一元函数微分学.doc

一元函数微分学一导数和微分的概念及应用【例1】设函数在点处有定义，且证明：函数在处可导，并求证 由已知条件，知其中所以，即所以，函数在处可导，且【例2】已知函数在的某邻域内有连续导数，且试求及.（赛.1995.京）解 将与在的某邻域内展开为一阶麦克劳林公式的形式：则【例3】已知在连续，试讨论在该点的可导性.练习1.求函数的不可导点.2.函数的不可导点的个数为（赛.1998.苏）3.设函数，则【 】（）有且仅有一个不可导点 （）处处可导（）处处不可导 （）有且仅有二个不可导点4.设，则使存在的最高阶导数的阶数为【 】（） （） （） （）5.设可导，欲使在可导，则必有【 】（） （） （） （）（赛.2000.苏）6.设函数则（赛.1994.京）7.设则（赛.1996.苏）8.设函数在点处可导，又，求.9.设函数在点处可导，又，求.10.设求.11.设存在，令，试求并求.12.设，又设在处可导求.二导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则2.熟练掌握求导方法和技巧（1）求分段函数的导数（2）隐函数求导法 对数求导法（3）参数方程求导法 极坐标方程求导法（4）复合函数求导法（5）高阶导数的求法 逐次求导归纳；间接求导法【例1】已知函数由方程组确定，求（赛.2000.苏）【例2】设由确定则（赛.2002.苏）【例3】设函数,证明存在常数,使得当时,恒有并求常数.证 由此得【例4】 （赛.1991.苏）当时，与为同阶无穷小，则解 因为当时，应用马克劳林公式，有于是，即当时，原式为的阶无穷小，故【例5】当时，函数在时关于的无穷小的阶数最高 . (赛.南大)解 因为所以当时, 在时关于的无穷小阶数最小,为五阶无穷小.【例6】给定一般项为的趋于零数列，试求出它的一个等价无穷小量.解 利用的三阶麦克劳林展开式，有故的一个等价无穷小量.【例7】设其中为正整数，则（赛.1991.苏；1999.北航）解 因为令应用莱布尼兹公式，因所以，【例8】设时，求解 应用的马克劳林公式所以因为，故【例9】设求（赛.1988.京建工学院）解 且求导得继续演算几阶导数，去发现规律；先还是去分母，得求导得由以上几式归纳，可假设成立，求导则有，归纳法完成.（1）当为偶数时，由上式及前述结果，有（2）当为奇数数时，有练习1.设则（赛.1997.京科技大）2. 设则3. 设则（赛.1994.京）4. 设则（赛.1998.京）5. 设求（赛.1991.粤）6.（赛.1992.军防化学院） 设试导出关系式并求7.设函数（1）求复合函数的定义域；（2）设求8.已知则（赛.1995.京）9.设则（赛.1996.京）10.已知由方程确定，求.11.设函数由方程确定，求.12.已知，求.13.时与为等价无穷小，则（赛.2004.苏）解 14.已知当时与为等价无穷小，则（赛.1996.苏）15.设函数有二阶连续导数，且求 （赛.1996.京邮电大；1999，北方工大）16.设具有连续的二阶导数，且试求及（赛.1999.京）17. 设则（赛.1994.苏）解 令 因应用莱布尼兹公式得，18.已知则（赛.1996.南大）三微分中值定理及其应用有关中值问题的解题方法（1）证明含一个中值的等式或根的存在，多用罗尔定理，可用原函数法找辅助函数（2）若结论中涉及到含中值的两个不同函数，可考虑用柯西中值定理（3）若结论中含两个或两个以上的中值，必须多次应用中值定理（4）若已知条件中含高阶导数，多考虑用泰勒公式，有时也可考虑对导数用中值定理（5）若结论不为等式，要注意适当放大或缩小的技巧【例1】试证多项式没有重根.（赛.前苏联）证 由于，若设是的根（当然它也是的根），则有所以从而，但以代入题设多项式，得或出现矛盾，可见不是的根，从而没有重根，得证.【例2】设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且有，试证明对任意给定的正数，在内必有不同的两点，使得.证 由介值定理知存在使对函数在与上分别用拉格朗日中值来证之，得与由知对任意给定的正数，在内必有不同的两点，使得.变题 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且有，试证明：在内必有不同的两点，使得.(赛.1994.京)【例3】设函数在闭区间上连续，在开区间内二阶可导，试证明存在使得.证 法1 记则过三点的抛物线为令辅助函数在区间与上用罗尔定理,则使得,对函数在区间上用罗尔定理,即可证明.法2 用泰勒公式变题1.设函数在闭区间上连续，在开区间内二阶可导，试证明存在使得.2. 设函数在闭区间二阶可导，且试证明存在使得【例4】设函数在闭区间上三次可导，试证明存在使得.变题设函数在闭区间上二可导，试证明存在使得【例5】设函数在内具有二阶连续导数且，证明（1）内的任意，存在唯一的，使得成立；（2）(研.2001.)