高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比3.1.2类比推理课件

3 1 2类比推理 一 类比推理1 类比推理的含义由于两类不同对象具有某些类似的特征 在此基础上 根据一类对象的其他特征 推断另一类对象也具有类似的其他特征 我们把这种推理过程称为类比推理 类比推理是两类事物特征之间的推理 2 类比推理的特征类比推理是从特殊到特殊的推理 简称类比 3 结论真假 利用类比推理得出的结论不一定是正确的 4 思维过程流程图观察 比较 联想 类推 猜想新的结论 名师点拨类比推理的三个特点1 类比推理结论的猜测性 类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征 推测正在被研究的事物的特征 所以类比推理的结果具有猜测性 不一定可靠 2 类比在数学发现中具有重要作用 例如 通过空间与平面 向量与数 无限与有限 不等与相等的类比 发现可以研究的问题及其研究方法 3 类比推理的关键点 由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征 所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征 2 在医药研究中 研制新药初期 常用一些动物做药性 药理试验 最后才做临床试验与应用 通过对动物的观察 得出对人应用的一些结论 所用推理为 解析 1 三角形的高对应扇形的半径 三角形的底对应扇形的弧长 所以可猜测为 2 符合类比推理的方法 故应为类比推理 答案 1 C 2 类比推理 二 合情推理1 合情推理的含义根据实验和实践的结果 个人的经验和直觉 已有的事实和正确的结论 定义 公理 定理等 推测出某些结果的推理方式 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 2 思维过程流程图从具体问题出发 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 提出猜想特别提醒合情推理得出的结论不一定是唯一的 侧重点不同 结论也会不同 做一做2 1 鲁班发明锯子的思维过程为 带齿的草叶能割破行人的腿 锯子 能 锯 开木材 它们在功能上是类似的 因此 它们在形状上也应该类似 锯子 应该是齿形的 该过程体现了 A 归纳推理B 类比推理C 没有推理D 以上说法都不对 2 等差数列 an 中有2an an 1 an 1 n 2 且n N 类比以上结论 在等比数列 bn 中类似的结论是 答案 1 B 2 bn 1 bn 1 n 2 且n N 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 由类比推理得出的结论一定是正确的 2 合情推理必须有前提有结论 3 合情推理不能猜想 4 合情推理得出的结论不能判断正误 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 平面图形与空间图形的类比 探究一 探究二 探究三 思路分析 考虑到用 面积法 证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接 把三角形分成三个三角形 利用面积相等来证明相应的结论 在证明四面体中类似结论时 可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 反思感悟平面图形与空间几何体的类比方法 探究一 探究二 探究三 变式训练1类比平面内正三角形的 三边相等 三内角相等 的性质 可推出正四面体的下列哪些性质 你认为比较恰当的是 各棱长相等 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 各个面都是全等的正三角形 相邻两个面所成的二面角都相等 各个面都是全等的正三角形 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A B C D 解析 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理 叫类比推理 上述三个结论均符合推理结论 故均正确 答案 C 探究一 探究二 探究三 类比推理在数列中的应用 例2 在等差数列 an 中 若a10 0 则有等式a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n N 成立 类比上述性质 相应地 在等比数列 bn 中 若b9 1 则有什么样的等式成立 思路分析 可结合等比数列的定义 通项公式 求和公式求解 解 在等差数列 an 中 由a10 0 得a1 a19 a2 a18 an a20 n an 1 a19 n 2a10 0 所以a1 a2 an a19 0 即a1 a2 an a19 a18 an 1 又 a1 a19 a2 a18 a19 n an 1 a1 a2 an a1 a2 a19 n 相应地 在等比数列 bn 中 若b9 1 则可得b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n N 探究一 探究二 探究三 反思感悟在由等差数列类比等比数列得到某些性质时 运算往往要升级 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 圆锥曲线中的类比 例3 有对称中心的曲线叫作有心曲线 显然 椭圆 双曲线都是有心曲线 过有心圆锥曲线中心的弦叫作有心圆锥曲线的直径 定理 过圆x2 y2 r2 r 0 上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线 则两条连线所在直线的斜率之积为定值 1 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 反思感悟1 类比推理的思维过程大致为 2 类比推理的一般步骤 1 观察 分析 找出两类事物之间的相似性或一致性 2 通过类比 联想 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 3 通过推理论证 证明结论或推翻结论 一般情况下 如果类比的两类事物的相似性越多 相似的性质与推测的性质之间越相关 那么类比得出的结论就越可靠 类比推理的结论既可能真 也可能假 它是一种由特殊到特殊的认识过程 具有十分重要的实用价值 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 1 2 3 4 5 1 给出下列三个类比结论 ab n anbn与 a b n类比 则有 a b n an bn loga xy logax logay与sin 类比 则有sin sin sin a b 2 a2 2ab b2与 a b 2类比 则有 a b 2 a2 2a b b2 其中结论正确的个数是 A 0B 1C 2D 3解析 只有 正确 答案 B 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 在平面内 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积比为 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 在