凸函数的性质与应用.doc

学号：20095031390 学年论文（本科）学 院 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2009级 姓 名 zym 论文题目 凸函数的性质与应用 指导教师 555 职称 副教授 成 绩 2011 年06月10日 目 录摘 要.2关键词.2Abstract .2Keywords.2前 言.21 凸函数的定义.22 凸函数的性质.42.1 为上凸函数的充要条件.42.2 为区间上的可导函数的相关等价论断.43 凸函数的应用.6参考文献.7 函数的性质与应用 学生姓名: * 学号: 20095031390数学与信息科学学院 数学与应用数学指导教师: * 职称: 副教授摘 要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用关键词：凸函数;性质;应用The properties and application of convex functionAbstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of the properties and application.Key word: the definition of convex function; properties; application前言我们已经熟悉函数和的图象,它们不同的特点是:曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小.1 凸函数的定义定义1 设为定义在区间上的函数,若对上任意两点,和任意实数总有， 则称为上的凸函数.反之,如果总有, 则称为上的凹函数. 如果若、中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.例1 证明:为上凸函数的充要条件是对任何,函数为上的凸函数.证 (必要性) 若为上的凸函数,则,有 ，因此是上的凸函数.(充分性) 若是上的凸函数,则 , 则有对 ,不妨设 ,取,使 , 并记易知 . ,则 ，即是上的凸函数.2 凸函数的性质2.1 为上凸函数的充要条件引理1 为上的凸函数的充分必要条件是:对于上的任意三点,总有 引理2 为上的凸函数的充分必要条件是:对于上的任意三点,总有 2.2 为区间上的可导函数的相关等价论断定理1 设为区间上的可导函数,则下述论断互相等价: 为上凸函数; 为上的增函数; 对上的任意两点有.注意 论断的几何意义是:曲线上任意一点处的切线(如果存在)总是在它的任一切线的上方，这是可导凸函数的几何特征.定理2 设在区间上二阶可导,则有 在上为凸函数, 定理3 设是区间上的可微凸函数,则有 是的极小值点.例2 证明:在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么若在内，则在上的图形是凸的. 证 设和为内任意两点,且,记 , , 则, 由拉格郎日中值公式得,其中. 两式相减,即得.对在区间上再次利用拉格郎日中值公式可得, 其中, , 故有,即 ,则 ,所以在上的图形是凸的.定理4 设是开区间上的一个凸函数,若,则在上满足利普希茨条件.证: 当取定后,由于是开区间,必能在中选取四点满足应用引理2，任取，得到.现令 ,则有, 由于上述常数与中的点无关,因此在上满足利普希茨条件: 使, .由在上的任意性，证得在的任意内闭区间上都满足利普希茨条件.注 由定理4和引理2,可得以下两个重要推论:推论1 若在开区间上为凸函数,则在中处处连续.推论2 若在开区间上为凸函数,则在中每一点处的左、右导数都存在. 定理5 (詹森(Jensen)不等式) 若为上凸函数，则对任意 ，有 . 3凸函数的应用例2 证明不等式，其中均为正数.证 设.由的一阶和二阶导数，可见,在是为严格凸函数,依詹森不等式有，从而，即，又因，所以.例3 设为开区间内的凸函数,证明在内任一点都存在左,右导数.证 下面只证凸函数在存在右导数,同理可证也存在左导数.设 , 则对 (这里取充分小的,使),由引理中的,有.令,故由上式可见为增函数.任取且,则对任何,只要,也有.由于上式左端式一个定数,因而函数在上有下界.根据定理3极限存在,即存在.参考文献:1华东师范大学数学系.数学分析M. 北京: 高等教育出版社, 2001.2毛羽辉. 数学分析选论M. 北京: 科学出版社, 2003.3李成章, 黄玉民. 数学分析M. 北京: 科学出版社, 1999.4刘斌. 一元分析学M. 北京: 科学出版社,