导数及其应用

导数及其应用 考点 1 平均变化率 1 函数 y f x 在区间 1 1 x 内的平均变化率为 x 1 2 求函数 y 2x 5 在区间 2 2 x 上的平均变化率 并计算当 x 时 平均变化率的值 2 2 1 考点 2 割线的斜率 1 过曲线 y f x x 上两点 P 1 1 和 Q 1 x 1 y 作曲线的割线 求出当 x 0 1 时割线的斜率 3 2 已知函数 f x 2x 4 的图象上一点 1 2 及邻近一点 1 x 2 y 则等于 2 x y 考点 3 瞬时速度 1 质点按规律 s t at 1 做直线运动 位移单位 m 时间单位 S 若质点在 t 2s 时的瞬时速度为 8 2 求常数 a 的值 s m 考点 4 求函数 f x 在点 x 处的导数 0 1 求函数 y 在 x 2 处的导数 2 已知 f x 求 2 4 x 2 x x f 2 f 考点 5 导数定义的活用 1 若 2 则 2 设函数 f x 在点 x 处可导 则 0 x f 0 导数的几何意义 1 曲线 y x 2x 4 在点 1 3 处的切线的倾斜角是 3 2 已知曲线 y x 1 求曲线过点 A 1 0 的切线方程 求满足斜率为 的曲线的切线方程 3 1 切线与曲线的交点问题 1 已知曲线 C y 3x 2x 9x 4 432 1 求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程 2 第 1 小题中切线与曲线 C 是否还有其他交点 2 已知曲线 C y x 3 1 求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程 2 第 1 题中切线与曲线 C 是否其他的公共点 切线与三角形面积 1 曲线 y x 在点 a a a 0 处的切线与轴 直线所围城的三角形面积为 则 a 33 6 1 2 求曲线 y x 在点 3 27 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 3 切线与其他知识的综合应用 过点 P 1 2 且与曲线 y 3x 4x 2 在点 M 1 1 处的切线平行的直线方程是 2 导数公式的应用 y x y y y sin x y x 12 4 1 x 53 x 2 10 y y y y 2 1 x 3 x x x2 x x 32 求函数的切线问题 求下列函数在给定点处的切线方程 1 y f x 在点 A 1 1 处的切线方程 2 y f x 在点 A 2 处的切线方程x 3 1 x8 1 3 y f x sinx 在点 A 处的切线方程 4 y f x e在点 A 0 1 处的切线方程 4 2 2 x 5 y f x x 在点 A 1 0 处的切线方程 求导公式的综合应用 曲线 y 和 y x在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是 x 1 2 已知直线 y kx 是 y x 的切线 则 k 的值为 求导公式的创新应用 若对于任意 x 有 4x f 1 1 则此函数 x f 3 利用四则运算求导 y x 3x 5x 6 y x tanx y x 1 x 2 x 3 y 42 1 1 x x 设函数 f x ax 3x 2 若 4 则 a 的值等于 32 1 f 复杂函数求导问题 y y 1 y cos sin cos y log ax a 为常数2 x 2 1 x x 1 2 x 2 x 2 x 2 3 综合应用 曲线 y x 2x 4 在点 1 3 处的切线的倾斜角为 3 复合函数的概念 若 f x g x 1 sin2x 则 f g x g f x x 复合函数求导基本应用 求下列函数的导数 y sin x sinx y sin5x cos5x y x y 33 5 2 xx 76 43 x x 3 y y y sin 2x y x xx 1 2 34 2 21 1 x 2 3 1 1 x x 抽象复合函数求导 若函数 f x 是可导函数 求函数 y f 的导数 x 1 函数单调区间的求法 f x 3x 2 x f x x e f x x 22x x 1 利用可导函数单调性证明不等式 设函数 f x x aln 1 x 且 0 有两个不同实根 x x 2 x f 12 x 12 x 1 求 a 的取值范围 并讨论 f x 的单调性 2 证明 f x 2 4 2ln21 可导函数的单调性在综合问题中的应用 设函数 f x x ax 9x 1 a 0 若曲线 y f x 的斜率最小的切线与直线 12x y 6 平行 求 32 1 a 的值 2 函数 f x 的单调区间 利用倒数求函数的极值 求函数 y x 5 的极值 32 x 利用极值求参数值 已知 f x ax bx c 在 x 1 处有极值 且极大值为 4 极小值为 0 试确定 a b c 的值 53 函数极值的综合应用 已知函数 f x x 3ax 3bx c 在 x 2 处有极值 且其图象在 x 1 处的切线与直线 6x 2y 5 0 平行 32 求函数的单调递减区间 求函数的极大值与极小值的差 利用导数求最值 f x x 3x 6x 2 x 1 1 f x x 6 8 f x 32 2 100 x 0 x 1 a 0 b 0 x a 2 x b 1 2 不等式恒成立问题 已知 f x xlnx g x x ax x 2 32 1 求函数的单调区间 2 若对任意 x 0 2f x x 2 恒成立 求实数 a 的取值范围 g 最大值问题 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为 3 元 并且每件产品需向总公司交 a 元 3a 的 5 管理费 预计当每件产品的售价为 x 元 9x11 时 一年的销售量为 12 x 万件 求分公司一年 2 的利润 L 万元 与每件产品的售价 s 元 的函数关系式 当每件产品的售价为多少元时 分公司一件的 利润 L 最大 并求出 L 的最大值 Q a 利用定积分的定义求由直线 x 1 x 2 和 y 0 及曲线 y x 围成的图形的面积 3 用定积分的几何意义求 1 2 3 1 0 23 dxx 2 3 2 sin xdxdxx 12 3 1 定积分定义的活用 将和式表示为定积分 lim n 2 1 2 1 1 1 nnn 利用微积分基本定理求定积分 2 1 2 12 dxxxdxxx 0 cos sindx x xx 1 2 1 2 dxex x cos 0 几类特殊被积函数求定积分问题 1 若 f x 求 2 0 0 1cos 2 xx xx dxxf 1 0 dxx 2 0 2sin1 被积函数为抽象函数的定积分 若在上连续且为偶函数 试证 2dxxf a a a dxxf 0 已知 f x ax bx c 且 f 1 2 0 4 求 a b c 的值 2 0 f 1 1 dxxf 1 求直线 y 2x 3 与抛物线 y x所围成的图形的面积 2 2 在曲线上某一点 A 处作一切线 使之与曲线以及 X 轴所围成的图形面积为 求 12 1 1 切点 A 的坐标 2 过切点 A 的切线方程 3 已知曲线 C y x与 C y x 2 求与 C C均相切的直线 L 的方程 1 2 2 2