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第6章连续系统的振动 6 1一维波动方程 6 2梁的弯曲振动 6 3假设模态法 6 4模态法综合法 6 5有限元法 6 6梁弯曲振动的一些特殊影响因素 第6章连续系统的振动 可以用有限个自由度精确描述的系统称为集中参数系统或离散系统 前面几章学习的都是这种系统 其力学模型由一些具有单一力学特性的元件 集中参数元件 构成 如质点 刚性质量 纯弹性件和阻尼器等 有很多实际系统近似为集中参数系统 但大部分实际系统 理论上说不能用有限个自由度精确描述其力学行为 比如一根梁就是如此 其力学模型只能用一些场参数来描述 如几何形状 温度分布 质量分布 杨氏模量等 其力学行为也只能用一些场参数来描述 如位移场 速度场等 因此这类系统称为分布参数系统或连续系统 本章以一维分布参数系统为例 介绍振动分析的一些解析方法以及近似分析方法 即用一个集中参数系统来近似替代 6 1一维波动方程1 动力学方程 1 杆的纵向振动 如图 如果杆中各质点的振动方向平行于杆的轴线 称杆作纵向振动 只研究细长杆 可假设振动中杆横截面保持为平面 6 1 设杆横截面的运动位移为u x t 取杆微元dx 分析如下 2 直弦的横向振动 微振动 研究张紧直弦的振动 设弦的横向挠度为y x t 忽略振动中张力和长度变化 取如图6 2弦微元dx 分析如下 形如 6 1 的方程称为一维波动方程 6 2 3 轴的扭转振动 只有等截面圆轴的弹性扭转符合平面假设 可以推出精确的波动方程 设轴横截面的扭转角为q x t 取如图圆轴单元dx 分析如下 6 3 4 杆的剪切振动 设杆横截面的剪切运动位移为y x t 取如图杆单元dx 分析如下 6 4 2 波动方程的模态 以上得到的一维波动方程 如方程 6 1 为二阶线性偏微分方程 可以用分离变量法求得解析解 令 方程左边是时间的函数 而右边是空间坐标的函数 因此左右边只能都等于一个常数 设为l 这是两个单变量常微分方程 第一个方程的两个基本解为 6 5 代入 6 1 得 得两个方程的通解为 所以 波动方程度通解为 6 6 其中D1 D2和A这三个积分常数已经合并成两个常数C1 C2 下面来讨论 6 6 式中的积分常数的确定问题 式中有4个积分常数 它们为 这些积分常数需要用初始条件和边界条件来确定 为此 我们重新考察波动方程 这个方程 关于时间变量t和空间变量x的导数均为二阶 因此 对时间变量积分 会出现两个积分常数 对空间变量积分也会出现两个积分常数 进而 确定这4个积分常数 分别需要用两个初始条件和两个边界条件 我们先来应用边界条件 比如两端简支梁 其边界条件为 由 6 6 式 得 6 7a 方程 6 7a 称为系统的频率方程或特征方程 以上方程必须有非零解 否则 C1 C2 0 振动恒为零 讨论就没有意义了 因此 方程左边的矩阵行列式必须为零 得频率方程为 由此可以确定参数w 将任一个确定的w值代入方程 6 7a 后 可知参数C1 C2中只能确定一个 另一个可以取任何非零值 即待定 因此 应用边界条件后 通解 6 6 中还有两个待定常数 需要由初始条件来确定 6 7b 由以上讨论可知 我们也可以将时间函数q t 和空间函数f x 写为 我们顺便讨论一下无限长杆中的纵向波 由于杆为无限长 没有边界条件 因此 杆中形成的初始振动将随时间和空间无耗散地不断变化 波动方程在无限长杆中的一个解可以写为如下形式 这样 我们可以将关于u x t 的边界条件转换为关于空间函数f x 的边界条件 举例 如图 设纵振动杆两端固定 则边界条件为 其波形如图6 5 变化过程是整个空间波形以速度a向右移动 因此参数a称为波的传播速度 波速 或相速度 因此 前面的几种物理模型中 波的传播速度为常值 就是两端固支杆纵向振动的固有频率和振型函数 模态 而且有无穷多个 与集中参数系统一样 模态在连续系统的振动分析中也有中心的地位 所起的作用也类似 由于横振弦 纵振杆和扭振轴有相同的波动方程 它们的运动具有相同的规律 常见边界条件下的模态如下表 例6 1一端固定 自由端有集中质量m 求杆纵振动的固有频率和模态函数 解 固定端的边界条件是显然的 为 为了写出自由端的边界条件 参见图a 由集中质量的力平衡 