2013届高考数学空间向量及其应用复习学案

精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创1/142013届高考数学空间向量及其应用复习学案2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第36讲空间向量及其应用一课标要求（1）空间向量及其运算经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二命题走向本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创2/14用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。三要点精讲1空间向量的概念向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2向量运算和运算率精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创3/14加法交换率加法结合率数乘分配率说明引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。3平行向量共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。注意当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。共线向量定理对空间任意两个向量（）、，的充要条件是存在实数使注上述定理包含两个方面性质定理若（0），则有，其中是唯一确定的实数。判断定理若存在唯一实数，使（0），则有（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。对于确定的和，表示空间与平行或共线，长度为|，当0时与同向，当0时与反向的所有向量。若直线L，P为L上任一点，O为空间任一点，下面根精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创4/14据上述定理来推导的表达式。推论如果L为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线L上的充要条件是存在实数T，满足等式其中向量叫做直线L的方向向量。在L上取，则式可化为当时，点P是线段AB的中点，则或叫做空间直线的向量参数表示式，是线段AB的中点公式。注意表示式、既是表示式,的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；推论的用途解决三点共线问题。结合三角形法则记忆方程。4向量与平面平行如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作。注意向量与直线A的联系与区别。共面向量我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对X、Y，使注与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创5/14实数对X、Y，使或对空间任一定点O，有在平面MAB内，点P对应的实数对（X,Y）是唯一的。式叫做平面MAB的向量表示式。又代入，整理得由于对于空间任意一点P，只要满足等式、之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式、，所以等式、都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。5空间向量基本定理如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组X,Y,Z,使说明由上述定理知，如果三个向量、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、生成的，所以我们把，叫做空间的一个基底，都叫做基向量；空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创6/14面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使6数量积（1）夹角已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，则角AOB叫做向量与的夹角，记作说明规定0,因而；如果，则称与互相垂直，记作；在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，图（3）中AOB，图（4）中AOB,从而有（2）向量的模表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。（3）向量的数量积叫做向量、的数量积，记作。即，向量（4）性质与运算率精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创7/14。0四典例解析题型1空间向量的概念及性质例1有以下命题如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（）解析对于“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以错误。正确。点评该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。例2下列命题正确的是（）若与共线，与共线，则与共线；向量共面就是它们所在的直线共面；零向量没有确定的方向；若，则存在唯一的实数使得；精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创8/14解析A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证不为零向量。答案C。点评零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。题型2空间向量的基本运算例3如图在平行六面体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（）解析显然；答案为A。点评类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法考查学生的空间想象能力。例4已知且不共面若,求的值解,且即又不共面,点评空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创9/14题型3空间向量的坐标例5（1）已知两个非零向量（A1，A2，A3），（B1，B2，B3），它们平行的充要条件是（）A|BA1B1A2B2A3B3CA1B1A2B2A3B30D存在非零实数K，使K（2）已知向量（2，4，X），（2，Y，2），若|6，则XY的值是（）A3或1B3或1C3D1（3）下列各组向量共面的是（）A1，2，3，3，0，2，4，2，5B1，0，0，0，1，0，0，0，1C1，1，0，1，0，1，0，1，1D1，1，1，1，1，0，1，0，1解析（1）D；点拨由共线向量定线易知；（2）A点拨由题知或；（3）A点拨由共面向量基本定理可得。点评空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。例6已知空间三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4）。设，（1）求和的夹角；（2）若向量精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创10/14K与K2互相垂直，求K的值思维入门指导本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果解A2，0，2，B（1，1，2），C3，0，4，1，1，0，（1，0，2）1COS，和的夹角为。2KK（1，1，0）（1，0，2）（K1，K，2），K2（K2，K，4），且K（K2），（K1，K，2）（K2，K，4）K1K2K282K2K100。则K或K2。点拨第（2）问在解答时也可以按运算律做。（）K2K22K222K2K100，解得K，或K2。题型4数量积例7设、C是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（）（）|（）（）不与垂直（32）（32）9|24|2中，是真命题的有（）ABCD答案D精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创11/14解析平面向量的数量积不满足结合律故假；由向量的减法运算可知|、|、|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（）（）（）（）0，所以垂直故假；（32）（32）949|24|2成立故真点评本题考查平面向量的数量积及运算律。例8（1）已知向量和的夹角为120，且|2，|5，则（2）_（2）设空间两个不同的单位向量X1，Y1，0，X2，Y2，0与向量1，1，1的夹角都等于。1求X1Y1和X1Y1的值；2求，的大小其中0，。解析（1）答案13；解析（2）222|2|COS1202425（）13。（2）解1|1，XY1，XY1又与的夹角为，|COS又X1Y1，X1Y1。另外XYX1Y122X1Y11，2X1Y121X1Y1。精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创12/142COS，X1X2Y1Y2，由1知，X1Y1，X1Y1X1，Y1是方程X2X0的解或同理可得或，或COS，0，。评述本题考查向量数量积的运算法则。题型5空间向量的应用例9（1）已知A、B、C为正数，且ABC1，求证4。（2）已知F1I2J3K，F22I3JK，F33I4J5K，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，2，1）移到点M23，1，2，求物体合力做的功。解析（1）设，1，1，1，则|4，|，|4当时，即ABC时，取“”号。（2）解WFSF1F2F314。点评若X，Y，Z，A，B，C，则由|，得AXBYCZ2A2B2C2X2Y2Z2此式又称为柯西不等式N3。本题考查精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创13/14|的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。例10如图,直三棱柱中,求证证明同理又设为中点,则又点评从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件。五思维总结本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底I，J，K建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创14/14算法则一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积AB|A|B|COSA，B在二维、三维都是这样定义的，不同点