（试题 试卷 真题）勾股定理（提高）知识讲解

勾股定理（提高）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题【要点梳理】【高清课堂 勾股定理 知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：， .要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以.要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3. 利用勾股定理，作出长为的线段.【典型例题】类型一、勾股定理的应用1、如图所示，在多边形ABCD中，AB2，CD1，A45，BD90，求多边形ABCD的面积【答案与解析】解：延长AD、BC相交于点E B90，A45 E45， ABBE2 ADC90， DCE45， CDDE1 ， 【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题举一反三：【变式】如图所示，在ABC中，A45，求BC的长【答案】解：过点C作CDAB于D，则ACD和BCD均为直角三角形在RtACD中，A45， ACD为等腰直角三角形， ADCD，由勾股定理，得又 ， ADCD1 BDABAD在RtBCD中，由勾股定理，得，即， BC22、已知直角三角形斜边长为2，周长为，求此三角形的面积【思路点拨】欲求Rt的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为，结合勾股定理又得其平方和为4，于是可转化为用方程求解【答案与解析】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为，则 即将两边平方，得 ，得，所以因此这个直角三角形的面积为【总结升华】此题通过设间接未知数，通过变形直接得出的值，而不需要分别求出 的值本题运用了方程思想解决问题【高清课堂 勾股定理 例3】3、如图，矩形纸片ABCD中，已知AD8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF3，则AB的长为（ ）A3 B4 C5 D6【答案】D；【解析】解：设AB，则AF， ABE折叠后的图形为AFE， ABEAFEBEEF，ECBCBE835，在RtEFC中，由勾股定理解得FC4，在RtABC中，解得.【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解类型二、利用勾股定理解决实际问题4、如图所示，在一棵树的10高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【思路点拨】其中一只猴子从BCA共走了(10+20)=30，另一只猴子从BDA也共走了30，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决【答案与解析】解：设树高CD为，则BD10，AD30(10)40，在RtACD中，解得：15答：这棵树高15【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC和DA，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解举一反三：【变式】如图，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(取3)【答案】解：如图所示，由题意可得： ， 在RtAAB中，根据勾股定理得： 则AB15 所以需要爬行的最短路程是15【巩固练习】一.选择题1如图，数轴上点A所表示的数为，则的值是（ ） A B C D2若直角三角形的三边长分别为3，4，则的值为( )A.5B. C.5或D.73. 如图所示，折叠矩形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB8，BC10，EC的长为（ ）A3 B4 C5 D64如图，矩形AOBC中，点A的坐标为（0，8)，点D的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落在边OB上E处，那么图中阴影部分的面积为（ ）A. 30 B32 C34 D16 5如图，已知ABC中，ABC90,ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，上，且，之间的距离为2 , ，之间的距离为3 ,则AC的长是（ ）A B C D76.在ABC中，AB15，AC13，高AD12则, ABC的周长为（ ）A.42 B.32 C.42或32 D.37或33二.填空题7若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为_8. 如图，将长8，宽4的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_.9如图，在的正方形网格中，以AB为边画直角ABC，使点C在格点上，这样的点C共 个10.如图，每个小正方形的边长为1，在ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为_.11. 已知长方形ABCD，AB3，AD4，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_.12在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是则_ 三.解答题13. 如图，RtABC中，C90，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，AD2，BE5，求AB的长14. 现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求： 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.15. 将一副三角尺如图拼接：含30角的三角尺（ABC）的长直角边与含45角的三角尺（ACD）的斜边恰好重合已知AB2，P是AC上的一个动点 （1）当点P在ABC的平分线上时，求DP的长； （2）当点PDBC时，求此时PDA的度数. 【答案与解析】一.选择题1.【答案】A； 【解析】1所表示的点到点A的距离为，OA的距离为.2.【答案】C；【解析】可能是直角边，也可能是斜边.3.【答案】A； 【解析】设CE，则DE(8)在RtABF中，由勾股定理，得BF6 FC1064()在RtEFC中，由勾股定理，得，即解得即EC的长为34.【答案】A；【解析】由题意CDDE5，BE4，设OE，AEAC，所以，阴影部分面积为.5.【答案】A；【解析】如图，分别作CD交于点E，作AF，则可证AFBBDC，则AF3BD,BFCD235，DF538AE，在直角AEC中，勾股定理得AC.6. 【答案】C； 【解析】高在ABC内部，第三边长为14；高在ABC外部，第三边长为4，故选C.二.填空题7. 【答案】13或；【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边.8. 【答案】；【解析】设AEEC，EB，则，解得，过E点作EHDC于H，EH4，FH532，EF.9. 【答案】8；【解析】如图所示：有8个点满足要求.10.【答案】；【解析】由勾股定理解得AC，BC，.11.【答案】；【解析】连接BE，设AE，BEDE，则，.12【答案】4； 【解析】，故.三.解答题13.【解析】解：设AECE，CDBD，利用RtACD和RtBCE列方程： 解得，A