创新学分实验4_离散非周期信号频谱分析的MATLAB算法实现.doc

离散非周期信号频谱分析的MATLAB算法实现1 引言在上一章中介绍了四种不同类型信号的频谱变化规律，在这一章将具体研究其中的一种，即离散非周期信号。在从理论上掌握其频谱变化规律的基础上，着重讨论如何应用离散傅里叶变换DFT对其频谱进行分析，针对具体实例，通过MATLAB编程采用FFT算法实现对其频谱的计算，并和理论值比较，作了相应的误差分析。2 频域采样定理如前所述，依据以下关系式所构成的一对离散时间傅里叶变换DTFT，即 可知离散非周期信号的频谱是周期连续的频谱。由于频谱是连续的，尚须对其作离散化处理（即采样）后才能利用DFT进行分析。对采样过程而言，如果不能恰当地确定采样间隔或采样点数，势必产生混叠误差。例如，在频域欠取样情况下，由于出现时域信号波形混叠，也就无法恢复原信号，因而无法从频域样点重建原离散频谱，以至在严重情况下会得到错误的计算结果。采样定理为采样后能否恢复原信号提供了理论依据。对于离散非周期信号的频谱分析，我们需要用到频域采样定理，即：如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数NM时，才可以由频域采样X（k）恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。3 实现方法与求解步骤利用FFT和IFFT分析离散非周期信号（序列）的频谱，要视序列的长度选择适当的方法：（1）当序列长度有限时，在正确选取M、N的条件下（即使得NM）可以求得准确的频谱样值。（2）若序列很长或无限长，必须先根据能量分布在满足实际工程计算允许的范围内进行截断处理，从而选取适当的M、N以求解频谱样值。由于截断必然产生泄露误差以及混叠误差，所以使得计算的结果只能是频谱样值的近似值。已知N点有限序列x(n)的频谱为： 若序列很长，需要把它截断为M点，则其近似频谱为： 为了实现计算机数字分析，在数字域将数字频率进行离散化，求得其近似的频谱样值为： 综上，总结对离散非周期信号（序列）频谱分析的一般求解步骤为：（1） 确定原序列x（n）的长度M。根据能量分布，序列为无限长时需要进行截断。（2） 确定作FFT的点数N。根据频域取样定理，为使时域波形不产生混叠，必须取NM。（3） 使用fft命令作N点FFT计算X（k）。频率分辨率。（4） 绘制频谱图，使运算结果可视化。4 实例分析及MATLAB编程例 已知无限长序列x（n）=。（1） 截取序列长度M=10点，用FFT计算其频谱，并与理论计算的结果进行比较，观察功率泄漏现象。（2） 截取序列长度M=20点，用FFT计算其频谱，观测功率泄漏情况并与（1）进行比较。解 该序列总能量 相关MATLAB运算指令：E=1/(1-0.64) E = 2.7778 （1）M=10点截断的信号的能量占总能量的比例通过以下MATALB指令计算：p10=(1-(0.64).10)/(1-0.64)/E p10 = 0.9885 即10点截断的信号能量占原始信号总能量的98.85%，占了大部分，有少部分泄漏。编写以下MATLAB程序观察N=M=10点时的功率泄漏现象： N=10; n=0:N-1; x=(0.8).n; X=fft(x,N); subplot(2,1,1);stem(n,x);ylabel(xn);xlabel(Time n); omega=2*pi/N*n; X0=1./(1-0.8*exp(-j*omega); subplot(2,1,2);plot(omega,abs(X),omega,abs(X0),-);ylabel(X(omega); xlabel(Frequency(rad); 运行程序，结果显示如图4.1。 图4.1 M=10点时的时域信号和DFT计算出的频谱(2) M=20点截断的信号的能量占总能量的比例由以下MATLAB指令计算：p20=(1-(0.64).20)/(1-0.64)/E p20 = 0.9999即20点截断的信号能量占原始信号总能量的99.99%，只有0.01%的泄漏。编写以下MATLAB程序观察N=M=20点时的功率泄漏现象：N=20; n=0:N-1; x=(0.8).n; X=fft(x,N); subplot(2,1,1);stem(n,x);ylabel(xn);xlabel(Time n); omega=2*pi/N*n; X0=1./(1-0.8*exp(-j*omega); subplot(2,1,2);plot(omega,abs(X),omega,abs(X0),-);ylabel(X(omega); xlabel(Frequency(rad);运行程序，结果显示如图4.2。4.2 M=20点时的时域信号和DFT计算出的频谱其中，上图为截短后的时间序列，下图中实线为截短的时间序列的幅频特性，虚线为原序列的幅频特性。可见，增大M的取值后，再用FFT计算其频谱，泄露就会明显的减少，得到的谱也近似其真实谱。5 误差分析DFT解决了用计算机对离散非周期信号进行分析的问题，但由于对频域是连续函数的信号需要离散化，对长度或频谱很宽或无限长的信号需要做截断处理，因此如果不能恰当地确定取样间隔T，势必产生混叠误差。如果截断和选取的长度N不合适，则会造成频谱扩散，使能量和功率产生泄露，产生泄漏误差。截断长度越短，泄漏误差也越大。为此，如何通过正确的确定T与N来减少这两种误差，实现高效计算有着极其重要的实际意义。刚才我们从图4.1和图4.2中已经看出，时域截断对应FFT计算的频谱幅度应小与真实幅度谱，同时由于矩形窗函数对x（n）突然截断，使FFT计算的谱向高频处扩展产生了功率泄露。为了减少能量扩散，增大M的取值后，再用FFT计算其频谱，泄露就会明显的减少，得到的谱也近似其真实谱。6 实验心得完成本次实验后，我