Maple6-ch4.1-常微分方程.doc

第四章 微分方程 4.1 常微分方程4.1.1 常微分方程的解析解1. 函数dsolve在微分方程中的应用在Maple中，这是一个用途最广的函数称为通用函数吧，几乎可以求解所有的微分方程和方程组，既能求解解析解，也能求解数值解，本节只介绍其求微分方程的解析解中的作用：dsolve(ODE); dsolve(ODE,y(x),extra_args);其中，ODE(Ordinary Differential Equation)是一个常微分方程； y(x)为未函数，求解时这个参数可以省略；第三个参数extra_args是一个可选的参数，主要用来设置最后解析解的形式或求解过程中一些积分的设置，它的选值很广，这里仅举几个参数。(1) explicit: 求出显式解；(2) implicit: 解可以是隐式；(3) useInt: 运算中用“Int”函数代替“int”函数，可加快运算速度；(4) parametric: 将最后的解析解表达成另外一个自变量的形式。这些参数的位置很灵活，可以放在除第一个参数位置外的任何位置，并且它们的组合也很灵活，可以单独作用，也可几何参数合用，只要在中间用逗号隔开，而且参数并不一定需要写在一起，也可以分开。 eq:=eq: eq:=diff(y(x),x)*(1+y(x)2)+cos(x)=0; 可以两端都不是零 sol1:=dsolve(eq,explicit); 给出显式解其中“_C1”表示第一个任意常数。方程的解是很恐怖的解，这里仅给出了一个解，另外还有两个更长的解，读者可以在Maple下执行上面求解过程观察到另外两个解的全貌。这是由于将解转换成显函数造成的，假如我们将参数进行改善： sol2:=dsolve(eq,implicit,y(x); 给出隐式解，式中的y(x)可省略 再加上一个参数“useInt”,可以明显感到运算速度非常快，因此，它在求解过程中积分比较复杂时很有用，同时还能使解过程、解结果给出较多的信息： sol3:=dsolve(eq,implicit,y(x),useInt);其中“_a”为积分变量.即解为 最后加入参数“parametric”,可以知道经过一段时段运算后的结果： sol4:=dsolve(eq,implicit,y(x),useInt,parametric);我们惊讶地发现函数没有给出任何结果，这是因为解太复杂了，函数找不到用参数表示的方法。下面我们用一个比较简单的例子来说明设置参数以后的结果，大家容易从结果中看出表示的方法：dsolve(diff(y(x),x)=-x/y(x), parametric); 圆曲线上切线的斜率此为圆的上半圆与下半圆曲线表示式. dsolve(diff(y(x),x)=-x/y(x),implicit, parametric); 参数式 此为圆曲线的参数式，但并不是常用的参数式格式.2. 用函数odetest检验常微分方程的解odetest(sol,ODE); y(x)可省略odetest(sol,ODE,y(x);y(x)最好加上odetest(solsys,sysODE);用于方程组以返回值为“0”给出解为真。 with(DEtools): odetest(sol11,eq,y(x); sol11是方程的解 odetest(sol12,eq,y(x); sol12是方程的解 odetest(sol13,eq,y(x); sol13是方程的解 odetest(sol2,eq,y(x); sol2是方程的解 odetest(sol3,eq,y(x); sol3是方程的解 odetest(sol4,eq,y(x); sol4不能代入检验Error, (in odetest) expecting the second argument to be an ODE or a set or list of ODEs. Received: y(x)下面验证一个函数是否前面所给方程的解： y(x)=x2; 验证y(x)=x2是否方程的解,这里的y(x)不能赋给 odetest(%,eq); 所给函数y(x)=x2使方程左端不为0，故不是方程的解但它是下列方程的解： eq:=eq: eq:=diff(y(x),x)=2*x; y(x)=x2; odetest(%,eq);3用Deplot函数来显示微分方程的解的图像DEplot(deqns,vars,trange,eqns);Deplot(deqns,vars,trange,inits, eqns);其中 deqns：是待求的微分方程或微分方程组，本节中就是指微分方程；vars：是一个非独立的变量或变量的集合，如y(x); trange：设定变量的取值范围；eqns是一个等式形式的条件，如： linecolor=blue(设定图像中线的颜色为蓝的)；stepsize=0.05(变量的取值步长)；inits：是微分方程的初值条件，如果有多个初值条件，用集合表示，并且每个初值条件都必须用方括号起来，如果不给初始值，函数将等间隔的取最后解中的常数为某值。