2018-2019学年天津四中高二下学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年天津四中高二下学期期中数学试题一、单选题1计算=ABCD【答案】B【解析】分析：根据复数乘法法则求结果.详解：选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2定积分的值为( )ABCD【答案】C【解析】试题分析：=.故选C.【考点】1.微积分基本定理；2.定积分的计算.3复数等于（ ）ABCD【答案】A【解析】由复数的运算法则：.本题选择A选项. 4设x，y，z，则x，y，z的大小关系是()AxyzBzxyCyzxDxzy【答案】D【解析】先对y,z分子有理化，比较它们的大小，再比较x,z的大小得解.【详解】y，z，0，zy.xz0，xz.xzy.故答案为D【点睛】(1)本题主要考查比较法比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 比差的一般步骤是：作差变形（配方、因式分解、通分等）与零比下结论；比商的一般步骤是：作商变形（配方、因式分解、通分等）与1比下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.5已知，则（ ）A63B64C31D32【答案】A【解析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得的值,进而由二项式系数和求得的值.【详解】根据二项式定理展开式的逆运算可知所以所以则故选:A【点睛】本题考查了二项式定理展开式的逆运用,二项式系数和的应用,属于基础题.6用5种不同的颜色给图中4个区域涂色，如果每个区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色的方法有（ ）种.A120B180C240D72【答案】B【解析】利用乘法原理直接得到答案.【详解】按照1,2,3,4的顺序涂色，共有：.故选：.【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.7定义在R上的函数和，其各自导函数和的图像如图所示，则函数其极值点的情况是（ ）A只有三个极大值点，无极小值点B有两个极大值点，一个极小值点C有一个极大值点，两个极小值点D无极大值点，只有三个极小值点【答案】C【解析】如图所示，三个交点对应的横坐标为，根据图像得到函数的单调区间得到答案.【详解】如图所示：三个交点对应的横坐标为，.当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；故函数有一个极大值点，两个极小值点.故选：.【点睛】本题考查了函数的图像的识别，函数的极值，意在考查学生对于函数知识的综合应用，8某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 （ ）ABC600D【答案】C【解析】将问题分为甲参加乙不参加、甲不参加乙参加、甲乙同时参加三类，分别计算种类数，然后相加，求得所有的发言顺序的种数.【详解】当甲参加乙不参加时，方法数为种.当甲不参加乙参加时，方法数为种.当甲乙同时参加时，先在其余名学生中选人，方法数有种，将选出的两人排好，方法数有种，将甲、乙两人插入个空挡中，方法数有种，故方法数为种.所以总的方法数有种，故选D.【点睛】本小题主要考查排列组合，考查分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，属于中档题.解题的难点在于“甲乙两人至少有一人参加”，也就是要对情况进行分类讨论.在每种情况中，利用分步乘法计数原理计算出方法数，最后利用分类加法计数原理相加，求得总的方法数.二、填空题9是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 .【答案】【解析】试题分析：由复数的运算可知，是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.【考点】复数的运算.10的展开式中x7的系数为_.（用数字作答）【答案】【解析】试题分析：展开式通项为，令，得，所以展开式中的系数为故答案为【考点】二项式定理【名师点睛】求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr）；第二步是根据所求的指数，再求所要求的项有理项是字母指数为整数的项解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解11已知，则_【答案】【解析】试题分析：因为，所以.【考点】1.导数的计算；2.任意角的三角函数.12如图所示，由曲线轴围成的阴影部分的面积是_.【答案】3【解析】先求出ysinx与直线x的交点，然后利用积分的几何意义可得S，结合积分基本定理可求.【详解】由题意可得，ysinx与直线x的交点为由积分的几何意义可得，S3故答案为3【点睛】本题主要考查了积分基本定理及积分的几何意义的简单应用，属于基础题.13圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭圆在点处的切线方程为_.【答案】【解析】类比得到在点处的切线方程为，代入数据计算得到答案.【详解】在点处的切线方程为，类比得到在点处的切线方程为，故椭圆在点处的切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力和计算能力.14已知函数在上有个不同的零点，则实数的取值范围为_;【答案】（-3，1）【解析】取，参数分离，画出图像得到答案.【详解】 画出图像：实数a的取值范围为（-3，1）故答案为（-3，1）【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离画出图像是解题的关键.三、解答题15已知的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为.(1)求的值;(2)求展开式中的常数项.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：展开式的通项为，展开式中第3项与第5项的系数分别为,据题意得求出n=10（2）展开式的通项为，令试题解析：展开式的通项为，展开式中第3项与第5项的系数分别为,据题意得，解得；(2)展开式的通项为，令得，展开式中的常数项为.点睛：对于二项式定理的题型，一定要熟记通项，然后根据题意先求出对应的r，然后再根据题目要求求解相应问题16已知在与时都取得极值（）求的值；（）若，求的单调区间和极值【答案】（），；（）f （x）的递增区间为和（1，），递减区间为当x时，f（x）有极大值f；当x1时，f（x）有极小值f（1）【解析】【详解】（1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若f（x）在与时，都取得极值，则就可得到a，b的值；（2）先由求出函数中的c值，再求导数，令导数大于0，解得x的范围是函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围是函数的减区间，增区间与减区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数大于0，右侧导数小于0时取得极大值，当极值点左侧导数小于0，右侧导数大于0时取得极小值，再把x的值代入原函数求出极大值与极小值试题解析：f（x）3x22axb0由题设知x1，x为f（x）0的解 a1，1 a，b2经检验，这时x1与x都是极值点（2）f（x）x3x22xc，由f（1）12c，得c1 f （x）x3x22x1x1+0-0+递增极大值递减极小值递增 f （x）的递增区间为和（1，），递减区间为当x时，f（x）有极大值f；当x1时，f（x）有极小值f（1）17一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）先计算不含编号为3的卡片的概率，再用得到答案.（2）随机变量X的可能取值为：，计算概率得到分布列.【详解】（1）不含编号为3的卡片的概率，故.（2）随机变量X的可能取值为：.；.分布列为： 【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.18数列满足，.（1）求，.（2）根据（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.【答案】（1），；（2），证明见解析【解析】（1）直接代入计算得到答案.（2）猜测，利用数学归纳法证明得到答案.【详解】（1），则，.（2）猜想.当时，验证成立；假设当时成立，即；当时，故时成立.综上所述：对所有成立.【点睛】本题考查了数列的通项公式，数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的应用能力.19用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成没有重复数字的：（1）三位偶数有多少个？（2）能被3整除的三位数有多少个？（3）可以组成多少个比210大的三位数？【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）考虑个位是时，个位是时，个位是时，三种情况计算得到答案.（2）能被3整除的三位数的数字组成共有：；四种情况，分别计算得到答案.（3）考虑百位是时，百位是时，百位是时，三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）个位是时，有个；个位是时，有个；个位是时，有个.故共有个三位偶数.（2）能被3整除的三位数的数字组成共有：；四种情况.共有：个.（3）当百位是时，共有个；当百位是时，共有个；当百位是时，共有个；故共有个.【点睛】本题考查了排列组合的应用，分类计算是常用的数学方法，需要熟练掌握.20已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（）设函数（为自然对数底数），若在上至少存在一点，使得成立，求实数p的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）当时，函数曲线在点处的切线的斜率为1分从而曲线在点处的切线方程为即（2）3分令，要使在定义域（0，）内是增函只需在（0，+）内恒成立 4分由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为