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第一章 随机变量习题一7、设一个工人生产了四个零件，表示事件“他生产的第i个零件是正品”，用,的运算关系表达下列事件.(1)没有一个产品是次品； (1) (2)至少有一个产品是次品；(2) (3)只有一个产品是次品；(3) (4)至少有三个产品不是次品4)8. 设 E、F、G是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ： (1)(2) （3） 解 :(1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 12. (1)设事件A , B的概率分别为 与 ，且 A 与 B 互 斥，则 = . (2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸3只球 ，则取到的3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 _。 (3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率 等于 _。 (4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E的三个相互独立的事件， 已知P(A1) = a , P(A2) = b，P(A3) = g ，则A1 , A2 , A3 至少有一个 发生的概率是 1(1a)(1 b)(1g) . (5) 一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球， 则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 _。 19、(1)已知，求(2)已知，求 解: (1)(2)28、设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000 个男人和 2000个女人中任意抽查一人， 求 这 个 人 是 色 盲 者 的 概 率。解: A ：“ 抽到的一人为男人”；B ： “ 抽到的一人为色盲者” 则 29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n只白球，m只红球；乙袋中装有N只白球，M只红球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？ 解：设表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件，所求事件由全概率公式：易知：于是32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品， 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ？解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙 ，丙 ，丁厂生产 ” B ： “ 所 取 一 个 元 件 为 不 合 格 品 ” 则 ， ， ， ， ， ， 由 全 概 率 公 式 : = 由 贝 叶 斯 公 式 :故 该 盒 产 品 由 乙 厂 生 产 的 可 能 性 最 大第2章一维随机变量 习题2一. 填空题：2.设 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 为 则 P 0x1 = _。 解： P 0x0， 则 C 的 值 应 是 _ e-l_。解： 5 设 随 机 变 量 x 的 分 布 律 是 则 = 0.8 。解： 令 得 20、设连续型随机变量X的分布函数为求(1)常数A,B(2)(3)概率密度解: (1)(2)(3)21、某种型号的电子管寿命X(以小时计)，具有如下概率密度： 现有一大批此种电子管(设各电子管损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？并求.解：设使用寿命为x小时，所求事件的概率：再求23、设顾客在银行的窗口等待服务的时间X(以小时计)服从指数分布，其概率密度为 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求.解：29、设电流是一个随机变量，它均匀分布在9安11安之间，若此电流通过2欧姆的电阻，在其上消耗的功率为，求的概率密度.解：由题意I的概率密度为对于由于，所以当时，其分布函数，故的概率密度；30、设 正 方 体 的 棱 长 为 随 机 变 量 x ，且 在 区 间 ( 0 ， a ) 上 均 匀 分 布 ， 求 正 方 体 体 积 的 概 率 密 度 。 ( 其 中 a 0 )解: 正 方 体 体 积 h = x 3 函 数 y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 数 h 的 概 率 密 度 为 31. 设 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为 求 随 机 变 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。解：函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y ， 当 x 在 ( 0 ， + )上 变 化 时 ， y 在 ( ， + ) 上 变 化 ， 于 是 h 的 概 率 密 度 为 第三章多维随机变量及其分布6、随机变量的分布如下，写出其边缘分布.01231003009、如果随机变量的联合概率分布为12312则应满足的条件是 ；若与相互独立，则 ， . 