2009-2010学年线代B期末试卷答案.docx

同济大学课程考核试卷（A卷）20092010学年第一学期 课名：线性代数B 考试考查：考试一、填空题（每空3分，共24分）1、 设、均为3维列向量，已知矩阵 ,，且，那么 -12 .解：由矩阵之间的关系，我们可以得到，对等式两边取行列式，有。所以得到2、 设分块矩阵, 均为方阵，则下列命题中正确的个数为 4 .(A).若均可逆, 则也可逆.(B).若均为对称阵, 则也为对称阵. (C).若均为正交阵, 则也为正交阵.(D).若均可对角化, 则也可对角化. 解：A. 若均可逆，说明的行列式都不为0，则我们可以根据拉普拉斯定理求出的行列式为，所以可知的行列式也不为0，即可逆.B若均为对称阵，则有，对矩阵取转置，根据对角阵性质有,所以也是对称阵。C若均为正交阵, 则有，固。所以也为正交阵.D若均可对角化,则有,则，令，则原式可看成固以上4个全对（考试里出现全对的情况还是第一次见）3、 设，则的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0 .解：直接利用代数余子式性质，求4、 设向量组(I):可由向量组(II):线性表示，则 D 成立.(注：此题单选)(A)当时，向量组（II）必线性相关(B)当时，向量组（II）必线性相关(C)当时，向量组（I）必线性相关(D)当时，向量组（I）必线性相关解：直接分析，举反例，A反例， ；B反例，；C反例，；D.正确，这个很显然。可以用反证法说明5、 已知方阵满足, 则 .解：因为，所以化简后有6、 当矩阵满足下面条件中的 ABC 时,推理“若， 则”可成立.（注：此题可多选）(A).可逆 (B).为列满秩（即的秩等于的列数）(C).的列向量组线性无关 (D). 解：把各个选项代入分析，假设，A. 可逆，则为满秩，由，所以，所以.B. 为列满秩，同理，方法和A的相同C列向量线性无关等价于为列满秩D无法确定的秩，固D错7、 设矩阵分别为3维线性空间中的线性变换在某两组基下的矩阵，已知为的特征值，的所有对角元的和为， 则矩阵的全部特征值为 1,-2,6 .解：的所有对角元的和为，即B的迹为5. 矩阵分别为3维线性空间中的线性变换在某两组基下的矩阵，由线性空间中经两组基的变换得到的矩阵一定相似（最后一章的内容，老师上课讲过）可知，两个矩阵所对应的特征值一定相同，在根据迹的值等于特征值之和，可知，所以的全部特征值为1，-2，6.8、 设是所有元素均为1的阶方阵()，则的互不相同的特征值的个数为 2 .解：，所以后，把每一行第二个以后（包括第二个）的元素全部加到第一个上，然后根据行列式的性质提出第一列上的因子，最后对第二行至第n行做减去第一行的处理，得到三角行列式，对角元素相乘，即可得到特征值的个数，我算出来是2个，一个是n，一个是0。二、（10分）已知矩阵，, . 矩阵，满足,. 求矩阵. 解：最基本的方法，因为，所以,所以解得三、（10分）设线性方程组 ， 问当参数取何值时，(1). 此方程组无解?(2). 此方程组有唯一解?(3). 此方程组有无穷多解?解：系数矩阵是方阵，对其行列式求值，并令其为0,得到,将其带入增广矩阵,化成行最简型可知，当，方程无解，方程无穷解， 有唯一解。(前几套已经把这种题说的很清楚了，固在此不写过程了)四、（10分）设 为4阶方阵，4维列向量，.若都是非齐次方程组的解向量，且满足(1).(6分) 求齐次方程组的一个基础解系.(2).(4分) 求的通解.解：（1）因为，所以的一个基础解系含有2个线性无关的向量.因为都是非齐次方程组的解向量。所以，均是的解，并且他们线性无关所以. 的一个基础解系为（2）根据非其次方程组的通解形式，的通解为，为非其次方程组的一个特解，根据题目给出，所以的通解为其中，k为常数。五、（16分）将二次型 用正交变换化为标准型.解：该对应的矩阵形式为，求出他的特征值分别是1,0,10.当特征值是1时，对应的特征向量为,当特征值为0时，对应的特征向量为,当特征值是10，对应的特征向量是,（因为原矩阵是实对称阵，所以它们必定天然正交的）。单位化，p1=，p2=，p3=,所以正交阵P=（p1，p2，p3）.所以正交变化为x=Py，标准型为六、（14分）设为所有2阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间.定义上的变换如下：对任意，其中，表示的转置矩阵(1). (6分)证明是上的一个线性变换；(2). (8分)求在的基下的矩阵.解：（1）很明显， 非空（这时线性空间的基本条件，对于考试来说的话，一般都很明显的，要是实在无法判断，就直接说很明显（85%以上老师会认为你这样写没错）。因为对于矩阵的加法和数乘构成的线性空间，一定满足线性空间的八条规律（你要是觉得不放心，可以把那8条证明写出来，一般对于基本的代数算法，这八条都成立，但是对于题目里自身定义出的新算法，则需证明这8条，至于是哪8条，自己翻书去。）现在，对任意的，有所以可知是上的一个线性变换；（2）是上的一个线性变换；则它在对应基下的矩阵为。七、(1). (8分)已知向量组线性无关,向量组满足：，分别讨论当和时，向量组是否线性相关？解：因为，所以,因为的行列式不为0，所以可知与有相同的秩，因为前者线性无关，所以可知，后者也线性无关(2). (8分)设为方阵的两个不同的特征值， 为相应于的两个线性无关的特征向量，为相应于的两个线性无关的特征向量，证明向量组线性无