可得右端边界条件为 以上第一个边界条件是由杆端的几何约束给出的 称为几何边界条件 第二个边界条件是由杆端的力平衡条件给出的 称为力边界条件 当杆作模态振动时 有 由此 前面的两个边界条件变为 将 6 6 式代入上式 得 解 边界条件为 代入一维波动方程的通解 6 6 得 例6 2求图示纵振杆的模态 因此 给一个b就可求出对应的固有频率wi 而与各个wi相应的振型函数为 1 229246e 0004 493409e 0007 725251e 0001 090412e 0011 406619e 0011 722075e 001 例6 3一长为l的弦 单位长度的质量为r 弦中张力为T 左端固定 右端连接于另一弹簧质量系统的质量m上 m只能作上下微振动 其平衡位置即在y 0处 如图所示 求此弦横向振动的频率方程 在振动过程中 弦的张力T视为不变 解 由 6 6 式 弦振动微分方程的解为 a 其中 x 0处的边界条件为 由此得 参见图a 由质量m的力平衡 可得x l处的边界条件为 由于m只能作微振动 所以 b 于是 得 c 将式 b 代入 a 再将结果代入 c 可得频率方程 或 其中 6 2梁的弯曲振动1 动力学方程 本节只研究细直梁 并且不考虑梁横截面的剪切变形和绕中性轴转动惯量的影响 这样的梁理论称为Bernoulli Euler梁理论 即垂直于中性轴的平截面在梁的弯曲过程中始终保持平面 且垂直于弯曲后的中性轴 如图 设梁的横向位移为y x t 取梁微元dx 分析如下 6 8 代入 6 8 式 得控制微分方程为 6 10 若为等截面均质梁 控制微分方程为 6 9 顺便讨论一下无限长的梁中简谐波的传播问题 设梁中有传播的简谐波 代入 6 10 并令f 0 得 现在波速已不是常值 它随波动频率的增长而无穷增长 或随波数的增长而无穷增长 这显然是不符合实际的 因为当波动频率达到一定值时 梁的横向波传播速度可以超过最快的光波的波速 由此可知 Bernoulli Euler梁模型用于梁的高频振动分析是不准确的 2 梁的模态 讨论等截面均质梁自由振动 振动微分方程为 我们仍然用分离变量法来解 设 6 11 代入方程 得 所以 以上第一个方程的解为 6 12 以上第二个方程的解设为 得到关于l的特征方程为 6 13 对 6 11 应用边界条件就得到梁的固有频率和振型函数 例6 4梁的一端固定 另一端自由端但有集中质量m 求梁横向振动的频率方程 解 梁横向振动的通解为 其中 a 应用左端边界条件 右端边界条件为 将 b 式代入 a 式后 得 将 c 式代入边界条件 d 式 得 c 方程组 e f 的非零解条件 得频率方程为 例6 5梁一端固定 另一端为弹性支承 求梁横向振动的频率方程 解 梁横向振动的通解为 a 其中 应用左端边界条件 将 b 式代入 a 式后 得 右端边界条件为 c 将方程 c 和 d 与前例 例6 4 的方程方程 c 和 d 比较可见 只要在将前例中的 mw2换成k 则两种情况的方程完全相同 因此 只需在前例的结果中将 mw2换成k 就得到本例的结果 所以频率方程为 解 将梁分成两段 对各段建立如图坐标系 根据 6 13 式 两段梁的振型函数可写为 边界条件 a1 a2 b1 b2 由 a1 b1 两式 得 例6 6求图示连续梁横向振动的频率方程 c 同理 由 a2 b2 两式 得 d 再应用两段梁对接处的协调条件 e f c d e f 四式是关于待定未知常数的线性方程组 写成矩阵形式为 方程必须有非零解 故有 运算后得频率方程为 3 模态函数的正交性 讨论正交性时 不必涉及振型函数的具体形式 所以我们按一般方程 6 9 的齐次形式来讨论 6 14 设 6 14 在一定的边界条件下 任意两个模态的固有频率为wi wj 振型函数为fi x fj x 于是由 6 15 有 6 15 6 16 6 17 6 18 6 19 两个积分式相减 得 梁两端的边界条件通常为固定 铰支和自由 对这三种情况任意组合 上式右端都等于零 即 6 20 由 3 21 和 3 18 或 3 19 并考虑以上三种边界条件 得 6 22 6 21 6 21 和 6 22 就是振型函数的正交性表达式 具体说 振型函数关于梁的质量线密度正交 振型函数的二阶导数关于弯曲刚度正交 