期权定价二叉树多步推导.doc

期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法-二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。这里只讨论股票期权定价的二叉树模型1 一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。例1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18.股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。 在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。这是最简单的二叉树模型。一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到 相应的期权价格为；也有可能下降到 相应的期权价格为.这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到 ，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有 由此可得 (8.1)上式意味着 是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下，该组合是无风险的。以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有 即 将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为 (8.2) (8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足：. 现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。已知：且在期权到期日，当 时，该看涨权的价值为而当 时，该看涨权的价值为 根据(8.3)和(8.2)，可得 上述期权定价公式(8.2)和(8.3)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已经隐含在股票价格中了。不妨令股价上升的概率为，则股价下降的概率就是，在时间的期望股票价格为 如果我们假设市场是风险中性的（risk neutral），则所有证券的价格都以无风险利率增加，故有 于是，我们有 由此可得 与(8.3)比较，我们发现：，这就是参数的含义，我们称之为风险中性状态下股价上升的概率2.两步二叉树模型在一步二叉树模型中，股票和期权的价格只经过一个时间步的演化，如果初始时间距期权到期日的时间间隔太长，有可能造成计算误差太大的缺陷。因此，在初始时间与期权到期日之间增加离散的时间点，缩短计算的时间步长，有助于提高计算精度。现在我们将初始时间距期权到期日的时间T分成两个相等的时间步，则每个时间步长。假设一只股票的初始价格是，基于该股票的欧式期权价格为，且每经过一个时间步，该股票价格或者增加到当前价格的倍，或者下降到当前价格的 倍。股票和期权价格的演化过程可通过如图8.3所示的二叉树表示出来，这种含有两个时间步长的二叉树称为两步二叉树（Two-step binomial trees）模型。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。类似于一步二叉树模型的期权定价方法，采用无套利（no arbitrage）假设，由前向后（backward）逐步计算期权价值，我们得到 (8.4)其中， (8.5)在(8.4)中， 分别是风险中性状态下最后一个时间步股价到达上节点，中间节点和下节点的概率。因此，期权的初始价值可认为是期权在到期日的期望价值贴现。 例2 假设一只股票的初始价格是$50，且每过1年该股票价格或者上升20%，或者下降20%，无风险利率为5%，现有一个基于该股票，敲定价为$52且2年后到期的欧式看跌权，试用二叉树模型确定该期权的价值。分析 将初始时间到期权到期日的2年时间分成相等的两个时间步，则股票和期权价格的演化进程可通过图8.4直观表示出来。依题意，已知： 且在期权到期日，当 时，该看跌权的价值为 当 时，该看跌权的价值为 当时，该看跌权的价值为 根据(8.5)，可得 再由(8.4)，即可求得该看跌权的初始价值为 . 3.多步二叉树模型一步和两步二叉树模型太简单了，实际使用的二叉树要求具有多个离散的时间步长来计算期权的价值。通常从初始时间到期权到期日需要分成30或更多个时间步长。两步二叉树模型的欧式股票期权定价公式容易推广到多步二叉树模型的情形。如果我们将初始时间距期权到期日的时间T分成 个相等的时间步，则每个时间步长 。令股票的初始价格为 ，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的 倍，或向下下降到当前价格的 倍，无风险利率为的 ，则在期权到期日，股票价格有 种可能结果： 它们在风险中性状态下出现的概率分别是： 其中 (8.6)令 为与 种股票价格对应的期权价值， 为期权的敲定价，则在无套利假设下，股票看涨权在到期日的价值为 股票看跌权在到期日的价值为 将该期权在到期日的期望价值贴现，我们即可得到期权的（初始）价值为 (8.7)关于参数 的取值，Cox，Ross和Rubinstein给出了由股票价格波动率 确定的公式： (8.8)例3. 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为18个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。解：分析将初始时间到期权到期日的18个月时间分成相等的6个时间步，则股票和期权价格的演化进程可通过图4直观表示出来。依题意，已知：X=21接下来计算股票价值。第一步：Su=22Sd=18第二步： Su2=24.2 Sud=19.8 Sd2=16.2第三步： Su3=26.62 Su2d=21.78 Sud2= 17.82 Sd3=14.58第四步： Su4=29.282 Su3d= 23.958 Su2d2= 19.602 Sud3= 16.038 Sd4= 13.122 第五步： Su5=32.2102 Su4d= 26.3538 Su3d2= 21.5622 Su2d3= 17.6418 Sud4= 14.4342 Sd5= 11.8098第六步： Su6=35.43166 Su5d=28.98918 Su4d2=23.71842 Su3d3=19.40598 Su2d4=15.87762 Sud5=12.99078 Sd6=10.62882在期权到期日，当时，该看涨权的价值为fu6=max(Su6-X,0)=14.43当时，该看涨权的价值为fu5d=7.99 当时，该看涨权的价值为2.72当时，该看涨权的价值为0 当时，该看涨权的价值为0 当时，该看涨权的价值为0当时，该看涨权的价值为0根据公式：fu5=0.995*0.5251*14.43+0.4749*7.99=11.375同理：fu4d=0.995*0.5251*7.99+0.4749*2.72=5.46 fu3d2=0.995*0.5251*2.72+0.4749*0=1.421 fu2d3=0 fud4=0 fd5=0所以：fu4=0.995*0.5251*11.375+0.4749*5.46=8.523 fu3d=0.995*0.5251*5.46+0.4749*1.421=3.524 fu2d2=0.995*0.5251*1.421+0.4749*0=0.742 fud3=0 fd4=0所以： fu3=0.995*0.5251*8.523+0.4749*3.524=6.118 fu2d=0.995*0.5251*3.524+0.4749*0.742=2.192 fud2=0.995*0.5251*0.742+0.4749*0=0.388 fd3=0所以：fuu=0.995*0.5251*6.118+0.4749*2.192=4.232 fud=0.995*0.5251*2.