请看下面的例子： with(DEtools): eq:=eq: eq:=diff(y(x),x)*(1+y(x)2)+cos(x)=0; DEplot(eq,y(x),x=-10.10,y=0.3,linecolor=blue,stepsize=0.05); 这个例子中没有为微分方程设定初始值，所以函数用一些箭头来表示解的趋势，假如我们设方程的初始值是y(0)=2。图像将变为： DEplot(eq,y(x),x=-10.10,y(0)=2,y=0.3,linecolor=blue,stepsize=0.05); y(0)=2这个初始条件也可放在“y=0.3”的后面图形中的粗线就是满足初始条件的解的图形，假如我们对这个图形是不是刚才求得的解的图形有疑问的话，我们可以用另外一个作图函数contourplot来验证一下，这个函数在plots程序包里： with(plots): f:=sin(x)+1/3*y3+y: contourplot(f,x=-10.10,y=-3.3,coloring=red,blue);显然，过y(0)=2这点的图形跟上面图形中篮粗线对应的图形是一样的，说明我们的求解没有错。如果将这个图的范围适当调整，尽量得到过y(0)=2的那条曲线，显示效果会更好些。实际上，只要将作图中y的范围改为-2.552.55即可达到目的.4用各种特定函数求解各种微分方程P176odeadvisor(ODE); 在Detools程序包中这是一个判断微分方程类型的函数，可用来判分离变量、一阶线性、全微分方程还是普通方程。最常见的返回参数和中文含义如下：separable 可分离变量方程,用separablesol(lode,v)求解,其中v为未知函数linear 线性方程, 用linearsol(lode,v)homogeneous 齐次型方程，用homogeneous(lode,v)bernoulli 贝努里exact 全微分方程Abel 阿贝尔方程Quadrature 积分形式的微分方程（如dy=xdx）,是可离变量方程中最简单的(1)可分离变量的方程解：(Maple-lx4-解法参考) eq:=eq: eq:=x*y(x)*(1-x*diff(y(x),x)=x+y(x)*diff(y(x),x); with(DEtools): 调用程序包 odeadvisor(eq); 判断方程类型 方程为可分离变量的方程 separablesol(eq,y(x); 用程序包中的分离变量法求解法2： 仍用dsolve求解： dsolve(eq,explicit); 用通用函数求解.接上方程，结果与上法相同法3： 将方程改为求隐式解： diffy:=diffy: 初始化变量，这步一要定做 diffy=solve(eq,diff(y(x),x); 解出y的导数 f:=f: g:=g: f:=x-x/(x2+1);g:=y-y/(y-1); 构造函数f(x),g(y) 这里的y视为单变量，不要写成y(x) RHS:=int(g(y),y);LHS:=int(f(x),x); 赋表达式分别得左、右两端 LHS=RHS+C; 给出隐式解 solve(%,y); 求出显式解(2)齐次型的方程解 (Maple-lx4-1)法1： （按齐次方程专用求解函数求解） eq:=eq; eq:=diff(y(x),x)=y(x)/x+tan(y(x)/x); with(DEtools): 调程序包 odeadvisor(eq); 判断类型 齐次型方程的A种，是一阶、线性对称方程 genhomosol(eq); 用齐次方程的求解函数求解，得以下两个通解法2： 用通用函数求解： dsolve(eq,explicit);法3： 按解齐次型方程的求解方法求解： y:=y:x:=x:u:=u: 如果不是新打开的Maple工作窗口，最好要这一步 y:=u*x: one:=expand(eq); 试将方程中“y/x”直接换成u后给出新方程 two:=subs(diff(x(x),x)=1,x(x)=x,one); 简化方程 diffu:=solve(two,diff(u(x),x); 化为可分离变量的方程 left:=int(1/tan(u),u);right:=int(1/x,x); 按可分离变量方法求解，这里的u不能写成u(x),因为要把它当单变量进行积分 y:=y: 初始化变量y,此前它是”ux” subs(u=y/x,left)=right+_C1; solve(%,y);这一结果与前的解仅在于任意常数的写法上不同而已.