第二章 2.3.1.docx

23.1双曲线及其标准方程学习目标1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题知识点一双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距知识点二双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2ca、b、c的关系c2a2b2思考(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在(2)a，b的值及焦点所在的位置题型一求双曲线的标准方程例1根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点P(3，)，Q(，5)；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上解(1)方法一若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，由于点P(3，)和Q(，5)在双曲线上，所以解得 (舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P、Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为1.综上，双曲线的标准方程为1.方法二设双曲线方程为1(mn0，b0)则有解得所求双曲线的标准方程为y21.方法二焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中06)双曲线经过点(5,2)，1，5或30(舍去)所求双曲线的标准方程是y21.反思与感悟求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0，b0)，将点(4，2)和(2，2)代入方程得解得a28，b24，所以双曲线的标准方程为1.题型二双曲线定义的应用例2 若F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积解双曲线的标准方程为1，故a3，b4，c5.(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|PF1|2a6两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF20，且F1PF2(0，180)，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.反思与感悟(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca)(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用跟踪训练2已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积解由1得，a3，b4，c5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，所以SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF26416.题型三与双曲线有关的轨迹问题例3如图，在ABC中，已知|AB|4，且三个内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程解以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，从而有|AC|BC|AB|2)反思与感悟(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：列出等量关系，化简得到方程；寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支跟踪训练3 如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程解圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11；圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a，c5，于是b2c2a2.动圆圆心M的轨迹方程为1(x)1已知F1(3,3)，F2(3,3)，动点P满足|PF1|PF2|4，则P点的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一支C不存在 D一条射线答案B解析因为|PF1|PF2|4，且4|F1F2|，由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支2椭圆1和双曲线1有相同的焦点，则实数n的值是()A5 B3C5 D9答案B解析由题意知，34n2n216，2n218，n29.n3.3双曲线1的焦距为()A3 B4 C3 D4答案D解析由标准方程得a210，b22，所以c2a2b212，c2，所以焦距2c4.4已知双曲线中a5，c7，则该双曲线的标准方程为_答案1或1解析当焦点在x轴上时，方程为1，当焦点在y轴上时，方程为1.5P是双曲线x2y216的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|PF2|_.答案8解析将x2y216化为标准形式为1，所以a216,2a8，因为P点在双曲线左支上，所以|PF1|PF2|8.1双曲线定义中|PF1|PF2|2a (2ab不一定成立要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21 (mn0)的形式求解一、选择题1若方程1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A1m1Cm3 Dm0，即m1.2过点(1,1)，且的双曲线的标准方程是()A.y21 B.x21Cx21 D.y21或x21答案D解析由于，b22a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为1，代入(1,1)点，得a2.此时双曲线方程为y21.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为x21.3若k1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在y轴上的双曲线D焦点在x轴上的双曲线答案C解析将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断原方程可化为1.k1，k210,1k0.已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线4双曲线8kx2ky28的一个焦点坐标为(0,3)，则k的值是()A1 B1C. D答案B解析原方程可化为1，由焦点坐标是(0,3)可知c3，且焦点在y轴上，k0.c29，k1，故选B.5若双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A(，0) B(，0)C(，0) D(，0)答案C解析将方程化为标准方程x21，c21，c，故选C.6设椭圆1和双曲线y21的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cosF1PF2等于()A. B. C. D.答案B解析设|PF1|d1，|PF2|d2，则d1d22，|d1d2|2，22，得dd18.22，得2d1d26.而c2，cosF1PF2.7已知两圆C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()Ax0 B.1(x)C.1 D.1或x0答案D解析动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：动圆M与两圆都外切；动圆M与两圆都内切；动圆M与圆C1外切，与圆C2内切；动圆M与圆C1内切，与圆C2外切在情况下，显然动圆圆心M的轨迹方程是x0；在的情况下，如图，设动圆M的半径为r，则|MC1|r，|MC2|r，故得|MC1|MC2|2；在的情况下，同理，得|MC2|MC1|2.由得|MC1|MC2|20)，则由QF1QF2，得kQF1kQF21，1，c5.设双曲线方程为1(a0，b0)，双曲线过(4，3)，1，又c2a2b225，a216，b29.双曲线的标准方程为1.10若双曲线1的焦距为10，则m_.答案9解析由题意知，a4，b，c5，又由a2b2c2得，16m25，m9.11已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_答案2解析设P在双曲线的右支上，|PF1|2x，|PF2|x(x0)，因为PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，所以x1，x21，所以|PF2|PF1|112.三、解答题12已知ABC的一边的两个顶点B(a,0)，C(a,0)(a0)，另两边的斜率之积等于m(m0)求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形解设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB，kAC.由题意，得m，即1(y0)当m0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去x轴的两个交点)；当m0且m1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当 1m0时，椭圆焦点在x轴上；当m1时，椭圆焦点在y轴上；当m1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)13已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标