证明（1）任给非零，由拉格朗日中值定理得唯一性的证明用反证法，假设还存在与不相等的使则有由罗尔定理，在与之间必存在使而与矛盾；（2）由麦克劳林公式，有式（1）减去式（2）可得取极限即有故【例6】设且则使得.（赛.1997.京科技大）证 令，则设，并补充定义则有又由题设和复合函数的连续性及可导性，知于是可对在上运用罗尔定理，存在使得记则有，又所以，.【例7】设在可导，且有，证明存在，使得.（赛.1991.京化工大）证 令由题设知且由上题结论，存在使得即.【例8】设函数在上连续，在内可导，且试证：必存在使证明 因为函数在上连续，所以在上连续，且在上有最大值与最小值故由介值定理，至少存在一点，使则函数在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知，必存在使【例9】设函数在上具有二阶可导， ，求证存在，使得（赛.1998.苏）证 设，则，故，使得即，又设则且所以，使得即【例10】设在上可微，且证明存在一点，使得（赛.2000.苏）分析 对函数在区间上用罗尔定理.【例11】设在上连续，在内二阶可导，且满足求证：在上恰好有两个零点.证 因为，则在内不能同号，从而在内至少有一个零点.假设是在内的唯一零点，不妨设当时，当时，则但是矛盾.所以在上至少有两个零点.如果在上至少有三个零点，设为则，则可以证明存在，使得这与矛盾. 所以在上恰好有两个零点.变题1.设在上连续，求证：在内至少有两个零点. （赛.2000.苏）2. 设在上连续，在内可导,且求证：存在使得（赛.1991.苏）【例12】设在上连续，在内二阶可导，求证：（1）在内至少有一点，使得（2）在内至少有一点，使得（赛.2004.苏）分析 （1）对在与上用罗尔中值定理；（其中由知，使）（2）对用罗尔中值定理【例13】设在内存在，且，证明存在一点，使得（赛.1999.陕）证 由公式，得及上两式两边相减后，移项并同除取绝对值得当时，取，否则取，总有【例14】设在上具有二阶导数，且是内任一点，证明（研.1996.京）证 由公式，得两式相减，得故【例15】设函数在内可导，且证明在内有界证 取点，再取异于的点，对在以、为端点的区间上用拉氏中值定理，得（介于与之间）所以可见对任意，即得所证.【例16】设函数在上二阶可导，且证明证明 由公式得两式相减得，所以【例17】设函数在闭区间具有三阶连续导数，且证明在开区间内至少存在一点，使得：（1）（赛.1990.京理工大）（2）（研.1999.）证（1）由泰勒公式，有其中在与之间，取得两式相减，得若或则有这时或都使得中的等号成立，若不妨设则由知取，结论仍成立.综合之结论成立.（2）由，知它在上存在最大值与最小值，从而，再由介值定理，知使得得证.【例18】设在上是导数连续的有界函数，求证：（赛.2006.苏）证 法1 因为，所以从而即法2 令由，所以从而单调减，故而故即令，同理可证综上，【例19】设在上具有二阶连续的导数，且证明：（赛.1994.苏）因所以使在处取得最大值即对函数在区间与分别运用拉格朗日中值定理，使得即，于是令，则在处取得最大值，因此，从而【例20】设在内有且证明：在内有解 由题知，从而有，由公式，得（介于与之间）再由得另解，由题知，令则有以及知当时，当时，故有即【例21】已知在上二次连续可微，证明：其中（赛.1991.苏）证 在的一阶泰勒公式为，其中介于与之间，上式两边积分，得从而练习1.设在上连续，在内可导，且证明至少存在一点使分析 将函数在上利用罗尔定理即可2.设在上连续，在内可导，证明至少存在一点使证明 因为在上满足拉氏中值定理的条件，故有又因及在上满足柯西中值定理的条件，故有，从而可得至少存在一点使3.设函数在上连续，在处可导，且。（1）证明对于任意给定的，至少存在一点，使得；（2）求.4.设在连续,在可导,且若存在,证明(1)在内，(2)存在使(3)存在使四导数的应用1.研究函数的性态增减、极值、凹凸、拐点、渐近线、曲率2.解决最值问题3.其他应用求不定式极限、几何应用，相关变化率，证明不等式、研究方程实根等【例1】就的不同取值情况，确定方程在开区间内根的个数，并证明你的结论.解 设令得唯一驻点因为在和内由负变正，所以是极小值点，也是上的最小值点，其最小值是而最大值是，当即当时，方程有唯一根；当且即当时，方程有两个根；当或即当或时，方程无根.【例2】证明 当时，有.证法1 利用函数的凹凸性设则，所以函数是凸函数，其图形是下凸的又根据凸函数曲线在弦的下方的性质，可知当时，；证法2 利用函数的最值设则令得唯一驻点且说明在取极小值。又由于在上连续，在内可导，且是在内的唯一驻点，从而是的最小值点，并且必是在上的最大值，所以在上有则当时，有即.证法3 利用函数的单调性设则所以，在内，故在内单调减少，由此可知，即.练习1.设,求证.分析：设则又，从而在上为增函数，所以【注】同理2.试比较与的大小（赛.1994.苏）3.为正常数，使得不等式对任意正数成立，求的最小值.（赛.1998.苏）4.过抛物线上一点作切线，问为何值时所作切线与抛物线所围成的图形面积最小？（赛.2000.苏）5.在时有极大值，在时有极小值的最低幂次多项式