法4： 本人的解法化为分离变量方程的求解函数进行求解： y(x):=y(x):x:=x:u(x):=u(x): y(x):=u(x)*x: 注意函数关系，如果用y=ux或(x)=u*x,得不到下面的形式 eq1:=subs(y(x)/x=u(x),eq); 替换完毕，再对方程化简上式两端可不再化简，解过程用时相近 separablesol(eq1,u(x); 用分离变量法函数求解方程,得两个同样的通解 a:=subs(u(x)=y/x,%); 换回原变量,如果不将两个通解赋值给集合a,就不能用“solve”对集合中的两个非方程组的函数关于同一变量求解 y1:=solve(op(1,a),y);y2:=solve(op(2,a),y); 给出两个显式解上面用了提出集合元素的函数“op”,参第一章“1.1.3 集合”. 也可用分离方程中变量的函数isolate,执行“isolate(op(1,a),y);”得到第一个通解中的y的表达式.请试之.Ex.2 解齐次型（C）的微分方程 答案：解 (Maple-lx4-2)也可以用通用求解函数dsolve()求解.这里选用求齐次型方程的求解函数进行求解: eq:=eq: eq:=diff(y(x),x)=(x-y(x)+1)/(x+y(x)-2); with(DEtools): a:=genhomosol(eq); 用齐次型方程的求解函数求解,解用集合表示，其解需要按元素取出使用，为此，将解赋给集合“a”由于x与y的隐式关系很简单，而这里的显示结果即较为复杂，为此，如以下化简： subs(_C1=C,a1):subs(y(x)=z,a1):subs(_C1=C,%); 替换 map(simplify,%); 对上式两端化简。因为上式根号中的内容计算机不认识，现在认识的是它的如下根式中的化简结果，所以，要想解出根式下面的表达式，要先化简 isolate(%,8*C2*x2-8*C2*x+2*C2+1); 解出根式下面的表达式 simplify(lhs(%)-rhs(%)=0; 取出上式的左右两端作差的方程，目的是消去相同项 sort(%,z); 对变量z按降幂排此代数方程的两端 simplify(lhs(%)+14*C2-1)=-4*C2*_C1; 用solve解出后两项行吗？ factor(%)/(-4*C2); 先分解因式，再除以分母才可以得到下面的结果 subs(z=y,%):subs(_C1=C,%);注： 这个结果用通用求解函数也不能简单给出，而是给出 dsolve(eq,implicit);问题： 试将此结果化为如上多项式形式的“标准”答案。(3)一阶线性方程Ex. 3 解一阶线性微分方程 答案：解 （Maple-lx4-3） eq:=eq: eq:=diff(y(x),x)+y(x)/x=sin(x)/x;法1： （用通用函数求解，解出后的检验略） dsolve(eq);法2： （用特定求解方程的函数求解，解出后的检验略） with(DEtools): linearsol(eq);法3： （用的通解公式求解） P(x):=1/x;Q(x):=sin(x)/x; y(x)=exp(-int(P(x),x)*(int(Q(x)*exp(int(P(x),x),x)+C);(4) 贝努里方程Ex. 4 解贝努里微分方程解（Maple-lx4-4） restart; eq:=eq: eq:=diff(y(x),x)=6*y(x)/x-x*y(x)2;法1：（用通用函数求解） dsolve(eq); 用通用函数求解法2： （按贝努里方程专用求解函数求解） with(DEtools): bernoullisol(eq); 法3： （按解贝努里方程的推导方法求解） eq1:=subs(y(x)=1/z(x),eq); with(DEtools): odeadvisor(eq1,z(x); simplify(%); 如用通用函数或专用求解函数求解，这步不需要 factor(%)*(-z(x)2); 如用通用函数或专用求解函数求解，这步不需要 linearsol(%); 上面已经判断为线性方程，就可用线性方程专用求解函数 subs(z(x)=1/y(x),%); solve(%,y(x); 也可用simplify(%)(5) 全微分方程解 （Maple-lx4-4） restart; eq:=eq: eq:=diff(y(x),x)=(2+y(x)*exp(x*y(x)/(2*y(x)-x*exp(x*y(x);法1：(用通用求解函数求解) eq1:=eq1: eq1:=(2*y(x)-x*exp(x*y(x)*diff(y(x),x)=2+y(x)*exp(x*y(x); with(DEtools): sol1:=dsolve(eq); 