C高中数学 函数的解析式及定义域.doc

函数的解析式及定义域(一)复习指导1确定一个函数只需两个要素，就是定义域和函数的对应法则f，定义域是自变量x的取值范围，它是函数不可缺少的组成部分，在中学阶段，所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数x的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量x所代表的具体量的允许范围，求函数的定义域，有以下一些常见的情况： 当为整式或奇次根式时，； 当为偶次根式时，被开方数不小于0（即0）； 当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0； 当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。 当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。此外，函数解析式涉及到零指幂或负指幂时，注意底不为0，涉及到分数指数幂时，注意底大于0；对于函数y=(x)，应考虑(x)等，如果函数是由几个数学式子构成的，则其定义域是使每个式子都有意义的实数集合注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。对函数中对应法则f的作用，应该加深理解并能正确的应用2复合函数的定义域和解析式（1）复合函数的定义设是A到B的函数，是到上的函数，且，当取遍B中的元素时，取遍C，那么就是A到C上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。 说明：复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。与表示不同的复合函数。说明： 已知的定义域为，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。 已知的定义域为，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。（2）求有关复合函数的解析式已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。已知求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得。注： 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法；若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。 (二)解题方法指导例1求下列函数的定义域：(1)(2)例2已知y=f(x)的定义域为3，2，求y=f(2x+3)的定义域例3已知f(x+1)=x22x，求f(x)及f(x2)例4已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x1)=2x24x，求f(x)例5*已知函数f(x)对任意x均满足2f(x)+f(1x)=x2，求f(x)例6若函数f(x)的定义域是0，1，求的定义域；例7已知函数定义域是，求的定义域例 题 解 析例1解：(1)由，解得x且x2，所以所求的定义域为(2)由log0.5(x23)0得0x231，解得：或所以所求的定义域为小结：求类似于(2)题的多重复合形式的函数的定义域，应“由外向里”，即从最外层开始进行，得到一个不等式后，在求解的过程中再逐层考虑约束条件例2解：因为y=f(x)的定义域为3，2，所以x的任意取值都必须在3，2内，而2x3相当于自变量的一个取值，所以2x3也要在3，2内，因此有：32x32解得所以所求函数定义域为例3解法1：令t=x1，则x=t1，所以有f(t)=(t1)22(t1)=t24t3，所以f(x)=x24x3；f(x2)=(x2)24(x2)3=x28x15解法2：将f(x1)=x22x看做关于x的恒等式，对于x的任意取值，两端总是相等的，所以可直接得到：f(x)=f(x1)1=(x1)22(x1)=x24x3f(x2)=f(x3)1=(x3)22(x3)x28x15例4解：设f(x)=ax2bxc(a0)则f(x1)=a(x1)2b(x1)c=ax2(2ab)xabcf(x1)=a(x1)2b(x1)c=ax2(2ab)xabc由f(x1)f(x1)=2x24x得2ax22bx2(ac)=2x24x这是关于x的恒等式，对任意一个x，两端对应项系数都相等，所以有2a=2，2b=4，2(ac)=0，解得a=1，b=2，c=1所以所求的函数为f(x)=x22x1例5解：令t=x1，则t=x1，由2f(x)f(1x)=x2，得2f(1t)f(t)=(1t)2，此式对任意t均成立所以又有2f(1x)f(x)=(1x)2，这就得到了关于f(x)和f(x1)的二元一次方程组