下面考察梁的一端为特殊边界的正交性 1 当梁的l端为弹性支承时 边界条件为 当i j时 3 20 自动满足 记下列积分为 分别称为第i阶主质量 模态质量 和主刚度 模态刚度 也可将模态正则化 正则化后的正交性表达式为 代入 6 20 和 6 19 可得 2 当梁的l端有附加质量时 边界条件为 代入 6 20 和 6 19 可得 6 24 4 模态叠加法 现在来求梁的强迫振动解 设 6 23 6 25 6 9 代入方程 6 9 6 26 方程 6 26 的解法已经很熟悉不再赘述 例6 7图示简支粱在其中点受到力P作用而产生静变形 求当力P突然取消后梁的响应 解 由于简支粱是左右对称结构 且力P作用在梁的纵向对称点上 所以它只激发梁的各阶对称模态 于是 该简支粱在初始条件下的响应表达式为 其中 a 因为t 0时 梁处于静态挠曲线状态 故有 将 a 式的一阶导数代入 c 式 有 由此得 d 将 d 式代入 a 式 令t 0 有 e 将 b 式代入 e 式 并考虑到模态的对称性 得 f 将 d f 代入 a 即得响应 例6 8不变的集中力P沿梁以匀速度v移动 求梁的横向振动响应 设初始时力P在梁的左端 解 梁的振动微分方程为 设方程的解为 b c 其中 方程 c 的解为 利用初始条件 解出Cn Dn后 可得梁的响应为 6 3假设模态法 应用模态叠加法需要知道精确的模态 但实际复杂系统很难求出精确的模态 所以在近似法中 广泛采用一些更为实用的函数来构造近似解 这时 不一定要求这些函数满足系统的运动微分方程 但它们必须具备方程中所用到的各阶导数 并且满足适当的边界条件 其中满足全部边界条件的函数称为比较函数 comparisonfunctions 而那些只满足几何边界条件的函数 称为容许函数 admissiblefunctions 这时 一维弹性体问题的解可近似地表示为 6 25 这种处理问题的方法 实际上就是Ritz缩聚方法 这样就把无限自由度的分布参数问题转化成了有限自由度问题 因此可以用离散系统的各种建模方法建立系统的运动微分方程 我们用Lagrange方程 梁本身的动能为 写成矩阵形式为 6 26 当梁上含有集中质量m时 如图6 13 相应的附加动能为 因此 6 26 中质量矩阵的各元素应写为 梁本身的势能为 写成矩阵形式为 6 27 当梁上含有弹性支承时 如图6 13 附加的势能为 因此 6 27 中刚度矩阵的各元素应写为 设梁上受到分布力f x t 和集中力F xc t 则对应的虚功为 其中 6 28 将动能 势能和广义力代入Lagrange方程 得 6 39 则系统的动能与势能为 解 1 设系统的振动为 其中 此即b的最佳取值 解 设振型函数为 这个假设振型函数同时满足几何与力边界条件 截面惯性矩为 为了求第一和第二阶固有频率w1 w2 取i 1 2 有 所以 离散系统质量矩阵元素为 离散系统刚度矩阵元素为 离散系统的自由振动方程为 所以 特征方程为 将矩阵元素代入上式 可得频率方程为 解得 解 系统的动能为 注意xy为平动坐标系 其中 系统的势能为 其中 将动能和势能代人Lagrange方程 得系统的振动方程为 6 4模态法综合法 从原理上说 假设模态法也适合于复杂结构的振动分析 问题是很难找到整个结构的假设模态 为了克服这一困难 人们设法将一个复杂结构分解成若干个较简单的子结构 对于这些子结构 比较容易找到它们的假设模态 然后根据对接面上保持位移协调 或者再加上内力协调 的条件 把这些子结构装配成总体结构 也就是说 我们利用各个子结构的假设模态来综合总体结构的振动模态 因此这一方法称为模态综合法 模态综合法已形成比较完整的理论体系 其中演变出了多种处理方法 下面用一个简单例子说明这一方法的基本思想 图6 14为一直角梁结构 由两根完全相同的细直梁焊接而成 现在将结构分割为两根简单梁 一根为悬臂梁 另一根为自由梁 分别取坐标系O1x1y1和O2x2y2 梁的振动位移用u1 x1 t y1 x1 t u2 x2 t 和y2 x2 t 表示 利用每根梁的假设模态 这些振动位移可表示为 6 40 其中各个假设模态取为 6 41 其中f1 x1 f2 x2 是悬臂梁弯曲振动的容许函数 f3 x2 是自由梁纵振刚体模态 f4 x2 是铰支 自由梁的刚体转动模态 而f5 x2 