2016年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年北京市东城区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1若集合 A=x R|3x， B=x| 1 x 2，则 A B=（ ） A x| 1 x 0 B x| 1 x 3 C x|0 x 2 D x|0 x 3 2已知直线 y 1=0 与直线 3x y+2=0 互相垂直，则 a=（ ） A 3 B 1 C 1 D 3 3已知 a=b=c=三个 数的大小关系是（ ） A c a b B a c b C a b c D b c a 4若 x， y 满足 ，则 u=2x+y 的最大值为（ ） A 3 B C 2 D 5已知数列 前 n 项和 5+9 13 21+（ 1） n 1（ 4n 3），则 ） A 21 B 19 C 19 D 21 6在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，则 “a=b”是 “（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”执行该程序框图，若输入 a， b， i 的值分别为 6， 8， 0，则输出 a 和 i 的值分别为（ ） A 0， 3 B 0， 4 C 2， 3 D 2， 4 8函数 f（ x）的定义域为 1， 1，图象如图 1 所示；函数 g（ x）的定义域为 1， 2，图象如图 2 所示 A=x|f（ g（ x） =0， B=x|g（ f（ x） =0，则 AB 中元素的个数为（ ） 第 2 页（共 18 页） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9若复数（ 2+2（ a R）是实数，则 a= 10以抛物线 x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 11如图，在正方体 ，点 P 是上底面 一动点，则三 棱锥 P 主视图与左视图的面积的比值为 12已知函数 若 f（ f（ 1） =0，则实数 a= ； 在 的条件下，若直线 y=m 与 y=f（ x）的图象有且只有一个交点，则实数 m 的取值范围是 13如图，在矩形 ，点 E， F 分别在 ，且满足 = + （ ， R），则 += 14每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中 65 个学生及其父母以家庭为单位参加 “种一棵小树，绿一方净土 ”的义务植树活动活动将 65 个家庭分成 A， B 两组， A 组负责种植150 棵银杏树苗， B 组负责种植 160 棵紫薇树苗根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时 ，种植一棵紫薇树苗用时 假定 A， B 两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则 A 组的家庭数为 ，此时活动持续的时间为 h 第 3 页（共 18 页） 三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15已知函数 （ ）求 f（ x）的最小正周期； （ ）求 f（ x）在区间 上的最大值和最小值 16已知公差为正数的等差 数列 足 ， 21， 成等比数列 （ ） 求 通项公式； （ ） 若 第 1项和第 2项，求使数列 的前 n 17如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形，点 O 是对角线 交点， ， 0， M 是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）平面 平面 （ ）当三棱锥 C 体积等于 时，求 长 18 “爱心包裹 ”是中国扶贫基金会依托中国邮政发起的一项全民公益活动，社会各界爱心人士只需通过中国邮政网点捐购统一的爱心包裹，就可以一对一地将自己的关爱送给需要帮助的人某高校青年志愿者协会响应号召，组织大一学生作为志愿者，开展一次爱心包裹劝募活动将派出的志愿者分成甲、乙两个小组，分别在两个不同的场地进行劝募，每个小组各6 人爱 心人士每捐购一个爱心包裹，志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念以下茎叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数，且图中甲组的一个数据模糊不清，用 x 表示已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少 1 个 （ ） 求图中 x 的值； （ ） “爱心包裹 ”分为价值 100 元的学习包，和价值 200 元的 “学习 +生活 ”包，在乙组劝募的爱心包裹中 100 元和 200 元的比例为 3： 1，若乙组送出的钥匙扣的个数即为爱心包裹的个数，求乙组全体成员劝募的爱心包裹的价值总额； （ ）在甲组中任选 2 位志愿者，求他们送出的钥匙扣个数都多 于乙组的平均数的概率 第 4 页（共 18 页） 19已知 1， 0）和 1， 0）是椭圆 的两个焦点，且点在椭圆 C 上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）直线 l： y=kx+m（ m 0）与椭圆 C 有且仅有一个公共点，且与 x 轴和 y 轴分别交于点 M， N，当 积取最小值时，求此时直线 l 的方程 20已知函数 f（ x） =a R （ ）若 f（ x）在 x=1 处取得极值，求 a 的值； （ ）求 f（ x）在区间 1， +）上的最小值； （ ）在（ ）的条件下，若 h（ x） =f（ x），求证：当 1 x ，恒有成立 第 5 页（共 18 页） 2016 年北京市东城区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1若集合 A=x