【教学设计】《角的平分线的性质》（数学人教版八上）.docx

12.3 角的平分线的性质教学设计本课时编写：襄阳市第41中学 李刚第一课时教材分析: 本节内容是全等三角形知识的运用和延续用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，常用来证明两条线段相等角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法教学目标：【知识与能力目标】1. 掌握利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质和判定定理；2. 掌握作已知角平分线的方法；了解证明几何命题的一般步骤和格式【过程与方法】1.在探索问题的过程中体会知识间的关系，能够进行有条理地思考，并进行简单的推理2.使学生能够利用角平分线的性质和判定定理解决相应的问题【情感态度与价值观】在探究角的平分线的作法及性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，获得解决问题的成功体验，增强解决问题的信心教学重难点：【教学重点】探究角平分线的性质，能够利用其解决相关实际问题【教学难点】角平分线性质的推导过程课前准备：三角板、直尺、圆规(多媒体课件及几何画板)教学过程：问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？用量角器度量，也可用折纸的方法追问1你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？追问2下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是DAB 的平分线你能说明它的道理吗？师生探究，说明其中的原理(利用“边边边”)，进而得到利用尺规作角平分线的方法教师出示作图过程：已知：AOB.求作：AOB的平分线作法：(1)以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.(2) 分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在AOB内部相交于点C.(3) 画射线OC.射线OC即为所求教师提出问题：角的平分线有哪些性质呢，请同学们与我一同来探究一下吧！【设计意图】1.创设情境，通过实践探究角平分线的作法，引起学生的探究兴趣，引出本节课的内容2培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识(SSS)解决问题的能力3从试验抽象出几何模型，明确几何作图的基本思路和方法.问题2 【探究1】 如图，将AOB的两边对折，再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？师生活动学生活动：学生首先独立操作，然后观察操作后的图形，进行讨论，经过讨论发现，折痕DP和折痕PE与其他边有着特殊的关系：(1)PDOA，PEOB；(2)PDPE.然后寻找上述结论成立的理由：(1)由折叠过程可以得到；由(2)可以利用三角形全等的条件得到，OPDOPE，进而得到PDPE.教师活动：组织学生独立操作、思考，在此基础上进行讨论，鼓励学生大胆发言，并对自己的看法作出判断最后引导学生归纳角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等【探究2】 我们已经知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么若一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？谈谈你的看法如图，已知PDOA，PEOB，且PDPE，那么P点在AOB的平分线上吗？为什么？师生活动学生活动：学生独立思考，自主探索，利用三角形全等解决问题考虑连接OP，由条件OPOP，PDPE，可以判断RtOPDRtOPE，于是得到DOPEOP，即OP平分AOB.教师活动：引导学生对所得出的结论进行推理，在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性，最后归纳：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上练习练习1下列结论一定成立的是 （1） 如图，OC 平分AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE（2） 如图，点P 在OC 上，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，则PD =PE（3） 如图，OC 平分AOB，点P 在OC 上，PDOA， 垂足为D若PD =3，则点P 到OB 的距离为3 练习2如图，ABC中，B =C，AD 是BAC 的平分线， DEAB，DFAC，垂足分别为E，F求证：EB =FC【设计意图】1.培养学生的数学抽象概括能力及理性精神. 2.通过小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论，从实践中学习知识3运用三角形全等的有关知识，归纳、证明角的平分线的性质与判定通过举例，说明角的平分线的性质在生活、生产中的应用，提高学生解决问题的能力. 问题3：例1要在S区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路的交叉处500米这个集贸市场应建于何处(比例尺为120000)?师生活动学生活动：学生小组合作，在独立思考的基础上小组交流，发现若到公路、铁路的距离相等，则集贸市场一定在上述角的平分线上，于是可以用尺规作出角平分线，然后根据比例尺画出集贸市场所在地即可教师活动：组织学生思考、讨论、交流，引导学生发现集贸市场所在地应在角平分线上这个结论例2 如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等思路点拨因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写变式ABC的面积是24 cm2，它的三条内角平分线的交点到AB的距离为3 cm，则ABC的周长为_【设计意图】1.