（通用版）2020版高考数学复习专题四数列4.2数列解答题练习文.docx

4.2数列解答题高考命题规律1.高考命题的完全考题,常与解三角形解答题交替在第17题呈现.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命题角度1等差、等比数列的判定与证明1717171719命题角度2等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的应用1717171718命题角度3一般数列的通项公式与前n项和的求解17命题角度1等差、等比数列的判定与证明高考真题体验对方向1.(2019全国19)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.(1)证明由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因为a1+b1=1,所以an+bn是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以an-bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解由(1)知,an+bn=12n-1,an-bn=2n-1.所以an=12(an+bn)+(an-bn)=12n+n-12,bn=12(an+bn)-(an-bn)=12n-n+12.2.(2018全国17)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=ann.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由;(3)求an的通项公式.解(1)由条件可得an+1=2(n+1)nan.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n2n-1.3.(2017全国17)设Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解(1)设an的公比为q.由题设可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23=2-23+(-1)n2n+13=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.典题演练提能刷高分1.(2019黑龙江哈尔滨第三中学高三上学期期中考试)已知数列an中,a1=32且an=12(an-1+n+1)(n2,nN*).(1)求a2,a3,并证明an-n是等比数列;(2)设bn=2nan,求数列bn的前n项和Sn.解(1)由题意,可知:a2=12(a1+2+1)=1232+2+1=94,a3=12(a2+3+1)=1294+3+1=258.当n=1时,a1-1=32-1=12,当n2时,an-n=12(an-1+n+1)-n=12an-1+12n+12-n=12an-1-12n+12=12(an-1-n+1)=12an-1-(n-1).数列an-n是以12为首项,12为公比的等比数列.(2)由(1)可知,an-n=12n,an=n+12n,nN*.bn=2nan=2nn+12n=n2n+2n12n=n2n+1.Sn=b1+b2+b3+bn=(121+1)+(222+1)+(323+1)+(n2n+1),Sn=121+222+323+n2n+n,2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1+2n,由-,可得:-Sn=121+122+123+12n-n2n+1+n-2n=2-2n+11-2-n2n+1-n=(1-n)2n+1-n-2,Sn=(n-1)2n+1+n+2.2.已知数列an的通项公式为an=2n-11.(1)求证:数列an是等差数列;(2)令bn=|an|,求数列bn的前10项和S10.(1)证明an=2n-11,an+1-an=2(n+1)-11-2n+11=2(nN*),数列an为等差数列.(2)解由(1)得bn=an=|2n-11|,当n5时,bn=|2n-11|=11-2n;当n6时,bn=|2n-11|=2n-11.S10=55-2(1+2+3+4+5)+2(6+7+8+9+10)-55=50.3.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-1.(1)证明数列an是等比数列;(2)设bn=(2n-1)an,求数列bn的前n项和Tn.解(1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,所以a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),所以an=2an-1,所以数列an是以a1=1为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)知,an=2n-1,所以bn=(2n-1)2n-1,所以Tn=1+32+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Tn=12+322+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,-得-Tn=1+2(21+22+2n-1)-(2n-1)2n=1+22-2n-121-2-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3,所以Tn=(2n-3)2n+3.4.设a1=2,a2=4,数列bn满足:bn+1=2bn+2且an+1-an=bn.(1)求证:数列bn+2是等比数列;(2)求数列an的通项公式.解(1)由题知bn+1+2bn+2=2bn+2+2bn+2=2,又b1=a2-a1=4-2=2,b1+2=4,bn+2是以4为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)可得bn+2=42n-1,故bn=2n+1-2.an+1-an=bn,a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,an-an-1=bn-1.累加得an-a1=b1+b2+b3+bn-1,an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+(2n-2)=2+22(1-2n-1)1-2-2(n-1)=2n+1-2n,即an=2n+1-2n(n2).