R|3x， B=x| 1 x 2，则 A B=（ ） A x| 1 x 0 B x| 1 x 3 C x|0 x 2 D x|0 x 3 【考点】 并集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的并集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得： x（ x 3） 0， 解得： 0 x 3，即 A=x|0 x 3， B=x| 1 x 2， A B=x| 1 x 3， 故选： B 2已知直线 y 1=0 与直线 3x y+2=0 互相垂直，则 a=（ ） A 3 B 1 C 1 D 3 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】 由直线的垂直关 系可得 a 的方程，解方程可得 a 值 【解答】 解： 直线 y 1=0 与直线 3x y+2=0 互相垂直， a3+3（ 1） =0，解得 a=1 故选： C 3已知 a=b=c=三个数的大小关系是（ ） A c a b B a c b C a b c D b c a 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用对数函数的性质、换底公式求解 【解答】 解： a=b= c=a= c a b 故选： A 4若 x， y 满足 ，则 u=2x+y 的最大值为（ ） A 3 B C 2 D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求 z 的取值范围 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 u=2x+y 得 y= 2x+u， 第 6 页（共 18 页） 平移直线 y= 2x+u， 由图象可知当直线 y= 2x+u 与 行时，线段 的任意一点都能使 y= 2x+u 取得最大值， 由 ，解得 ，即 C（ 0， 3）， 代入目标函数 u=2x+y 得 z=0+3=3 故选： A 5已知数列 前 n 项和 5+9 13 21+（ 1） n 1（ 4n 3），则 ） A 21 B 19 C 19 D 21 【考点】 数列的求和 【分析】 观察数列 前 n 项和 特点， 1=4， 4） 5+41=21 【解答】 解 5+9 13+17 21+33 37+41， =（ 1 5） +（ 9 13） +（ 17 21） +（ 33 37） +41， =（ 4） 5+41=21， 故答案选： D 6在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，则 “a=b”是 “（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要 条件的判断 【分析】 =B，即可判断出结论 【解答】 解： A， B （ 0， ），则 A， B ， =Ba=b， 故选： C 7如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”执行该程序框图，若输入 a， b， i 的值分别为 6， 8， 0，则输出 a 和 i 的值分别为（ ） 第 7 页（共 18 页） A 0， 3 B 0， 4 C 2， 3 D 2， 4 【考点】 程序框图 【分析】 由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a， b， i 的值，即可得到结论 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得： a=6， b=8， i=0， i=1，不满足 a b，不满足 a=b， b=8 6=2， i=2 满足 a b， a=6 2=4， i=3 满足 a b， a=4 2=2， i=4 不满足 a b，满足 a=b，输出 a 的值为 2， i 的值为 4 故选： D 8函数 f（ x）的定义域为 1， 1，图象如图 1 所示；函数 g（ x）的定义域为 1， 2，图象如图 2 所示 A=x|f（ g（ x） =0， B=x|g（ f（ x） =0，则 AB 中元素的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 函数的图象；交集及其运算 【分析】 结合图象，分别求出集合 A， B，再根据交集的定义求出 AB，问题得以解决 【解答】 解：由图象可知， 若 f（ g（ x） =0， 则 g（ x） =0 或 g（ x） =1， 由图 2 知， g（ x） =0 时， x=0，或 x=2， g（ x） =1 时， x=1 或 x= 1 故 A= 1， 0， 1， 2， 第 8 页（共 18 页） 若 g（ f（ x） =0， 由图 1 知， f（ x） =0，或 f（ x） =2（舍去）， 当 f（ x） =0 时， x= 1 或 0 或 1， 故 B= 1， 0， 1， 所以 AB= 1， 0， 1， 则 AB 中元素的个数为 3 个 故选： C 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9若复数（ 2+2（ a R）是实数，则 a= 0 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（ 2+2，又已知复数是实数，则虚部等于 0，求解 a 值即 可 【解答】 解：（ 2+2=4+4 2=4 复数（ 2+2（ a R）是实数， 4a=0，即 a=0 故答案为： 0 10以抛物线 x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 x2+2x=0 【考点】 抛物线的简单性质；圆的标准方程 【分析】 由抛物线 x 可求出圆心为（ 1， 0）又过坐标原点则半径为 R=1 再代入圆的标准方程即可求解 【解答】 解： 抛物线 x 焦点（ 1， 0） 所求圆的圆心为（ 1， 0） 又 所求圆过坐标原点 所求圆的半径 R=1 所求圆的方程为（ x 1） 2+ 即 2x+ 故答案为： 2x+ 11如图，在正方体 ，点 P 是上底面 一动点，则三棱锥 P 主视图与左视图的面积的比值为 1 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 主视图，左视图，都是三角形；底面 射影都是正方体的棱长， P 到底边的距离都是正方体的棱长，求出比值即可 第 9 页（共 18 页） 【解答】 解：三棱锥 P 主视图与左视图都是 三角形，底面 射影都是正方体的棱长， P 到底边的距离（三角形的高）都是正方体的棱长， 所以，三棱锥 P 主视图与左视图的面积的比值为： 1 故答案为： 1 12已知函数 若 f（ f（ 1） =0，则实数 a= 1 ； 在 的条件下，若直线 y=m 与 y=f（ x）的图象有且只有一个交点，则实数 m 的取值范围是 （ ， 0） 1， +） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 利用分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可 作出函数 f（ x） 的图象，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解： 由分段函数的表达式得 f（ 1） =2（ 1） =2， f（ 2） =a+1， 则由 f（ f（ 1） =0，得 f（ 2） =a+1=0，得实数 a= 1； 在 的条件下， a= 1，则 f（ x） = ， 作出函数 f（ x）的图象如图： 由图象知当 x 0 时，函数 f（ x）为单调递减函数，且 f（ x） 1， 当 x 0 时， f（ x） 1， 要使直线 y=m 与 y=f（ x）的图象有且只有一个交点，则 m 1 或 m 0， 即实数 m 的取值范围是（ ， 0） 1， +）， 故答案为： 1；（ ， 0） 1， +） 13如图，在矩形 ，点 E， F 分别在 ，且满足 = + （ ， R），则 += 第 10 页（共 18 页） 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 如图所示，建立直角坐标系通过向量的坐标运算及共面向量定理即可得出 【解答】 解：如图所示，建立直角坐标系 设 A（ a， 0）， C（ 0， b），则 B（ a， b） E ， F = + ， （ a， b） = + ， ，解得 += 故答案为： 14每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中 65 个学生及其 父母以家庭为单位参加 “种一棵小树，绿一方净土 ”的义务植树活动活动将 65 个家庭分成 A， B 两组， A 组负责种植150 棵银杏树苗， B 组负责种植 160 棵紫薇树苗根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时 ，种植一棵紫薇树苗用时 假定 A， B 两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则 A 组的家庭数为 25 ，此时活动持续的时间为 h 【考点】 函数模型的选择与应用；简单线性规划 【分析】 根据条件求出两种树苗种植的总时间，得到若使植树活动持续时间最短，则两种树苗种植的时间和人数应该对应成比例，建立比例关系进行求解即可 【解答】 解：若使植树活动持续时间最短，则两种树苗种植的时间和人数应该对应成比例， 150 棵银杏树，一个家庭种植完需要的时间为 150 =60h， 160 棵紫薇树苗，一个家庭种植完需要的时间为 160 =96h， 对应的时间比 为 60： 96=5： 8， 则 65 个家庭安装这个比例进行分配，则 A 组的家庭数为 =25， 第 11 页（共 18 页） 活动持续的时间为 = h， 故答案为： 25， 三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15已知函数 （ ）求 f（ x）的最小正周期； （ ）求 f（ x）在区间 上的最大值和最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ ）由两角差的正弦公式以及二倍角公式和辅助角公式化简函数，由此得到周期 （ ）由 x 的范围得到 2x+ 的范围，由此确定最大值与最小值 【解答】 解：（ ） = 所 以 f（ x）的最小正周期 T= （ ）当 时， 当 ， 即 时， f（ x）取得最大值 2； 当 ，即 时， f（ x）取得最小值 16已知公差为正数的等差数列 足 ， 21， 成等比数列 （ ） 求 通项公式； （ ） 若 第 1项和第 2项，求使数列 的前 n 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）通过设数列 公差为 d（ d 0），利用 2） = 化 简、计算可知 d=2，进而可得结论； 第 12 页（共 18 页） （ ） 通过（ ）知数列 是以 为首项、以 为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式可知问题转化解不等式 ，计算即得结论 【解答】 解：（ ）设数列 公差为 d（ d 0）， 由已知可得 2） = ，即 2（ 1+3d+1） =（ 1+2d 1） 2， 整理得 23d 2=0， 解得： （舍去）或 d=2， 所以 通项公式为 n 1， n N*； （ ） 由（ ）知 b1=， b2=， 所以等比数列 公比 q=3， 于是 是以 为首项、以 为公比的等比数列， 所 以 ， 由 ，得 ，即 ， 则满足不等式的最大正整数 n=4 17如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形，点 O 是对角线 交点， ， 0， M 是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）平面 平面 （ ）当三棱锥 C 体积等于 时，求 