利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段2教师注意提醒学生：在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程. 问题4：探究交流：你能找到OPOP的条件吗？已知点C是AOB平分线上一点，点P，P分别在OA，OB上，如果要得到OPOP，需要添加下列条件中的某一个即可请写出所有可能的条件的序号_OCPOCP；OPCOPC；PCPC；PPOC；CPOA且CPOB.解析 这是一道角平分线的性质与三角形全等知识的综合题，可通过是否具备全等，是否具备角平分线性质中的条件来加以判断如果OCPOCP，又因为POCPOC，OCOC，可证POCPOC(ASA)，得到OPOP；如果OPCOPC，因为POCPOC，OCOC，可证POCPOC(AAS)，得到OPOP；如果PPOC，设PP交OC于D，因为ODPODP，POCPOC，ODOD，可证PODPOD(ASA)，得到OPOP；如果CPOA且CPOB，因为POCPOC，所以CPCP.又因为OCOC，可证POCPOC(HL)，得到OPOP；如果PCPC，因为POCPOC，OCOC，这样三个条件不能证明三角形全等，当CP不垂直于OA时，以C为圆心，CP为半径画弧与OP有两个交点，其中的一个交点使OPCOPC不成立所以正确答案为.【设计意图】1.巩固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力2培养学生的归纳概括能力及分析问题、思考问题的探究能力.问题5：课堂小结：(1)学生自行小结角平分线性质及其判定定理和它们的区别(2)说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，说明这一点是三角形的内切圆的圆心(为以后学习设伏)布置作业：布置作业：课本P51中的习题12.3.【设计意图】课堂小结，发展潜能；布置作业，专题突破.问题6 知识网络：【设计意图】框架图式总结，更容易形成知识网络.教学反思：1.本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的不足之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步地加强巩固和训练2.教师教学中注意：学生对定理的图形语言认识不足角平分线上的点到角两边的距离是指这个点到角两边的垂线段的长度，而不是过此点与角平分线垂直(或仅仅相交)的直线与角两边相交所得的线段的长度学生往往出现如下错误：点P在AOB的平分线上，PDPE.3.通过师生互动得到结论，教学中教师要重视知识的发生发展过程第二课时教材分析: 在学生学习了角平分线性质的基础上，本节课进一步研究角平分线性质定理的逆定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上这是全等三角形知识的运用和延续，是今后学习圆的内心的基础教学目标：【知识与能力目标】探索并证明角平分线性质定理的逆定理.【过程与方法】会用角平分线性质定理的逆定理解决问题【情感态度与价值观】培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验教学重难点：【教学重点】角平分线性质定理的逆定理【教学难点】角平分线的性质的探究.课前准备：多媒体教学过程：问题1：（1）交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上追问你能证明这个结论的正确性吗？证明略练习判断题：（1） 如图，若QM =QN，则OQ 平分AOB；（ ）（2） 如图，若QMOA 于M，QNOB 于N，则OQ是AOB 的平分线；（ ）（3） 已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在AOB 的平分线上（ ）（2） 在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等a.这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？b.若这个广告牌P 离两条公路交叉处500 m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌应建于何处？C.如图，点P是ABC的两条角平分线BM，CN 的交点， 点P 在BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？证明：过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F BM是ABC的角平分线,点P在BM上,PD=PE,同理PE=PFPD=PE=PF即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.【设计意图】通过一步一步深入探究，由易到难理解新知识.问题2 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路和一条铁路的距离都相等这个广告牌P 应建在何处？变式1如图，ABC 的一个外角的平分线BM 与BAC的平分线 AN 相交于点P，求证：点 P 在ABC另一个外角的平分线上变式2如图，P 点是ABC的两个外角平分线 BM，CN 的交点，求证：点 P 在BAC 的平分线上变式3如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P到两条公路和一条铁路的距离相等这个广告牌P 应建在何处？【设计意图】通过实际问题的探究，使所学的知识得到熟练的应用；通过不断深入的变式，使学生掌握知识的核心.问题3：课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）本节课的结论与角平分线的