2014年高考数学复习第一轮专题(理) 空间向量及其运算.doc

第二单元 空间向量及其应用第一节 空间向量及其运算一、选择题1在以下四个式子中正确的有()abc，a(bc)，a(bc)，|ab|a|b|A1个B2个C3个D0个解析：根据数量积的定义，bc是一个实数，abc无意义实数与向量无数量积，故a(bc)错，|ab|a|b|cosa，b|，只有a(bc)正确答案：A2已知a(1t,1t ，t), b(2，t，t)，则|ba|的最小值是()A. B. C. D. 答案：C3已知向量a(1, 2, 3), b (2，4，6)，|c|， 若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30 B60 C120 D150答案：C4平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若 a， b， c，则下列式子中与相等的是()Aabc B.abcC.abc Dabc解析： () cab，故选A.答案：A5. 已知a(2，1,3 ) ，b(1,4，2 ) ，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则()A. B9 C. D.答案：D二、填空题6已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b_.解析：由条件知(a3b)(7a5b)7|a|215|b|216ab0，及(a4b)(7a2b)7|a|28|b|230ab0.两式相减得46ab23|b|2，ab |b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|b|.cosa，b.a，b60.答案：607已知a (1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab垂直，则k的值为_解析：(kab)(2ab) (k1，k,2)(3,2，2)5k70，k.答案：8下列命题中不正确的命题是_若A、B、C、D是空间任意四点，则有 0；|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若xyz(其中x、y、zR)，则P、A、B、C四点共面解析：易知只有是正确的，对于，若O平面ABC，则、不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面答案：三、解答题9试用向量证明三垂线定理及其逆定理已知：如右图所示，PO、PA分别是平面的垂线和斜线，OA是PA在内的射影，a，求证：aPAaOA.证明：设直线a上非零向量a，要证aPAaOA，即证a 0a 0.a，a 0，aa()aaa.a0a0，即aPAaOA.10已知ABCDABCD是平行六面体(1)化简，并在图形中标出其结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCCB的对角线BC上的点，且BNNC31，设，试求，之值解析：(1)先在图形中标出，为此，可取的中点E，则.，在DC上取点F，使DFDC.又，从而有，如右图所示(2) ，.第二节 空间角的概念及其求法和空间距离的求法一、选择题1(2008年福建)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析：连A1C1与B1D1交与O点，再连BO，则OBC1为BC1与平面BB1D1D所成角. sinOBC1，OC1，BC1sinOBC1.答案：D2(2008年四川延考)一个正方体的展开图如右图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为 ()A. B.C. D.解析：还原正方体如下图所示，设AD1，则AB，AF1，BEEF2，AE3，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，所以余弦值为cosABE，选 D.答案：D3设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60角的对角线的数目是()A0 B2 C4 D6解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A1(1,0,0)，E，C(0,1,0)设平面A1ECF的法向量为n(x，y，z)，则由n0及n0，可得xzy，于是可取n(1,2,1).(0,1,1)，(1,1,0)，而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为30，于是这四个向量与平面A1ECF所成的角为60.而其它的面对角线所在的向量均不满足条件答案：C4如右图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G(01)，则点G到平面D1EF的距离为()A. B.C. D.解析：因为A1B1EF，G在 A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E，由三角形面积可得所求距离为，故选D.答案：D5(2009年重庆卷)已知二面角l的大小为50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是25的直线的条数为()A2 B3 C 4 D5答案：B二、填空题6(2009年四川卷)如右图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_解析：作BC的中点N，连接AN，则AN平面BCC1B1，连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，B1NBM，AB1BM.即异面直线AB1和BM所成的角的大小是90.答案：907(2008年四川延考)已知AOB90，C为空间中一点，且AOCBOC60，则直线OC与平面AOB所成角的正弦值为_解析：由对称性知点C在平面AOB内的射影D必在AOB的平分线上，作DEOA于E，连结CE，则由三垂线定理CEOE，设DE1OE1，OD，又COE60，CEOEOC2，所以CD，因此直线OC与平面AOB所成角的正弦值sinCOD.答案：8PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，他们之间每两条的夹角都是60，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_答案：三、解答题9如右图所示，等腰三角形ABC的底边AB6，高CD3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EFAB，现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE，记BEx，V(x)表示四棱锥PACEF的体积 (1)求V(x)的表达式； (2)当x为何值时，V(x)取得最大值？ (3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值解析：(1)由折起的过程可知，PE平面ABC，SABC9，SBEFSBDCx2，V(x)x(0x3)(2)V(x)，所以x(0,6)时，V(x)0 ，V(x)单调递增；6x3时V(x)0 ，V(x)单调递减；因此x6时，V(x)取得最大值12；(3)过F作MFAC交AD于M，则，MB2BE12，PM6，MFBFPFBC，在PFM中， cosPFM，异面直线AC与PF所成角的余弦值为.10(2008年四川延考卷)如右图所示，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，ADBD1，AB.沿它的对角线BD把BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置(1)证明：平面ABC0D平面CBC0；(2)如果ABC为等腰三角形，求二面角ABDC的大小解析：(1)证明：因为ADBC0BD1，ABC0D，所以DBC090，ADB90.因为折叠过程中，DBCDBC090，所以DBBC，又DBBC0，故DB平面CBC0.又DB平面ABC0D，所以平面ABC0D平面CBC0.(2)法一：如右图，延长C0B到E，使BEC0B，连结AE，CE.因为AD綊BE，BE1，DB1，DBE90，所以AEBD为正方形，AE1.由于AE，DB都与平面CBC0垂直，所以AECE，可知AC1.因此只有ACAB时，ABC为等腰三角形在RtAEC中，CE1，又BC1，所以CEB为等边三角形，CBE60.由(1)可知，BDBC，BDBE，所以CBE为二面角ABDC的平面角，即二面角ABDC的大小为60.法二：以D为坐标原点，射线DA，DB分别为x轴正半轴和y轴正半轴，建立如右图的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0,0,0)由(1)可设点C的坐标为(x,1，z)，其中z0，则有x2z21.因为ABC为等腰三角形，所以AC1或AC.若AC1，则有(x1)21z21.由此得x1，z0，不合题意若AC，则有(x1)21z22.联立和得x，z.故点C的坐标为.由于DABD，BCBD，所以与夹角的大小等于二面角ABDC的大小又(1,0,0)，cos，.所以，60，即二面角ABDC的大小为60.第三节 空间向量在立体几何中的应用一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D和AC的公垂线，则直线PQ与BD1的关系是()A异面直线B平行直线C垂直但不相交 D垂直相交答案：B2已知矩形ABCD，PA平面ABCD，则以下不等式中可能不成立的是()A.0 B.0C.0 D.0答案：B3将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积为() A. B.C.a3 D.a3答案：D4如下图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1,1,1) B.C. D.解析：M在EF上，设MEx，MA(，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，0)(，0，1)，(0，1)，设平面BDE的法向量n(a，b，c)由，得.故可取一个法向量n(1,1，)，有n0，x1，M，故选C.答案：C5如下图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若E、F分别是BC、DD1中点，则B1到平面ABF的距离为()A. B.C. D.解析：(1)建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B1(1,1,0)，F，E，B(1,1,1)(0,1,0)，0.，又.平面ABF.平面ABF的法向量为，(0,1，1)B1到平面ABF的距离为.答案：D二、填空题6如下图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC与BC1的夹角为_解析：以D为坐标原点，建立如题图空间坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0), C(0,1,0), B(1,1,0), C1(0,1,1)则(1,1,0)，(1,0,1)，cos ，60，即AC与BC1的夹角为60.答案：607如下图所示，已知矩形ABCD中，|AD|3，|AB|4.将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD面ABD.现以D为原点，DB作为y轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy坐标平面内则A，C两点的坐标分别是_，A，C两点的距离是_. 解析：由于面BCD面ABD，从面BCD引棱DB的垂线CF即为面ABD的垂线，同理可得AE即为面BCD的垂线，故只需求得AE，CF，DE，DF的长度即可答案：A，C8如下图所示，已知棱长为a的正四面体ABCD中，E、F在BC上，G在AD上，E是BC的中点，CFCB，AGAD，给出下列四个命题：ACBD；FGa；侧面与底面所成二面角的余弦值为；.其中真命题的序号是_ .答案：三、解答题9(2009年滨州模拟)如下图所示， 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD, 底面ABCD为正方形， 且PAAD2, E、F分别为棱AD、PC的中点(1)求异面直线EF和PB所成角的大小； (2)求证：平面PCE平面PBC；(3)求二面角EPCD的大小. 解析： 以直线AB为x轴， 直线AD为y轴， 直线AP为z轴建立空间直角坐标系， 如右图，则A(0,0,0), B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)(1)E为AD的中点， E(0,1,0), 又F为PC的中点， F(1,1,1)(1,0,1)又(2,0，2)，cos， 0，cos， 90，异面直线EF和PB所成角的大小为90.(2)证明：由(1)知EFPB，又(0,2,0)，(1,0,1)0, EFBC. 又EF平面PCE, 平面PCE平面PBC.(3)过点D作DHPC于H, 在RtPDC中， PD2， DC2, PC2， 则CH ， PHHC21, 又P(0,0,2)，C(2,2,0)，H ， 又(1,0,1)，cos， ， ， 30.二面角EPCD的大小为30.10(2009年北京卷)如右图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：平面AEC平面PDB；(2)当PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小解析：法一：如右图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设ABa，PDh，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1)(a，a,0)，(0,0，h)，(a，a,0)，0，0，ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面AEC平面PDB.(2)当PDAB且E为PB的中点时，