数学人教版八年级上册等腰三角形的判定课后作业.doc

等腰三角形的相关证明 考 点 突 破考点一:利用等腰三角形的性质进行证明例1 已知ABC中,AB=AC,D、E分别是AB和BC上的点,连接DE并延长与AC的延长线交于点F,若DE=EF.求证:DB=CF.分析通过构造全等将BD、CF转移到一个三角形中,然后再证明该三角形是等腰三角形. 证明过D作DGAF交BC于G, DGB=ACB,DGE=FCE 在DGE和FCE中: ,DGEFCE, DG=CF. 又AB=AC,ACB=ABC,ABC=DGB,DB=DG,DB=CF.跟踪训练一:1.如图,已知ACB=90,点D是AB上一点,若DB=DC.求证:点D是AB的中点.证明ACB=90,ACD+DCB=A+B=90,DB=DC,DCB=B,ACD+B=A+B=90A=ACDAD=DC,AD=DB点D是AB的中点.2.如图,已知AB=AC,D是AB上一点,DEBC于E,ED的延长线交CA的延长线于F,试证明ADF是等腰三角形的理由.证明AB=AC,B=C(等边对等角).DEBC于E,FEB=FEC=90.B+EDB=C+EFC=90.EFC=EDB(等角的余角相等).EDB=ADF(对顶角相等),EFC=ADF.ADF是等腰三角形.考点二:综合运用等腰三角形的性质和判定例2 如图,在等腰RtABC中,ACB=90,D为BC的中点,DEAB,垂足为E,过点B作BFAC交DE的延长线于点F,连接CF.(1)求证:ADCF;(2)连接AF,试判断ACF的形状,并说明理由.分析(1)欲求证ADCF,需证明CAG+ACG=90,先证明CAG=BCF,利用三角形全等,易证.(2)要判断ACF的形状,看其边有无关系.根据(1)的推导,易证CF=AF,从而判断其形状.(1)证明在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,CBA=CAB=45.又DEAB,DEB=90.BDE=45.又BFAC,CBF=90.BFD=45=BDE.BF=DB.又D为BC的中点,CD=DB.即BF=CD.在CBF和ACD中,CBFACD(SAS).BCF=CAD.又BCF+GCA=90,CAD+GCA=90.即ADCF.(2)解ACF是等腰三角形,理由为:连接AF,如图所示,由(1)知:CF=AD,DBF是等腰直角三角形,且BE是DBF的平分线,BE垂直平分DF,AF=AD,CF=AD,CF=AF,ACF是等腰三角形.点评此题难度中等,考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定.跟踪训练二:如图,ABC的内角ABC的平分线与外角ACG的平分线交于点D,过点D作BC的平行线交AB于E,交AC于F.试判断EF与BE,CF之间的关系,并说明理由.解EF=BE-CF.证明:BD平分ABC,ABD=DBC.又EDBC,EDB=DBC;ABD=EDB,BE=ED;同理可证:CF=FD;EF=ED-FD,EF=BE-CF. 1.若等腰三角形底角为72,则顶角为(D)(A)108(B)72(C)54(D)362.下列长度的三条线段,能组成等腰三角形的是(C)(A)1,1,2(B)3,3,7(C)4,4,5(D)3,4,53.(2011沈阳)如图,矩形ABCD中,ABBC,对角线AC、BD相交于点O,则图中的等腰三角形有(B)A.2个B.4个C.6个D.8个4.如图,在下列三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(D)A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4) C.(2)(3)(4)D.(1)(3)(4)5.如图,在RtABC中,CAB=90,ADBC于点D,ACB的平分线交AD于点E,交AB于点F,则AEF是(B)A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.无法确定6.如图,BD是ABC的角平分线,ABD=36,C=72,则图中的等腰三角形有3个.第5题 第6题7.(2012海南)如图,在ABC中,B与C的平分线交于点O,过点O作DEBC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=5,AC=4,则ADE的周长是9.8.如图,在ABC中,BC=5cm,BP、CP分别是ABC和ACB的角平分线,且PDAB,PEAC,则PDE的周长是5cm. 第7题 第8题9.如图,过ABC底边BC上一点D作BC的垂线,交AC和BA的延长线于点E、F,若AE=AF,试说明AB=AC.解AE=AF,F=AEF(等边对等角).又AEF=CED(对顶角相等),FDBC,F+B=90,C+CED=C+F=90,B=C(等量代换),AB=AC(等角对等边).10.如图,已知:在直角ABC中,C=90,BD平分ABC且交AC于D.(1)若BAC=30,求证:AD=BD;(2)若AP平分BAC且交BD于P,求BPA的度数.(1)证明BAC=30,C=90,ABC=60.又BD平分ABC,ABD=30,BAC=ABD,BD=AD.(2)解C=90,BAC+ABC=90,AP平分BAC,BD平分ABC,BAP=BAC,ABP=ABC,BAP+ABP=(BAC+ABC)=90=45.BPA=180-(BAP+ABP)=180-45=135.11.如图,CD、CF分别是ABC的内角平分线和外角平分线,DFBC交AC于点E,那么DE=EF吗?说出你的理由.解DE=EF,理由:CD与CF分别是ABC的内角、外角平分线,DCE=ACB,ECF=ACG,ACB+ACG=180,DCE+ECF=90,DCF为直角三角形,DFBC,EDC=BCD,ECD=BCD,EDC=ECD,ED=EC,同理EF=EC,DE=EF.12.如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC,ABC的平分线交AC于D,过C作BD垂线交BD的延长线于E,交BA的延长线于F,求证:BD=2CE.证明ABC的平分线交AC于D,FBE=CBE,BECF,BEF=BEC,又BE=BEBFEBCE(ASA),CE=EF,CF=2CE,BAC=90,且AB=AC,FAC=BAC=90,ABC=ACB=45,FBE=CBE=22.5,F=ADB=67.5,又AB=AC,ABDACF(AAS),BD=CF,BD=2CE.13.如图,已知ABC是等腰直角三角形,BAC=90,BE是ABC的平分线,DEBC,垂足为D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形;(2)请你判断AD与BE垂直吗?并说明理由.(3)如果BC=10,求AB+AE的长.解(1)ABC,ABD,ADE,EDC.(2)AD与BE垂直.证明:由BE为ABC的平分线,知ABE=DBE,BAE=BDE=90,BE=BE,ABE沿BE折叠,一定与DBE重合.A、D是对称点,ADBE.(3)BE是ABC的平分线,DEBC,EAAB,AE=DE,在RtABE和RtDBE中RtABERtDBE(HL),AB=BD,又ABC是等腰直角三角形,BAC=90,C=45,又EDBC,DCE为等腰直角三角形,DE=DC,即AB+AE=BD+DC=BC=10.14.阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且BAE=CDE.求证:AB=CD分析证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此,要证AB=