则是悬臂梁的弯曲振动的容许函数 系统的动能为 因为对接面上要满足位移协调 或者再加上内力协调 的条件 因此各个广义坐标zi t 是不独立的 约束条件为 6 42 6 43 代入 6 40 6 41 得 因此 5个坐标中只有两个是独立的 取z1 z2作为独立变量 并令 则得老坐标 不独立 与新坐标 独立 之间的变换 约束 关系为 系统的动能和势能用独立坐标表示为 6 44 现在我们已经得到了用独立广义坐标表示的 整体结构的动能和势能 应用Lagrange方程 得 6 45 6 46 数值计算结果如下 6 47 固有频率 振型为 再用 6 44 式可回到子结构坐标 进一步用 6 40 式可算出原结构各处的振动位移 6 5有限元法 假定结构被分割成只在有限个节点处相互连接的离散单元体系 通过计算每个单元的特性并将它们适当地叠加 就可求得整个结构的特性 实际上 有限元法的基本思想与模态综合法是一样的 只是有限元法所取的子结构为单元 而单元可取得比较小 取法也更灵活 单元还可以分类 因此一个结构往往只要取几类 甚至一类 单元就可将其离散 由此可以编制出大型通用有限元程序 本节只给出杆 梁结构的相关结果 1 杆的纵振动 单元形函数的选取原则和方法 可参考有限元法专著 对于杆的纵振动 形函数取为 6 48 形函数假设好后 可以有多种途径来建立单元刚度和质量矩阵 我们直接借用假设模态法中思想方法 6 49 图6 15 对应于单元节点位移的广义力阵 节点力阵 由虚功来计算 6 50 有了单元特性后 再按一定原则将所有单元特性装配成整体结构的特性 可以用虚功方程 Hamilton原理或Lagrange方程进行装配 不再赘述 6 51 2 梁弯曲振动的单元特性 单元的节点位移列阵为 如图所示 位移插值模式 图6 16梁单元的形函数 可以算得单元质量 刚度矩阵为 对应于单元节点位移的广义力阵 节点力阵 6 52 6 53 6 54 6 6梁弯曲振动的一些特殊影响因素1 轴力的影响 轴力作用下的梁微元dx如图6 17 6 55 轴力对梁横向振动的影响表现在对梁的刚度的影响 我们先用有限元特性来说明这一点 在后面例6 12中再作准确的理论解释 对轴力作用的等截面均质梁 其单元质量 刚度矩阵与前面推出的 6 52 6 53 式相同 唯一的差别是现在轴力要产生广义力 参见图6 18 可知对应的虚功为 请同学们完成以上方程的推导 由梁微元的力平衡 矩平衡方程 以及弯矩与挠度的关系 可以推得梁的控制微分方程为 而由图6 18所示的位移相似三角形关系 可得 由此得 将此代人虚功表达式 并应用梁单元的形函数 得 所以 广义力向量为 因此 对于有轴力作用的梁 其总的单元刚度矩阵可用组合单元刚度矩阵表示 6 56 6 57 由推导过程可知 当NT 0时 KG半正定 由此根据 6 57 推知 当梁受轴向压力时 梁的整体刚度下降 反之则增加 例6 12一直梁置于连续的弹性基础上 两端简支 受常压轴向力作用 梁单位长度的质量为rl 抗弯刚度为EI 弹性基础的分布刚性系数为k 导出梁的振动微分方程 并求固有频率 1 设方程的解为 代入方程 1 得 令 2 2 式变为 3 其解为 4 其中 利用边界条件 得 由此得 写成矩阵形式为 8 5 由非零解条件 得 9 将 9 式代入 6 或 7 式 得 10 将 5 10 代入 4 式 得到梁的振型函数为 由 9 式解得 11 所以 梁的振型函数和固有频率为 12 下面对这一结果进行分析 2 剪力和转动惯量的影响 Bernoulli Euler梁理论中忽略了截面剪力和转动惯量 忽略截面剪力便产生平截面假设 而忽略转动惯量将使梁中的 梁的振动波传播速度可以随波动频率的增大而达到无穷大 因此在分析高频振动时 会使结果严重失真 下面介绍考虑截面剪力和转动惯量的Timoshenko梁理论 图6 19表示横截面在剪力作用下 发生翘 曲的定性分析 我们取图6 20所示的梁微元dx进行分析 Timoshenko梁微元的受力与Euler理论相同 但变形 后的截面已不垂直于挠曲线 截面的法线与未变形挠曲线的夹角用一个新的独立参量y来表示 而变形后挠曲线的转角仍为 y x 如图6 20 b 所示 因此 现在描述梁的弯曲变形有两个独立变量y和y 由图6 20 b 有 6 58 g0为截面与