苏教版选修2-1导数与定积分--1.3.2极值点2

1 3 2函数的极值与导数 2 练习册P20 一 复习 1 设函数y f x 在x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都大 我们说f x0 是函数y f x 的一个极大值 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 我们说f x0 是函数y f x 的一个极小值 极大值与极小值统称极值 2 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极小值 3 理解函数极值的定义时应注意以下几点 1 函数的极值是一个局部性的概念 极值点是区间内部的点而不会是端点 2 若f x 在某区间内有极值 那么f x 在某区间内一定不是单调函数 即在区间上单调的函数没有极值 3 极大值与极小值没有必然的大小关系 即极大值不一定比极小值大 极小值不一定比极大值小 4 函数f x 在某区间内有极值 它的极值点的分布是有规律的 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 一般地 当函数f x 在某区间上连续且有有限极值点时 函数f x 在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的 5 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充分条件 6 极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到 4 确定函数的极值应从几何直观入手 理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的相互关系 掌握利用导数判断函数极值的基本方法 例1 已知函数f x x3 ax2 b 1 若函数f x 在x 0 x 4处取得极值 且极小值为 1 求a b的值 2 若 函数f x 图象上的任意一点的切线斜率为k 试讨论k 1恒成立的充要条件 解 1 由得x 0或x 4a 3 故4a 3 4 a 6 由于当x0时 故当x 0时 f x 达到极小值f 0 b 所以b 1 2 等价于当时 3x2 2ax 1恒成立 即g x 3x2 2ax 1 0对一切恒成立 由于g 0 1 0 故只需g 1 2 2a 0 即a 1 反之 当a 1时 g x 0对一切恒成立 所以 a 1是k 1成立的充要条件 例2 已知f x ax5 bx3 c在x 1处有极值 且极大值为4 极小值为0 试确定a b c的值 解 由题意 应有根 故5a 3b 于是 1 设a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 2 设a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 练习1 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值为10 求a b的值 解 3x2 2ax b 0有一个根x 1 故3 2a b 0 又f 1 10 故1 a b a2 10 由 解得或 当a 3 b 3时 此时f x 在x 1处无极值 不合题意 当a 4 b 11时 3 111时 此时x 1是极值点 从而所求的解为a 4 b 11 例3 已知函数f x 满足条件 当x 2时 当x 2时 求证 函数y f x2 在处有极小值 证 设g x f x2 则 故当时 x2 2 由条件 可知 即 当时 x2 2 由条件 可知 即 又当时 所以当时 函数y f x2 取得极小值 为什么要加上这一步 练习已知 1 证明 f x 恰有一个极大值点和一个极小值点 2 当f x 的极大值为1 极小值为 1时 求a b的值 解 1 令 得 ax2 2bx a 0 4b2 4a2 0 故有不相等的两实根 设 又设g x ax2 2bx a 由于 a 0 g x 的图象开口向下 g x 的值在 的右正左负 在 的左正右负 注意到与g x 的符号相同 可知 为极小值点 为