10、设相互独立，则的联合概率密度 ，的概率密度 .12、 设 ( x 、 h ) 的 联 合 分 布 函 数 为 则 A =_1_。二、证明和计算题6、设随机变量的密度函数为 (1)确定常数(2)求的分布函数(3)求解：(1)(2)(3)9、随机变量的分布函数为求：（1）边缘密度；（2）验证X,Y是否独立。解：（1）， . , (2) 因为，故与是相互独立的.10、一电子器件包含两部分，分别以记这两部分的寿命(以小时记)，设的分布函 数为(1)问和是否相互独立？ (2)并求解：(1) 易证，故相互独立.(2)由(1)相互独立11、设 随 机 变 量 (x , h)的 分 布 函 数 为 求：( 1 ) 系 数 A , B及 C的 值 ， ( 2 ) (x , h)的 联 合 概 率 密 度 j(x , y)。解：( 1 ) 由 此 解 得 ( 2 ) 13第4章 随机变量的数字特征一、填空题3、已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数n= 6 , p= 0.4 .4、已知服从，则. = 1 ,= 1/2 .5、设的分布律为012则9/4 .6、设相互独立，则协方差 0 . 这时，之间的相关系数 0 .8、是随机变量的相关系数，当时，与 不相关 ，当时， 与 几乎线性相关 .9、若，且相互独立，则 36 .10、若为常数，则.13、若，则 12 ， 85 ， 37 .二、计算题5、设连续型随机变量的分布函数 求 、. 解: 为连续型随机变量， 为连续函数. 可解得; , .的概率密度 =0 令 ，则 8、设随机变量、，求、.解: 显然 所以 . 123-10.20.1000.100.310.10.10.111、设随机变量的密度函数为 求. 解: ： =.15、设区域为，二维随机变量服从上的均匀分布，判断、 的相关性、独立性.解: 显然，二维随机变量的概率密度函数为 所以 因此 同样可得 又 所以 故、不相关，但由于 所以与不相互独立.19、设相互独立求的相关系数. (其中是不为0的常数)解： 因为相互独立，所以 所以 第 5 章 大数定律与中心极限定理一、 填空题：3. 设随机变量相互独立且同分布, 而且有, , 令, 则对任意给定的, 由切比雪夫不等式直接可得 .解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量满足：与都存在, 则对任意给定的, 有, 或者由于随机变量相互独立且同分布, 而且有 所以4. 设随机变量X满足：, 则由切比雪夫不等式, 有. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足, 则对任意 的, 有由此得5、设随机变量，则 .二计算题：8(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95?解：(1)设表示正常工作的元件数，则，由中心极限定理可知(2)设表示正常工作的元件数，则 9一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm ，均方差为0.05 mm，规定总长度为20 0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已 知 ：( 0.6 ) = 0.7257；( 0.63 ) = 0.7357。解：设 每 个 部 分 的 长 度 为 Xi ( i = 1, 2, , 10 ) E ( Xi ) = 2 = m, D( Xi ) = s2 = ( 0.05 ) 2 ,依题意 ，得合格品的概率为 10计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相 互独立的随机变量，并且都在区间0.5，0.5 上服从均匀分布，求1200个数相加时误 差总和的绝对值小于10的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772。解：设 x1 ， x2 ， xn 表示取整误差, 因它们在 0.5 ，0.5 上服从均匀分布 ， 故 有 根 据 同 分 布 的 中 心 要 极 限 定 理 ， 得 =( 1 ) (1 ) = 2 ( 1 )1= 2 0.84131 = 0.682613. 保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为100元, 每被保险人出事赔付金 额为2万元. 根据统计, 这类被保险人年出事概率为0.000 5. 这个新保险品种预计需 投入100万元的广告宣传费用. 在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参 保, 才能使保险公司在该年度获利超过100万元的概率大于95%？解：设参保人数为N人, 则由第六章 数理统计的基本概念一.填空题1.若是取自正态总体的样本， 则服从分布 .2.样本来自总体则 ； _。其中为样本均值，。3.设是来自正态总体的简单随机样本， ，则当 时， 时，统计量服从分布，其自由度为 2 . 6. 设随机变量, 随机变量, 且随机变量X与Y相互独立, 令, 则F(1,n)分布. 解：由, 得. 因为随机变量, 所以 再由随机变量X与Y相互独立, 根据F分布的构造, 得9.