神奇的摩擦角

神奇的摩擦角 浙江省绍兴市第一中学 312000 何海明 1 来自生活的摩擦自锁现象 仔细观察身边的事物 我们会发现摩擦自锁现象无处不在 第一类摩擦自锁现象和摩 擦角有关 如沙场上的沙堆 无论沙量多少 沙堆高低 它们的形状总是呈相似的圆锥形 家具榫头松动了 木匠师傅会在榫头上凿一条缝 然后打入木楔紧固榫头联接 第二类摩 擦自锁现象和摩擦的积累有关 如把二本物理课本的书页交错叠插在一起 然后抓着书脊 试图拉开二本书本 会感到非常困难 更为神奇的是把一根筷子插入装有大米的敞口瓶子 缓缓提筷子 瓶子会被一同提起 而米粒并不散落出来 这个现象出乎了我们的想象 生 活中 人们使用的编织物 纺织品以及缝纫制品都依赖于摩擦自锁现象 他们才不致松散 开来 2 摩擦角与自锁现象 先从斜面情景看摩擦角 如图 1 所示 找一块橡皮 放在矩形文具盒盖上 缓缓抬 起盒子的一端 使得橡皮块刚好匀速下滑 根据平衡条件有 得 cossinmgmg 我们把此时文具盒与水平桌面的夹角 叫做摩擦 tan 角 如果斜面倾角小于摩擦角物体在斜面上静止 物体静止时 那怕再叠加重物还是施加竖直压力 物体仍然静止不会滑动 将斜面沿圆柱体卷绕后就成为螺旋 螺旋千斤顶的工作原理就 是利用了斜面的自锁现象 摩擦角落还有另一种意义 我们都有这样的经验 用拖把擦地板 并不是任何角度施 力都能推动拖把 如果把杆太陡 拖把也会锁定不动 对拖把受斩分析 受重力 推力 支持力和摩擦力的作用 来自地面的支持力和滑动摩擦力的合力也叫约束反力 设约束反 力与竖直方向间的夹角为 当拖把滑动时 滑动摩擦力 得到 Nf FF 结果表明拖把滑动时地面对拖把的约束反力与 N f F F tan 竖直方向间的夹角 是恒定不变的 即为摩擦角 如果推力与竖 直方向夹角小于摩擦角 无论施力多大 拖把都不会移动 处于锁 定状态 从上面二种情景我们得知摩擦角 是指约束反力与约束平面法 线间的夹角 用摩擦因数表示 摩擦角是自锁现象 arctan 的临界条件 3 摩擦积累与自锁现象 筷子提米瓶子依靠大量米粒与筷子间的静摩擦积累 才克服瓶子重力而被提起 神奇 的 四两抵千斤 也与摩擦积累有关 图 1 图 2 图 3 为防止牲口走失 聪明的主人拴牲口时只需把牵绳在桩上缠绕数圈即可 就不必担心 牲口走失了 船舶泊岸 船只将缆绳往岸上的定船柱上绕上数圈 船也不会漂走了 见图 3 这便是所谓的 四两抵千斤 那么 四两是如何抵得千斤的 将缆绳往船柱上绕上数圈 船就不会漂移了 如图 4 所示 取绕在圆柱上绳子的微元 微元长为 对应圆心角 微元2 s 2 二端张力分别为 F 和 F 对这一小段绳子进行受力分析并列出平衡方程F 径向平衡条件 1 N FFsinFF sin 切向平衡条件 2 cosFFf 在临界滑动条件下有 3 Nf FF 当足够小时 略去二阶小量 从 1 2 3 得到 4 2FF 把 4 改为微分式 5 2dFFd 分离变量积分得 6 2 0 FF e 计算结果表明 绳上的张力和绳子盘绕角度呈指数规律递减 这就是 四两抵千斤 的原理 找一把琴 观察弦线的锁定装置 可以加深对结果 6 式的理解 4 巧用摩擦角解题 例 1 放在水平地面上的木箱 与地面的摩擦因素为 问要移 动木箱怎样施力最省力 分析与解 箱子移动时 箱子受到重力 外加主动力 