而a1=2=21+1-21,an=2n+1-2n(nN*).命题角度2等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的应用高考真题体验对方向1.(2019全国18)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.解(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n-9)d2.由a10知d0;当n6时,an0.所以,Sn的最小值为S6=-30.3.(2018全国17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.4.(2018全国17)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和,若Sm=63,求m.解(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.5.(2016全国17)已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.解(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2.所以数列an是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=bn3,因此bn是首项为1,公比为13的等比数列.记bn的前n项和为Sn,则Sn=1-13n1-13=32-123n-1.6.(2016全国17)等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.解(1)设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=25.所以an的通项公式为an=2n+35.(2)由(1)知,bn=2n+35.当n=1,2,3时,12n+352,bn=1;当n=4,5时,22n+353,bn=2;当n=6,7,8时,32n+354,bn=3;当n=9,10时,42n+3535成立的n的最小值.解(1)设等差数列an的公差为d,d0.因为a2,a3,a6成等比数列,所以a32=a2a6,即(1+d)2=1+4d,解得d=2或d=0(舍去).所以an的通项公式为an=a2+(n-2)d=2n-3.(2)因为an=2n-3,所以Sn=n(a1+an)2=n(a2+an-1)2=n2-2n.依题意有n2-2n35,解得n7.故使Sn35成立的n的最小值为8.2.(2019广东佛山第一中学高三上学期期中考试)等差数列an中,a1=3,前n项和为Sn,等比数列bn各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,bn的公比q=S2b2.(1)求an与bn;(2)求Tn=Sb1+Sb2+Sb3+Sb4+Sbn.解(1)由已知可得q+3+a2=12,q=3+a2q,解得q=3或q=-4(舍去负值),a2=6.an=3n,bn=3n-1.(2)Sn=3n(n+1)2,Sbn=32bn(bn+1)=32(bn2+bn),Tn=Sb1+Sb2+Sb3+Sb4+Sbn=32(b1+b2+bn)+(b12+b22+bn2)=32(30+31+3n-1)+(30+32+32n-2)=321-3n1-3+1-32n1-32=32n+116+3n+14-1516.3.(2019西南名校联盟重庆第八中学高三5月高考适应性月考)已知Sn为等差数列an的前n项和,且S7=28,a2=2.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=4an-1,求数列bn的前n项和Tn.解(1)设an的首项为a1,公差为d,由a2=a1+d=2,S7=7a1+21d=28,解得a1=1,d=1,所以an=n.(2)bn=4n-1,所以bn的前n项和Tn=1-4n1-4=4n-13.4.(2019宁夏石嘴山第三中学高三下学期三模)已知等差数列an是递增数列,且a1+a4=0,a2a3=-1.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=3an+4,数列bn的前n项和为Tn,是否存在常数,使得Tn-bn+1恒为定值?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解(1)已知等差数列an是递增数列,设公差为d且a1+a4=0,a2a3=-1.则2a1+3d=0,(a1+d)(a1+2d)=-1,解得a1=-3,d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-5.(2)由于bn=3an+4,所以bn=32n-1.数列bn是以3为首项,9为公比的等比数列.则Tn=3(1-9n)1-9=38(9n-1).所以Tn-bn+1=38(9n-1)-332n=38-19n-38.当8-1=0,即=8时,Tn-bn+1恒为定值-3.5.(2019西藏山南地区第二高级中学高三上学期期中模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S9=90,S15=240.(1)求数列an的通项公式和前n项和Sn;(2)设bn-(-1)nan是等比数列,且b2=7,b5=71,求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d.则由S9=90,S15=240,得9a1+36d=90,15a1+105d=240,解得a1=2,d=2.所以an=2+(n-1)2=2n,即an=2n.Sn=2n+n(n-1)22=n(n+1),即Sn=n(n+1).(2)令cn=bn-(-1)nan,设cn的公比为q,b2=7,b5=71,an=2n,c2=b2-(-1)2a2=3,c5=b5-(-1)5a5=81,q3=c5c2=27,q=3,cn=c2qn-2=3n-1,从而bn=3n-1+(-1)n2n,Tn=b1+b2+bn=(30+31+3n-1)+-2+4-6+(-1)n2n,当n为偶数时,Tn=3n+2n-12;当n为奇数时,Tn=3n-2n-32.所以Tn=3n+2n-12,n为偶数,3n-2n-32,n为奇数.6.