判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”) (1) 若 总 体 的 平 均 值 m与 总 体 方 差 s2 都 存 在 ， 则 样 本 平 均 值 是 m 的 一 致 估 计。 ( 对 ) (2) 若 则 称 为 q 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 )(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在， 是X 的一个样本 ， 则统计量是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )(4) 若 且 则 以 估 计 q 较 以 估 计 q 有 效 。 ( 错 ) (5) 设为q 的估计量，对任意e 0，如果 则称 是q 的一致估计量 。 ( 对 ) （6）样本方差是总体中s2 的无偏 估计量。是总体X中s2的有偏估计。 （ 对 ）10.设是取自总体的一个样本，则下面三个均值估计量 都 是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则 最有效.二、选择题2、设是来自正态总体的简单随机样本，则服从自由度为的t分布的随机变量是( B ).A、 B、 C、 D、3、设，为的样本，则( C ).A、B、C、D、4、设是总体的样本，分别是样本的均值和样本标准差，则有( C )A、 B、 C、 D、8. 3、设是来自母体的容量为3的样本，则下列说法正确的是( B ).A、都是的无偏估计且有效性顺序为B、都是的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为C、都是的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为D、不全是的无偏估计，无法比三. 计算题1、在总体中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值在 29到31之间取值的概率.解：因，故，即2、设某厂生产的灯泡的使用寿命(单位：小时)，抽取一容量 为9的样本，其均方差，问是多少？解：因未知，不能用来解题，而，而 由表查得3、设为总体的一个样本，求.解：4、设总体，从此总体中取一个容量为6的样本， 设，试决定常数，使随机变量服 从分布.解：，即时，5、设随机变量服从分布，求的分布. 解：因为，其中，6. 利 用 t 分 布 性 质 计 算 分 位 数 t0.975( 50 ) 的 近 似 值 。 ( 已 知 x N ( 0， 1 ) ， p ( x 1.96 ) = 0.975 ) 解: 当 n 足 够 大 时，t 分 布 近 似 N (0，1), 当 u N (0，1 ) 时 ，分 位 数 u1-a 近 似 t1-a( n ) 。 而 p u u0.975 =0.025 时 ， u0.975 = 1.926 2 ， t0.975 ( 50 ) 27. 设 Xn为 来 自 有 均 值 m 和 r 阶 中 心 矩 mr 的 总 体 X 的 样 本，试证明。又此式说明总体的r阶 矩与样本r 阶矩有什么关系 ？证 ： 上 述 结 果 表 明 总 体 的 r 阶 矩 与 样 本 的 r 阶 矩 相 等 , 说 明 样 本 的 r 阶 中 心 矩 是 总 体 X 的 r 阶 中 心 矩 mr的 无 偏 估 计 。8. 设总体, 为来自总体X的样本. 令.试确定常数C, 使CY服从分布, 并指出其自由度.解：由, 得又互相独立, 故 且二者独立. 从而有 得分布的自由度为2. 9. 设分别是来自正态的总体X与Y的样本,求.解:方法1:由 可得 . 方法2: .10.设 是 取 自 母 体 N ( m，s2 ) ，容 量 为 n的 两 个 相 互 独 立 的 样 本 X1 、X2、 、 Xn 及 Y1、 Y2、 、Yn 的 均 值 ， 试 确 定 n ， 使 这 两 个 样 本 均 值 之 差 超 过 s 的 概 率 大 约 为 0.01 。 ( 已 知 F ( 2.58 ) = 0.995 ) 解 ： 由 于 及 均 服 从 则 要 即 即 即 取 n = 14 第7章 参数估计 -点估计2、设总体服从指数分布 ，是来自的样本，（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.解：（1）由于，令，故的矩估计为（2）似然函数故的极大似然估计仍为。3、设总体，为取自X的一组简单随机样本，求的极大似然估计； 解 (1)似然函数于是，令，得的极大似然估计：.4、设总体服从泊松分布, 为取自X的一组简单随机样本, （1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.解：（1）令，此为的矩估计。 （2）似然函数故的极大似然估计仍为。第七章 参数估计 -区间估计一、选择题1、设总体，未知，设总体均值的置信度的置信区间长度，那么与的关系为( A ).A、增大，减小B、增大，增大C、增大，不变D、与关系不确定2、设总体，且已知，现在以置信度估计总体均值，下列做法中一定能使估计更精确的是( C ).A、提高置信度，增加样本容量B、提高置信度，减少样本容量C、降低置信度，增加样本容量D、降低置信度，减少样本容量二、计算题1、设总体，当样本容量时，测得，求未知参数的置信度为0.95的置信区间. 解：的置信区间为的置信区间为。2、设总体已知要使总体均值的置信水平为的置信区间的长度不大于，问需要抽取多大容量的样本。解：的置信区间为，3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径，现从某批产品