1 a2 2 a3 3 b1 1 b2 3 b3 5 代入即可求得 c1 c2 c3 由 bk nak b1 na1 0 则 b1 na1 bk nak 则 cn b1 na1 1 n cn 1 cn 1 对 n N 均成立 2 由 bi ain b1 i 1 d1 a1 i 1 d2 n b1 a1n i 1 d2 d1 n 分类讨论 d1 0 d1 0 d1 0 三种情况进行讨论根据等差数列的性质 即可求 得使得 cm cm 1 cm 2 是等差数列 设 An B 对任意正整数 M 存在正 整数 m 使得 n m M 分类讨论 采用放缩法即可求得因此对任意正 数 M 存在正整数 m 使得当 n m 时 M 解答 解 1 a1 1 a2 2 a3 3 b1 1 b2 3 b3 5 当 n 1 时 c1 max b1 a1 max 0 0 当 n 2 时 c2 max b1 2a1 b2 2a2 max 1 1 1 当 n 3 时 c3 max b1 3a1 b2 3a2 b3 3a3 max 2 3 4 2 下面证明 对 n N 且 n 2 都有 cn b1 na1 当 n N 且 2 k n 时 则 bk nak b1 na1 2k 1 nk 1 n 第 26 页 共 31 页 2k 2 n k 1 k 1 2 n 由 k 1 0 且 2 n 0 则 bk nak b1 na1 0 则 b1 na1 bk nak 因此 对 n N 且 n 2 cn b1 na1 1 n cn 1 cn 1 c2 c1 1 cn 1 cn 1 对 n N 均成立 数列 cn 是等差数列 2 证明 设数列 an 和 bn 的公差分别为 d1 d2 下面考虑的 cn取值 由 b1 a1n b2 a2n bn ann 考虑其中任意 bi ain i N 且 1 i n 则 bi ain b1 i 1 d1 a1 i 1 d2 n b1 a1n i 1 d2 d1 n 下面分 d1 0 d1 0 d1 0 三种情况进行讨论 若 d1 0 则 bi ain b1 a1n i 1 d2 当若 d2 0 则 bi ain b1 a1n i 1 d2 0 则对于给定的正整数 n 而言 cn b1 a1n 此时 cn 1 cn a1 数列 cn 是等差数列 当 d2 0 bi ain bn ann i n d2 0 则对于给定的正整数 n 而言 cn bn ann bn a1n 此时 cn 1 cn d2 a1 数列 cn 是等差数列 此时取 m 1 则 c1 c2 是等差数列 命题成立 若 d1 0 则此时 d1n d2为一个关于 n 的一次项系数为负数的一次函数 第 27 页 共 31 页 故必存在 m N 使得 n m 时 d1n d2 0 则当 n m 时 bi ain b1 a1n i 1 d1n d2 0 i N 1 i n 因此当 n m 时 cn b1 a1n 此时 cn 1 cn a1 故数列 cn 从第 m 项开始为等差数列 命题成立 若 d1 0 此时 d1n d2为一个关于 n 的一次项系数为正数的一次函数 故必存在 s N 使得 n s 时 d1n d2 0 则当 n s 时 bi ain bn ann i 1 d1n d2 0 i N 1 i n 因此 当 n s 时 cn bn ann 此时 an d2n d1 a1 d2 令 d1 A 0 d1 a1 d2 B b1 d2 C 下面证明 An B 对任意正整数 M 存在正整数 m 使得 n m M 若 C 0 取 m 1 x 表示不大于 x 的最大整数 当 n m 时 An B Am B A 1 B A B M 此时命题成立 若 C 0 取 m 1 当 n m 时 An B Am B C A B C M C B B C M 此时命题成立 因此对任意正数 M 存在正整数 m 使得当 n m 时 M 综合以上三种情况 命题得证 点