系统用隐式给出了通解 odetest(sol1,eq); 验隐式解是正确的 sol2:=dsolve(eq,explicit); 要求给出显式解 odetest(sol2,eq); 验显式解是正确的法2： （用专用求解函数求解） odeadvisor(eq,y(x); 判断方程类型（给出结果不知是何类型但从原方程观察应为全微分方程(exact) odeadvisor(eq1,y(x); 转换成“eq1”判断为全微分方程（是否都需这样转化） exactsol(eq1); 用全微分方程的专用求解函数求解法3：（按全微分方程的求解步骤进行求解） M:=M:N:=N: M:=(x,y)-2+y*exp(x*y);N:=(x,y)-(2*y-x*exp(x*y); eq2:=eq2: eq2:=M(x,y(x)+N(x,y(x)*diff(y(x),x)=0; 化为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0格式 testeq(diff(N(x,y),x),diff(M(x,y),y); 方程为全微分方程的充要条件是 exactsol(eq2); 方程的隐式解为Ex.5 解 （Maple-lx4-6） 要求: 用3种方法给出通解，并将答案化成下式。答案：(6) 高阶常系数线性（非）齐次微分方程Maple: P188193(7) 级数解(默认为5阶展式)Maple: P193195dsolve(ODE,y(x),4.1.1 常微分方程的解析解4.1.2 常微分方程组的解析解求解函数与求解常微分方程所用的函数一样，它的参数形式如下：dsolve(sysODE,Ics,func,extra_args);其中各参数的意义如下： sysODE 方程组的集合 Ics 初始条件的集合 Func 待求的函数集合 Exgra_args 设置解的形式 解 sysOde:=sysOde: sysOde:=D(x)(t)=x(t)+y(t)+exp(-t),D(y)(t)=y(t); dsolve(sysOde,x(t),y(t); 解 sysOde:=sysOde: sysOde:=D(x)(t)=y(t)-z(t),D(y)(t)=z(t),D(z)(t)=y(t); dsolve(sysOde,x(t),y(t),z(t),implicit); odetest(%,sysOde); 验法1 a:=dsolve(sysOde,x(t),y(t),z(t); 验法2 odetest(a,sysOde);4.1.3 常微分方程定解问题的求解很多时候求定解问题是先求出通解，再求定解。但用Maple在大多数情形下可直接求解。所用求解函数仍是dsolve:dsolve(ODE,ICs,y(x),extra_args);dsolve(sysODE,sysICs,func,extra_args);注意： 在使用上面第二个命令求方程组定解问题时，“sysODE,sysICs”的内容都要以元素给出，而不能用子集合分别给出“sysODE”、“sysICs”。1 一个方程的定解问题解： （一阶方程的定解问题） restart; eq:=eq: eq:=D(y)(x)+4*x*y(x)/(x2-1)=x*sqrt(y(x); 简化方程再求解 sol1:=dsolve(eq,y(0)=4,y(x); 给出含RootOf（查帮助）的解 sol1:=allvalues(sol1); 将RootOf表达的解化为常见式法2： （隐式解可以避开RootOf函数，但解过程稍复杂） sol2:=dsolve(eq,y(x),implicit); 求隐式解 isolate(subs(x=0,y(0)=4,sol2),_C1); 确定任意常数_C1 simplify(%); isolate(subs(_C1=-2,sol2),y(x); 将任意常数_C1代入解sol2中解： （高阶方程的定解问题） restart; eq:=eq: eq:=diff(x(t),t,t)-2*diff(x(t),t)+x(t)=4*t*exp(t); dsolve(eq,x(0)=2,D(x)(0)=2,x(t);2方程组的定解问题解： （方程组的定解问题） sysOde:=sysOde: sysOde:=D(x)(t)=x(t)+y(t)+exp(-t),D(y)(t)=y(t); dsolve(sysOde1,sysOde2,x(0)=0,y(0)=0,x(t),y(t);4.1.4 常微分方程的数值解除了上面介绍的几种特殊的常微方程以外，大部分常微方程都很难求解析解，如下面这个简单的一阶方程： eq:=eq: eq:=D(y)(x)=cos(x*y(x); dsolve(eq,y(x);