支持力 滑动摩擦力四个力的作用 地面对箱子的支持力和滑动摩擦力合力方 向是不变的 用约束反力代替地面对箱子的支持力和摩擦力 移动箱 子可以简化为三力平衡问题 只要箱子的重力 地面的约束反力 作 用在箱子上的主动力 三个力矢量构成一个封闭三角形即可 由矢量 图 5 可以看出 外力施力方向和约束反力垂直斜向上时 移动箱 子最省力 如果箱子重量为 G 容易求出最小拉力为 7 2 1 sin G GF 例 2 如图所示 斜面体 A 静止在粗糙的水平地面上 物体 B 恰能在斜面上匀速下滑 此时地面对斜面的摩擦力为零 若在 B 下滑的过程中对 B 施加一个 任意方向的力 地面对斜面的摩擦力为 A 如果 B 加速下滑 地面对斜面摩擦力方向水平向左 B 如果 B 减速下滑 地面对斜面摩擦力方向水平向右 C 只要 B 在斜面上滑动 地面对 A 的摩擦力为零 与施力方式无关 D 因为施力方向未知 所以摩擦力的方向也不确定 F F F 2 FN R 图 4 F FN Ff G 图 5 图 6 A B 分析与解 因为 B 在斜面上匀速滑下 斜面对 B 的约束反力竖直向上 恰好与重力平 衡 约束反力的方向由摩擦角决定 与运动状态无关 所以 B 对 A 的反作用方向也始终 竖直向下 斜面 A 无滑动趋势 地面对斜面的摩擦力为零 故选项 C 正确 例 3 破冰船一方面要把海洋上的冰层压碎 同时又要把碎冰块推到水下去 开出航 道 所以破冰船沿龙骨方向的纵向横截面做成上大下小的倒梯形状 梯形的倾角多大才符 合排开碎冰的要求 分析与解 如图 7 所示 设船体侧面钢板与竖直方向夹 角为 冰块受钢板侧向挤压力 FN 冰块沿钢板下滑 摩擦力 Ff 沿钢板向上 临界情况时 船侧钢板对冰块的约束反力恰好沿水 平方向 角恰好等于摩擦角 即 要把碎冰压入水中 tan 船体侧面倾角满足 即可 arctan 例 4 图 8 所示的轧钢机的轧辊转动时 不需外力的帮助 即能将轧件带入轧辊之间 若轧辊直径 d 加工后板材厚度 a 轧辊与被扎材料间的摩擦因数 0 3 求 被扎工件的最大厚度 h 应满足怎样的条件 忽略轧件自重 分析与解 考察轧辊与钢板的咬合点 Q 轧辊对钢板的约束力方向与法向弹力夹 角等于摩擦角 8 tan 又由轧辊与工件的几何关系得到 9 222 222 2 tan 2 2 ahd ahdd 在临界条件下 要使轧辊带动工件 必须满足 10 tantan tantan 根据 8 9 10 可得到加工工件厚度 h 应满足条件 hda 1 1 1 2 例 5 图 10 所示 滑雪运动员准备沿山坡自由滑下 发现预设滑行路径的正前远方 恰好有一棵树 运动员根据与雪地的摩擦角在出发点做了简单的目测 知道不会碰到大树 问运动员是如何测知的 分析与解 设运动员所用的雪撬与雪 的摩擦因数为 斜坡长 s1 运动员在 水平地面上滑行的距离为 s2 运动员在山 坡起始位置高度为 h 因为运动员在山坡 上加速的末速度等于平地上减速的初速度 根据公式 有 2 2vas 11 21 2 cossin 2gssgg 图 7 F Ff FN Q ha d 图 8 图 9 FN Ff F Q 图 10 简化 11 式得 12 2 ss 1 h cos 令 s 为运动员位移的水平投影 12 式变为 引入摩擦角 2 sss 1cos