第一章函数、极限与连续六_第1页
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文档简介

一 函数的连续性 1 函数的增量 第六节函数连续与间断 增量可为正 也可以为负 2 连续的定义 例1 证 由定义2知 3 单侧连续 定理 例3 解 4 连续函数与连续区间 定义4在开区间上每一点都连续的函数 叫做在该开区间上的连续函数 或者说函数在该开区间上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如 例4 证 1 四则运算的连续性 定理1 例如 二 连续函数的运算与初等函数的连续性 定理3 证 2 复合函数的连续性 将上两步合起来 意义 1 极限符号可以与函数符号互换 定理2 例如 2 复合函数的连续性 例1 解 同理可得 定理5基本初等函数在定义域内是连续的 定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间 3 初等函数的连续性 1 初等函数仅在其定义区间内连续 在其定义域内不一定连续 例如 这些孤立点的邻域内没有定义 在0点的邻域内没有定义 注意 例2 解 注意2 初等函数求极限的方法代入法 例3 解 例4 解 例5 解 三 函数的间断点 1 跳跃间断点 例1 解 第一类间断点 2 可去间断点 例2 解 注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 则可使其变为连续点 如例2中 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 特点 3 第二类间断点 例3 解 例4 解 注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点 判别间断点的一般判断步骤 1 找出间断点 有些题已给出 2 求极限 先判断是否为第二类间断点 3 若不是 再看是否为第一类间断点 跳跃间断点或可去间断点 解 因为函数在x 2和x 1处无定义 所以x 2和x 1是函数的间断点 所以x 2是函数的第二类间断点 所以x 1是函数的第一
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