长 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ I）由中位线定理可知 而 平面 （ 菱形的性质得 平面 平面 是平面 平面 （ 据 P 算出 S 入体积公式得出棱锥的高 第 13 页（共 18 页） 【解答】 证明：（ ）在 ，因为 O， M 分别是 中点， 所以 面 面 所以 平面 （ ）因为底面 菱形， 所以 因为 平面 面 所以 A=A， 所以 平面 又 面 所以平面 平面 解：（ ）因为底面 菱形，且 ， 0， 所以 S 又 P 棱锥 P 高为 所以 ， 解得 18 “爱心包裹 ”是中国扶贫基金会依托中国邮政发起的一项全民公益活动，社会各界爱心人士只需通过中国邮政网点捐购统一的爱心包裹，就可以一对一地将自己的关爱送给需要帮助的人某高校青年志愿者协会响应号召，组织大一学生作为志愿者，开展一次爱心包裹劝募活动将派出的志愿者分成甲、乙两个小组 ，分别在两个不同的场地进行劝募，每个小组各6 人爱心人士每捐购一个爱心包裹，志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念以下茎叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数，且图中甲组的一个数据模糊不清，用 x 表示已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少 1 个 （ ） 求图中 x 的值； （ ） “爱心包裹 ”分为价值 100 元的学习包，和价值 200 元的 “学习 +生活 ”包，在乙组劝募的爱心包裹中 100 元和 200 元的比例为 3： 1，若乙组送出的钥匙扣的个数即为爱心包裹的个数，求乙组全体成员劝募的爱心包裹的价值总额； （ ） 在甲组中任选 2 位志愿者，求他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率 第 14 页（共 18 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图 【分析】 （ ）由茎叶图能求出乙组送出钥匙扣的平均数，从而得到甲组的送出钥匙扣的平均数，由此能求出 x （ ） 乙组送出钥匙扣的个数为 96，即劝募的总包裹数为 96，按照 3： 1 的比例，价值 100元的包裹有 72 个，价值 200 元的包裹有 24 个，由此能求出所求爱心包裹的总价值 （ ）乙组送出钥匙扣的平均数为 16 个甲组送出钥匙扣的 个数分别为 8， 9， 14， 18， 20，21，由此利用列举法能求出他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率 【解答】 解：（ ）由茎叶图可知乙组送出钥匙扣的平均数为 则甲组的送出钥匙扣的平均数为 15 由 8+9+14+（ 10+x） +20+21=15 6=90，解得 x=8 （ ） 乙组送出钥匙扣的个数为 96，即劝募的总包裹数为 96， 按照 3： 1 的比例，价值 100 元的包裹有 72 个，价值 200 元的包裹有 24 个， 故所求爱心包 裹的总价值 =72 100+24 200=12000 元 （ ）乙组送出钥匙扣的平均数为 16 个 甲组送出钥匙扣的个数分别为 8， 9， 14， 18， 20， 21 若从甲组中任取两个数字，所有的基本事件为： （ 8， 9），（ 8， 14），（ 8， 18），（ 8， 20），（ 8， 21）， （ 9， 14），（ 9， 18），（ 9， 20），（ 9， 21），（ 14， 18）， （ 14， 20），（ 14， 21），（ 18， 20），（ 18， 21），（ 20， 21），共 15 个基本事件 其中符合条件的基本事件有（ 18， 20），（ 18， 21），（ 20， 21），共 3 个基本事件， 故所求概率为 19已知 1， 0）和 1， 0）是椭圆 的两个焦点，且点在椭圆 C 上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）直线 l： y=kx+m（ m 0）与椭圆 C 有且仅有一个公共点，且与 x 轴和 y 轴分别交于点 M， N，当 积取最小值时，求此时直线 l 的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由 1， 0）和 1， 0）是椭圆的两个焦点，且点 在椭圆C 上，求出 a， b，由此能求出椭圆 C 的方程 第 15 页（共 18 页） （ ）由 ，得（ 4） 12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、基本不等式、椭圆性质，结合已知条件能求出直线方程 【解答】 （共 13 分） 解：（ ） 1， 0）和 1， 0）是椭圆： 的两个焦点，且点在椭圆 C 上， 依题意， c=1，又 ，故 a=2 所以 故所求椭圆 C 的方程为 （ ）由 ，消 y 得（ 4） 12=0， 由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知， =644（ 4）（ 412） =0，整理得 由条件可得 k 0， ， N（ 0， m） 所以 将 代入 ，得 因为 |k| 0，所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， S 最小值 因为 ，所以 ，又 m 0，解得 故所求直线方程为 或 20已知函数 f（ x） =a R （ ）若 f（ x）在 x=1 处取得极值，求 a 的值； （ ）求 f（ x）在区间 1， +）上的最小值； （ ）在（ ）的条件下，若 h（ x） =f（ x），求证：当 1 x ，恒 有成立 第 16 页（共 18 页） 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）先求出函数的定义域，求出函数 f（ x）的导函数，由已知函数 f（ x） =x2 x=1 处取得极值，即 f（ 1） =0，求出