1997年高考数学题

1997年普通高等学校招生全国统一考试（附答案）数学（理工农医类）第卷（选择题共65分）注意事项:1.答第卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一.选择题:本大题共15小题;第(1)(10)题每小题4分,第(11)(15)题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合M=x0x2,集合N=xx2-2x-30,集合MN= (A)x0x1(B)x0xb0,给出下列不等式: f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);f(b)-f(-a)g(b)-g(-a);f(a)-f(-b)q,且p1,q1. 设cn=an+bn,sn为数列cn的前n项和.求(22)(本小题满分12分) 甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的 运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比, 比例系数为b;固定部分为a元.()全程运输成本把y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;()为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?(23)(本小题满分12分) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点. ()证明ADD1F; ()求AE与D1F所成的角; ()证明面AED面A1FD1;(24)(本小题满分12分) 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足 ()当x(0,x1)时,证明xf(x)1.=p.-7分 ()p1. 0qpbc2,故有a-bcva-bc20, 也即当v=c时,全程运输成本y最小.(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间 想象能力,满分12分. 解:()AC1是正方体, AD面DC1. 又D1F面DC1, ADD1F. -2分 ()取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等, 所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1GD1F. 设A1G与AE相交于点H,则AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以RtA1AGRtABE, GA1A=GAH，从而 AHA1=90,即直线AE与D1F所成角为直角. -5分 ()由()知ADD1F,由()知AED1F,又ADAE=A,所以D1F面AED.又因为D1F面A1FD1,所以 面AED面A1FD1. -7分 ()连结GE,GD1. FGA1D1, FG面A1ED1, AA1=2,(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题 和解决问题的能力.满分12分. 证明:()令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以 F(x)=a(x-x1)(x-x2). -2分 当x(0,x1)时,由于x10,又a0,得 F(x)=a(x-x1)(x-x2)0, 即x0,1+a(x-x2)=1+ax-ax21-ax20. 得 x1-f(x)0. 由此得f(x)x1. -7分 ()依题意知 因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根. -9分 . 因为ax21,所以 . -12分(25)本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分. 解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为b,a. r2=2b2 -2分 又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有 r2=a2+1. 从而得2b2-a2=1. -5分 又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为 -7分 所以 5d2=a-2b2 =a2+4b2-4ab a2+4b2-2(a2+b2) =2b2-a2=1, 当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.-10分 由此有 解此方程组得 由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是 (x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. -12分 解法二:同解法一得 得 将a2=2b2-1代入式,整理得 把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即 =8(5d2-1)0, 得 5d21. 将其代入式得2b24b+2=0.解得b=1. 将b=1代入r2=2b2