（新课程）高中数学《2.3.1 双曲线及其标准方程》课件 新人教A版选修2-1

了解双曲线的定义 几何图形和标准方程的推导过程 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题 2 3 1双曲线及其标准方程 2 3双曲线 课标要求 核心扫描 用定义法 待定系数法求双曲线的标准方程 重点 与双曲线定义有关的应用问题 难点 1 2 1 2 双曲线的定义把平面内与两个定点F1 F2的距离的 等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 这 叫做双曲线的焦点 叫做双曲线的焦距 试一试 在双曲线的定义中 必须要求 常数小于 F1F2 那么 常数等于 F1F2 常数大于 F1F2 或 常数为0 时 动点的轨迹是什么 自学导引 1 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离 提示 1 若 常数等于 F1F2 时 此时动点的轨迹是以F1 F2为端点的两条射线F1A F2B 包括端点 如图所示 2 若 常数大于 F1F2 此时动点轨迹不存在 3 若 常数为0 此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线 双曲线的标准方程 2 a2 b2 提示如果x2项的系数是正的 那么焦点在x轴上 如果y2项的系数是正的 那么焦点在y轴上 对于双曲线 a不一定大于b 因此 不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上 对双曲线定义的理解 1 把定常数记为2a 当2a F1F2 时 其轨迹不存在 2 距离的差要加绝对值 否则只为双曲线的一支 若F1 F2表示双曲线的左 右焦点 且点P满足 PF1 PF2 2a 则点P在右支上 若点P满足 PF2 PF1 2a 则点P在左支上 名师点睛 1 4 理解双曲线的定义要紧扣 到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离 双曲线的标准方程 1 只有当双曲线的两焦点F1 F2在坐标轴上 并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程 2 标准方程中的两个参数a和b 确定了双曲线的形状和大小 是双曲线的定形条件 这里b2 c2 a2 与椭圆中b2 a2 c2相区别 且椭圆中a b 0 而双曲线中a b大小则不确定 2 3 焦点F1 F2的位置 是双曲线定位的条件 它决定了双曲线标准方程的类型 焦点跟着正项走 若x2项的系数为正 则焦点在x轴上 若y2项的系数为正 那么焦点在y轴上 4 用待定系数法求双曲线的标准方程时 如不能确定焦点的位置 可设双曲线的标准方程为Ax2 By2 1 AB 0 或进行分类讨论 题型一求双曲线的标准方程 例1 规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似 可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式 然后用待定系数法求出a b的值 若焦点位置不确定 可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解 此方法思路清晰 但过程复杂 注意到双曲线过两定点 可设其方程为mx2 ny2 1 mn 0 通过解方程组即可确定m n 避免了讨论 实为一种好方法 求适合下列条件的双曲线的标准方程 1 a 3 c 4 焦点在x轴上 2 焦点为 0 6 0 6 经过点A 5 6 解 1 由题设知 a 3 c 4 由c2 a2 b2得 b2 c2 a2 42 32 7 变式1 1 若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16 求点M到另一个焦点的距离 2 若P是双曲线左支上的点 且 PF1 PF2 32 试求 F1PF2的面积 题型二双曲线定义的应用 例2 思路探索 1 由双曲线的定义得 MF1 MF2 2a 则点M到另一焦点的距离易得 2 结合已知条件及余弦定理即可求得面积 1 由双曲线的定义得 MF1 MF2 2a 6 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16 假设点M到另一个焦点的距离等于x 则 16 x 6 解得x 10或x 22 故点M到另一个焦点的距离为6或22 2 将 PF2 PF1 2a 6 两边平方得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 36 PF1 2 PF2 2 36 2 PF1 PF2 36 2 32 100 在 F1PF2中 由余弦定理得 规律方法 1 求双曲线上一点到某一焦点的距离时 若已知该点的横 纵坐标 则根据两点间距离公式可求结果 若已知该点到另一焦点的距离 则根据 PF1 PF2 2a求解 注意对所求结果进行必要的验证 负数应该舍去 且所求距离应该不小于c a 2 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时 首先要注意定义中的条件 PF1 PF2 2a的应用 其次是要利用余弦定理 勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算 在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用 由定义和余弦定理得 PF1 PF2 6 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos60 所以102 PF1 PF2 2 PF1 PF2 所以 PF1 PF2 64 变式2 题型三与双曲线有关的轨迹问题 例3 题后反思 求解与双曲线有关的点的轨迹问题 常见的方法有两种 1 列出等量关系 化简得到方程 2 寻找几何关系 得到双曲线的定义 从而得出对应的方程 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意 1 双曲线的焦点所在的坐标轴 2 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支 如图所示 已知定圆F1 x 5 2 y2 1 定圆F2 x 5 2 y2 42 动圆M与定圆F1 F2都外切 求动圆圆心M的轨迹方程 解圆F1 x 5 2 y2 1 圆心F1 5 0 半径r1 1 变式3 圆F2 x 5 2 y2