教案《最小二乘法》.doc

陕西省西安中学附属远程教育学校8最小二乘法一、教学分析最小二乘法的思想是使的和达到最小。对于最小二乘法本身，任何一组数据，不论它们之间是否存在线性相关关系，都可以用最小二乘法估计出一个线性方程来。所以，通过散点图判断两个变量是否存在线性相关系就显得很重要。二、教学建议关于最小二乘法不要求学生掌握推导过程，但要理解其思想。三、教学目标1、知识与技能了解最小法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。2、过程与方法经历用不同的估算方法来描述两个变量线性相关的过程，体会研究两个变量间依赖关系的一般方法。3、情感态度价值观通过利用散点图直观认识变量间的相关关系，培养学生用普遍联系的观点思考和解决生活中的数学现象，进一步培养学生的创新意识与创新能力。四、教学重点、难点教学重点：利用最小二乘法求线性回归方程。教学难点: 线性回归方程的推导。（一）课题引入在上一节的讨论我们知道，人的身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一条直线，也就说，它们之间是线性相关的。这种线性关系可以用多种方法来刻画，那么用什么样的线性关系刻画会更好呢？一个好的线性关系要保证这条直线与所有点都接近。（二）探求新知假设一条直线的方程为：，任意给定一个样本点：，即有一个估计值与之对应，那么估计值与真实值之间存在误差，为了避免误差相互抵消，可以考虑用来刻画彼此之间的“误差”。如果有n个样本点，其坐标分别为，则所有误差的和越小，对应的直线方程就越理想。使得上式达到最小值的直线就是所要求的直线，我们把这种方法称为最小二乘法。记：，则 =，所以当时，上式取得最小值。将这个关系式代入上式，整理成关于未知数b的一元二次多项式的形式：所以当时，点与直线最接近。这样得到的方程称为线性回归方程，称为线性回归方程的系数。（三）知识应用例1、在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表所示：气温（x）/261813104-1杯数202434385064（1）试用最小二乘法求出线性回归方程。（2）如果某天气温是-5，请预测大约能卖出热茶多少杯。 解：（1）从散点图可以看出，两个变量是线性相关的。可求得，进而求得，。于是，线性回归方程为。（2）由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方程知，当某天的气温是-5时，卖出热茶的倍数估计为。例2、下面是两个变量的一组数据：x12345678y1491625364964（1）请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程；（2）观察散点图，你发现线性回归方程能否反映两变量之间的相关关系吗？解：线性回归方程为。但是，从表中数据很容易看出：，此时，最小二乘法得到的线性回归方程已经失去了意义。所以，利用最小二乘法进行估计时，要先作出数据的散点图，如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律性进行拟合。如果散点图呈现出线性关系，我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合。（四）课堂练习1、设，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ）A回归直线是经过散点图上最多点的直线B若回归方程为，则当时，一定等于6C当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同D直线过点解析：根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断。选D2、（2011年广东卷）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：时间12345命中率0405060604小李这5天的平均投篮命中率为_;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为_。0.5，0.533、课本57页 练习（1）线性回归方程为；（2）线性回归方程为；（3）从以上两个方程可以看出，女生的线性回归方程的斜率要比男生的大，这说明从总体上看，相对于身高而言，女生的右手一拃长比男生的要长。从另一个角度开看，对于男生而言，女生的身高总体偏矮，相同年龄的人右手一拃长应当大致差不多，所以相对于身高而言，女生的右手一拃长比男生的要长。（五）课堂小结最小二乘法：如果有n个样本点，其坐标分别为，可以用下面的表达式来刻画这些样本点与直线之间的接近程度：，使得上式达到最小值的直线就是所要求的直线，我们把这种方法称为最小二乘法。线性回归方程：如果，则可求得，这样得到的方程称为线性回归方程，称为线性回归方程的系数。（六）分层作