(2019贵州贵阳高三5月适应性考试)等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,已知S4=16,a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记点A(n,Sn),B(n+1,Sn+1),C(n+2,Sn+2),求证:ABC的面积为1.(1)解由题意得4a1+432d=16,(a1+d)2=a1(a1+4d),由于d0,解得a1=1,d=2.an=1+(n-1)2=2n-1.(2)证明由(1)知Sn=n1+n(n-1)22=n2,ABC的面积S=12(Sn+Sn+2)2-12(Sn+Sn+1)1-12(Sn+1+Sn+2)1=12(Sn+Sn+2-2Sn+1)=12n2+(n+2)2-2(n+1)2=1.命题角度3一般数列的通项公式与前n项和的求解高考真题体验对方向1.(2019天津18)设an是等差数列,bn是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.(1)求an和bn的通项公式;(2)设数列cn满足cn=1,n为奇数,bn2,n为偶数,求a1c1+a2c2+a2nc2n(nN*).解(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.依题意,得3q=3+2d,3q2=15+4d.解得d=3,q=3,故an=3+3(n-1)=3n,bn=33n-1=3n.所以,an的通项公式为an=3n,bn的通项公式为bn=3n.(2)a1c1+a2c2+a2nc2n=(a1+a3+a5+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+a2nbn)=n3+n(n-1)26+(631+1232+1833+6n3n)=3n2+6(131+232+n3n).记Tn=131+232+n3n,则3Tn=132+233+n3n+1,-得,2Tn=-3-32-33-3n+n3n+1=-3(1-3n)1-3+n3n+1=(2n-1)3n+1+32.所以,a1c1+a2c2+a2nc2n=3n2+6Tn=3n2+3(2n-1)3n+1+32=(2n-1)3n+2+6n2+92(nN*).2.(2017全国17)设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列an2n+1的前n项和.解(1)因为a1+3a2+(2n-1)an=2n,故当n2时,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2.所以an=22n-1(n2).又由题设可得a1=2,从而an的通项公式为an=22n-1.(2)记an2n+1的前n项和为Sn.由(1)知an2n+1=2(2n+1)(2n-1)=12n-1-12n+1.则Sn=11-13+13-15+12n-1-12n+1=2n2n+1.3.(2017天津18)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式;(2)求数列a2nbn的前n项和(nN*).解(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,有Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1,上述两式相减,得-Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1=12(1-2n)1-2-4-(6n-2)2n+1=-(3n-4)2n+2-16.得Tn=(3n-4)2n+2+16.所以,数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2n+2+16.典题演练提能刷高分1.已知等比数列an的前n项和为Sn,且满足2Sn=2n+1+m(mR).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=1(2n+1)log2(anan+1),求数列bn的前n项和Tn.解(1)由2Sn=2n+1+m(mR)得2Sn-1=2n+m(mR),当n2时,2an=2Sn-2Sn-1=2n,即an=2n-1(n2),又a1=S1=2+m2,当m=-2时符合上式,所以通项公式为an=2n-1.(2)由(1)可得log2(anan+1)=log2(2n-12n)=2n-1,bn=1(2n+1)(2n-1)=1212n-1-12n+1,Tn=b1+b2+bn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=n2n+1.2.(2019北京丰台区高三第二学期综合练习二)已知数列an满足a1=1,an+1=ean(e是自然对数的底数,nN*).(1)求an的通项公式;(2)设数列ln an的前n项和为Tn,求证:当n2时,1T2+1T3+1Tn0,所以1-1n1.所以21-1n2.即1T2+1T3+1Tn2.3.已知等比数列an的前n项和为Sn,满足S4=2a4-1,S3=2a3-1.(1)求an的通项公式;(2)记bn=log2(anan+1),数列bn的前n项和为Tn,求证:1T1+1T2+1Tn2.解(1)设an的公比为q,由S4-S3=a4得2a4-2a3=a4,所以a4a3=2,所以q=2.又因为S3=2a3-1,所以a1+2a1+4a1=8a1-1,所以a1=1.所以an=2n-1.(2)由(1)知bn=log2(an+1an)=log2(2n2n-1)=2n-1,所以Tn=1+(2n-1)2n=n2,所以1T1+1T2+1Tn=112+122+1n21+112+123+1(n-1)n=1+1-12+12-13+1n-1-1n=2-1n2.4.(2019河北保定高三第二次模拟考试)已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2),an=an+b,nN*.(1)求an;(2)设数列an的前n项和为Sn,bn=2n+2Sn,求bn的前n项和Tn.解(1)由函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2),得log3(2a+b)=1,log3(5a+b)=2,解得a=2,b=-1.所以an=2n-1,nN*.(2)由(1)知数列an为以1为首项,2为公差的等差数列,所以Sn=n+n(n-1)22=n2,