一个线空间里的元素与它所对应的数域中的元素相互作用能形成一个有机体.doc

线性空间 一个线性空间里的元素与它所对应的数域中的元素相互作用能形成一个有机体，这个有机体可以与外界不进行任何交流，即它是封闭的。这所有能满足以下条件：（1）其中的任意两个元素相互作用能够对应一个唯一的元素，并且这个元素仍在集合中（2）其中的任何一个元素与数域中的元素相互作用，对应唯一的元素，这个元素也在集合中，并且（1）中的作用和（2）中的作用同样满足条件（记（1）中作用为&，（2）中作用为*）：（1）多个元素之间的&作用顺序并不能改变最后对应的元素（2）存在某个元素0，与其他任一元素的&作用对应那个元素本身（3）对任意元素，存在元素使它们之间的&作用对应0（4）k*(l*A)=(kl)*A(5) (k+l)*A=k*A&l*A(6)k*(A&B)=k*A&l*B（7）存在元素1任意的集合元素与它的*作用对应那个元素。显而易见，有很大可能我们能够找到这个世界的某些存在，并将它们抽象出来变成元素，并定义满足客观规律的运算，这无疑可以使我们对这些物象的研究简单化，所以，很明显，我们对线性空间的研究是很有意义的。 如果将线性空间的某些元素拿出来并构成另一个空间，这个空间在原空间下的运算仍是一个线性空间，则这个空间称为原空间的子空间。我们可以证明，只要取出的元素在原空间的运算下封闭，则构成的就是子空间。由此产生一种构造子空间的简单方法，任意元素A,B,C等等，如果某个元素可以表示成A,B,C,的某种线性组合，即X=k1*A&k2*B&k3*C&,则可以说X是子空间的元素，如果k1,k2,k3,k4,不全为零。很明显，这是很表面的构造，接下来提出维数和基的概念。如果一个线性空间中的N个元素的线性组合可以表示该线性空间所有元素，并且满足（1）不需要更多的元素（2）更少的元素不能表示空间所有元素，则称该N个元素叫做线性空间的基，N是维数。显而易见的是该N个元素同时*作用数域中的元素，则它们也是线性空间的基，所以线性空间的基不止一组。有了基的概念，对于子空间这件事情，我们可理解更多。线性空间可以由它的基来表示，而线性子空间也可以由它的基来表示，这样，实际问题简单了，我们只需要抓住问题的本质基，就像是身体的骨骼，肉只是衍生出来的，并不重要。原来构造子空间的元素只需要找到它的基，并用基的线性组合表示即可。 在上一段中，我们已经知道任意一个元素可以由基的线性组合表示，很明显，k1,k2,k3,k4,是唯一的组合，这样，如果我们知道某组确定的基，我们就可以用（k1,k2,k3,k4,)表示某个元素，以下证明元素之间的&运算和与数域之间的*运算已经转移到向量上，以N=3为例，假设X=k1*A&k2*B&k3C,Y=k4*A&k5*B&k6*C,则（k1,k2,k3)代表X，（k4,k5,k6)代表Y，X&Y=(ki+k4)*A&(k2+k5)B&(k3+k6)*C,可以用向量（k1+k2,k3+k4,k5+k6)表示。证毕。所以，已经清楚向量可以代表线性运算，只要给定一组基。从上一段中，我们也已知道，基不止一组，然而，不同基下，用来表示某个元素的向量一般是不同的，从而，如已经知道两组基，并且知道在一组基下的向量表示，如何知道在另一组基下的向量表示呢？先来介绍向量的形式书写，将基的线性组合表示成（A,B,C）*（k1,k2,k3),这样的话，一组基在另一组基的形式书写是（a,b,c)=(A,B,C)*(k1,k2,k3|k4,k5,k6|k7,k8,k9),如果X=(A,B,C)*(x1,x2,x3)=(a,b,c)*(x4,x5,x6),由等式得，（x1,x2,x3)=(x4,x5,x6)*(k1,k2,k3|k4,k5,k6|k7,k8,k9),这是很有用的公式，让线性空间为三维空间，&和*运算时向量的加法和数乘，让基表示参考系，这个公式就是在不同的参考系下物体的物质信息转化，这在物理上十分有用。 第二段中谈到子空间，很显然，一个线性空间不止一个子空间，那么子空间之间有什么联系呢？定义子空间的交，如果存在元素属于线性空间1和线性空间2，则那么满足条件的元素构成的集合称为子空间的交。易证，该集合为线性空间。对任意的X属于线性空间1，Y属于线性空间2，X+Y构成的集合称为子空间的和，也易证，该集合为线性空间。子空间的交有一种特殊情况，只有一个零元素，叫做直和补，这是很好玩儿的，现代物理学中有一个非常流行的观点平行宇宙，根据量子力学，我们生存在一个毫无特殊的宇宙中，但为什么我们无法观察到其他宇宙呢？因为他们正交了，只有一个交点，其他的世界只能映像在那个点，我们无法观察，这就是直和补的一个例子。直和补的意思就是没有重叠（除0）。在第三段中，我们知道只要知道基，那么元素可由向量表示，这启示我们用维数相同的线性空间代替已知空间，是问题简化，这就是同构，如果存在同一数域的两个线性空间1,2.同时存在一个映射使两个空间的元素能够一一对应，并且满足（1）（x+y)=(x)+(y)；（2）（k x)=k(k).由同构定义，可以知道空间1,2并没有区别，只要知道对应关系，研究那个都是一样的，同时很明显的是二者的维度是一样的。上一段是两个空间，存在一种映射，是空间本身的。如果（1）对任意的X,Y，（X&Y）=（X)&（Y）（2）（k*X)=k(X),则称为线性变换。变换与同构的差别在于同构是两个空间是一一的，变换是一个空间，不一定是一一的。然后定义（+#）（X）=（X）&#（X），（k)（X）=k(X)。根据向量的形式书写法，将把对基的映射改为（X,Y,Z）=（X,Y,Z)*(a1,a2,a3|a4,a5,a6|a7,a8,a9),从中我们可以得到灵感，可能映射本身与矩阵可能是同构关系，下面就证明这件事情，同样以三维为例，（X,Y,Z)=(X,Y,Z)*(a1,a2,a3|a4,a5,a6|a7,a8,a9),#(X,Y,Z)=(X,Y,Z)*(b1,b2,b3|b4,b5,b6|b7,b8,b9)，有定义得（+#）（X+Y）=（X，Y，Z）*（a1,a2,a3|a4,a5,a6|a7,a8,a9)+(b1,b2,b3|b4,b5,b6|b7,b8,b9),从而作用本身与矩阵构成同构关系，现在事情简单了，作用本身是无法表示的，可是矩阵可以。这样下面的事情就非常自然，复合映射就是两个矩阵相乘，本身映射就是单位矩阵，反映射也就是矩阵的逆（这里有个问题，就是为什么如果如果存在逆映射，为什么一定可以知道该矩阵