7.4数学归纳法

有了“思想”的碰撞，才有“美丽”的火花以高中数学“数学归纳法”为例封浜高级中学 郭玮回顾自己的教学经验，我感触最深的是平日学生的种种学习表现：课堂听讲时，非常注重记笔记，有些学生一节课下来把学案上写的满满的；课下答疑时，拿着稍有变式的题目，疑惑的问老师“为什么与课上讲的类型不同，该如何求解”；考试结束后，看着一道道熟悉又陌生的题目出现各种错误而内疚自责，这些经历使学生逐步惧怕数学，更有甚者，由“怕”生“厌”，致使数学成绩一落千丈。根据上述学生的学习状况，再结合着数学学科的特点，分析其原因主要在于，常规的教学模式对于学生思想的引导较少，这样不利于学生对于数学思想的理解，也不利于学生对方法原理的切实掌握与灵活运用，导致学生自然不会运用这些思想与方法来应对同类型题目的各种变式。因此，我以高中数学“数学归纳法”为例，重在引发学生在思考、探究中理解、掌握数学归纳法的思想过程与方法原理，尝试改善上述状况。数学归纳法是数学中重要的证明方法，有限把握无限的工具，在数学研究、数学教学中发挥重要作用，是其它方法难以替代的。它提供给人类把握无限，实现有限到无限的严谨的理论依据与有效的推理步骤，对于“数学归纳法”由特殊到一般，由有限到无限的思想需要在高中数学教学中逐步渗透。因此，为了更好引导学生去思考数学归纳法的原理，本节内容通过有趣的历史故事、游戏活动及生活实例，如古代的烽火台，进行一个接一个的接力传递，把发生敌情的紧急消息传递出去，从而赢得宝贵时间，从容应对敌人；中国人逢年过节、喜庆热闹之时放的长长鞭炮。这些实例比较形象地表现出数学归纳法中的重要特征递推关系。这些实例先吸引学生的兴趣，然后引导学生通过思考与讨论，探讨其原理，并使学生能够感受到数学归纳法的智慧和魅力，而且也能增强他们逻辑推理与问题论证的能力。在上述教学理念的指导下，对“数学归纳法”这节内容的主要教学设计体现在问题情境的设计“多米诺骨牌实验”，通过三个场景引导学生分析该实验的原理，再类比出数学归纳法的原理与步骤。场景1，用小手推倒了1号骨牌，然后2号骨牌、3号骨牌，紧跟着全部倒下，这时让学生分小组讨论为什么会出现这个结果。在这一环节中，先让学生从现象上描述实验成功的过程，而对现象本质的认识可能是比较浅显的，但必要的讨论为下面的环节中本质的呈现奠定了基础。1234567图1场景2，骨牌的间距和实验1相同，用小手推1号骨牌，没有推倒，2号骨牌、3号骨牌，以及后面的骨牌自然也就没有倒下，即游戏失败。这时让学生对比实验1和2，讨论游戏失败的原因，从而得到游戏成功的第一个必要条件，即1号骨牌必须被推倒。1234567图2场景3，骨牌的间距出现分化，1号骨牌与2号骨牌的距离拉开足够大，其它骨牌间距不变（同实验1），这时用小手推倒了1号骨牌，但2号骨牌没有倒下，3号骨牌、4号骨牌，自然也就没有倒下，即游戏失败。同样让学生对比不同的实验及其结果，分析原因。这时，学生得到的结论往往停留在具体的骨牌上，即1号骨牌倒下没有带动2号骨牌倒下导致了失败，而学生对其中的任意性很难提炼出来，继续下去，如图4，再将2号骨牌与3号骨牌、3号骨牌与4号骨牌的间距先后拉开足够大，重复实验3，如此反复几次后，学生不难悟出游戏成功的第二个必要条件，即若k号骨牌倒下，则一定有k+1号骨牌倒下。这可以为有限步骤完成无限递推的原理有较好的具体验证，以突破本节课的难点。1234567图31234567图4通过上述三个实验，学生分析的结果是下列表格中的第一列内容，第二列内容多米诺效应应该满足的条件，是将学生的描述进行适当修正，但原理是学生自己发现的，我还记得当时他们讨论问题时的热情和被我肯定时的欣喜，其热情与欣喜在于这节课改变了“老师教，学生听”的模式，这让学生经历了从现象到本质的挖掘，最终发现了新知识，大大增强了他们的自信心，更大大改善了学生学习的兴趣。第三列是类比多米诺效应得到的数学归纳法的步骤，对于其原理学生也较为容易理解与掌握。多米诺游戏多米诺效应数学归纳法若摆放恰当，则游戏成功，一倒全倒；若摆放不恰当，则游戏失败，只有部分骨牌倒下或者都没倒下；（1） 第1块倒下（2） 若某一块倒下，则后一块倒下满足上面两个条件的所有骨牌一定都倒下（1） 当时真（2） 假设时命题为真，则时命题也真做了以上两件事（证明），命题对一切正整数都成立本节课临近尾声时，我问学生如果用一个关键词总结本节课所学的重要内容，竟然有部分学生回答道“递推”，我当时被学生的答案所感动，同时也让我更加坚信，在应试的选拨体制下，应试能力虽必不可少，但若在此过程中，先通过各种形式提高学生的兴趣，再在思考与探讨中，适当渗透数学思想，让学生逐步体会到数学之美，