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第二节排列与组合【最新考纲】1.理解排列、组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式.3.能利用公式解决一些简单的实际问题1排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数3排列数、组合数的公式及性质1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(3)若组合式CC，则xm成立()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了()答案：(1)(2)(3)(4)2有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为()A6B18C20 D24解析：由题意知，名次排列的种数为CA18.答案：B3(2015广东卷改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言()A1 560条 B780条C1 600条 D800条解析：由题意，得毕业留言共A1 560(条)答案：A4我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A18个 B15个C12个 D9个解析：根据“六合数”的定义可知，当首位为2时，其余三位是数组(0，0，4)，(0，1，3)，(0，2，2)，(1，1，2)的所有排列，即共有3A3315(个)答案：B5(2016唐山调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A85 B56C49 D28解析：法一(直接法)甲、乙两人均入选，有CC种方法甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，由分类加法计数原理，共有CCCC49种选法法二(间接法)从9人中选3人有C种方法其中甲、乙均不入选有C种方法，满足条件的选排方法是CC843549(种)答案：C一个区别排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合两个公式1排列数公式：A2组合数公式：C三点提醒1特殊元素、特殊位置优先原则2解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一3解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘”一、选择题1把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144B120C72 D24解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A24(种)放法答案：D2(2014安徽卷)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()A24对 B30对C48对 D60对解析：正方体六个面的对角线共有12条，则有C66对，而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60，则共有3C18对，而其余的都符合题意因此满足条件的对角线共有661848(对)答案：C3某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为()A360 B520C600 D720解析：当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2CA480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为AA120，则不同的发言顺序的种数为480120600.答案：C4(2016青岛二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A18种 B24种C36种 D72种解析：1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有CCA种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有CCA种由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为CCACCA36(种)答案：C5某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A16种 B36种C42种 D60种解析：法一(直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法由分类加法计数原理知共ACA60种方法法二(间接法)先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共4364种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43464460(种)答案：D6某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120C144 D168解析：先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有AA34144种，再剔除小品类节目相邻的情况，共有AAA24种，于是符合题意的排法共有14424120种答案：B二、填空题77位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有_种排法解析：先排最中间位置有1种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C种排法，再排剩下右边三个位置，共1种排法，所以排法种数为C20(种)答案：208若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误种数共有_种解析：把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A12(种)其中正确的有一种，所以错误的共A112111(种)答案：119四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有_种解析：分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A种依分步乘法计数原理，共有NCA36(种)答案：3610将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)解析：分两步：任意选3个空排A、B、C，共有CCA种排法排其余的3个字母，有A种排法，所以由分步乘法计数原理，共有CCAA480(种)排法答案：480三、解答题11现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法有多少种？解：分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C3C22012208(种)由分类加法计数原理知不同的取法有264208472(种)12由1，2，3，4，5五个数字组成的没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12 345，第2项是12 35