随机过程习题解答（习题课_2）.doc

中科院研究生院20042005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞随机过程习题解答（二）P228/1。证明：由于，有其中所以证毕。P229/3. 解：（1）因为是一Poission过程，由母函数的定义，有：（2）有上面（1）的结果，可得：（3）当充分小时，由于：因此，当时，有：由（2）的结果，我们有：P229/4. 解：（1）由上面3题的结果（3），我们有：（2）由于是随机过程的母函数，且，将函数关于展开成级数形式，我们可得：由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：P230/8. 解：由特征函数的定义，我们有：令，则有： （*）若的概率分布为：则 （*）将（*）代入（*），我们有：P230/7. 解：先求的特征函数：由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知是复合Poission过程。P231/10. 解：由于因为的母函数为：，由独立性，可知的母函数为：，所以是参数为的泊松过程，即因此我们有：P231/12. 解：（1）由令，有解得（2）由（1）知，服从参数为的泊松分布。P232/15. 解：（1）以表示时刻系统中不正常工作的信道数，则是一马氏过程，其状态空间为：，矩阵为：（2）令：则前进方程为：（3）令：写出福克普朗克方程：即有：做Laplace变换，令：则有：由上解得：其中：因此求即可。（4）P233/16. 解：（1）令表示时刻系统中正在用电的焊工数，则是一马氏过程，其状态空间为：。（2）矩阵为：（3）令：写出福克普朗克方程：（4）画出状态转移率图，可得时的平衡方程：由此可得：即有：由此可以求得：由 ，即可确定，最终得到所要的结果。P233/17. 解：（1）由于：可以得到此过程的矩阵：令：写出福克普朗克方程：初始条件：。（2）由数学期望的定义：由此，我们有：即可得到描写的微分方程：（3）解上面的微分方程，我们有：P233/19. 解（1）根据题意得到矩阵为由福克普朗克方程得：（2）而因此左边=右边=左边=右边，证毕。（3）将代入左边。（4）由，有即进而有所以（5）令，由(4)的结论其中对应的系数为所以（6）（7）由(5)的结论，知P236/24解：(1) 根据题意得矩阵由平衡方程，有因此有 ，进而 因为所以，当 时系统平稳。(2)(3) 前次以概率重新排队，第次以概率离开，所以即为所求。(4)26解(1) 设系统状态为不工作机器的数量，则，得矩阵列出平衡方程其中：解得所以(2)P237/28. 解：（1）设泊松分布第个事件发生与第个事件发生的时间间隔的特征函数为：，则有：由于是独立同分布的，根据 以及特征函数的性质可知：因此可知是服从参数为的泊松分布，即：（2）由：可知：附：一阶拟线性（线性）偏微分方程的解法：一阶拟线性方程的一般形式：一阶线性方程的一般形式：称：或：为一阶拟线性方程的特征方程。由此方程确定的曲线为特征曲线。一阶拟线性方程的特征方程的解为积分曲面。有以下定理：定理：若特征曲线上一点位于积分曲面上，则整个位于上。初值问题：给定初始曲线：，为参数。则一阶拟线性方程的初值问题的提法是：求方程的解，使满足。我们有以下定理。定理：设曲线光滑，且，在点处行列式又设在附近光滑，则初始问题：在参数的一邻域内存在唯一解。例：已知初始曲线，求初值问题：解：由于：解常微分方程的初值问