【教学设计】《空间两直线间的位置关系 》（人教）

空间中直线与直线之间的位置关系 教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点。异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同。公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念。 教学目标【知识与能力目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。【过程与方法目标】让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识。 【情感态度价值观目标】让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。【教学重点、难点】两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法。 课前准备多媒体课件。 教学过程(一)导入新课（复习导入）平面内两条直线的位置关系有几种位置关系？空间中的两条直线呢？（二)推进新课、新知探究、提出问题什么叫做异面直线？总结空间中直线与直线的位置关系。两异面直线的画法。在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间这个结论成立吗？什么是空间等角定理？什么叫做两异面直线所成的角？什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。讨论结果：异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线。它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明。空间两条直线的位置关系有且只有三种。结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2。图1 图2组织学生思考：长方体ABCDABCD中，如图2, BBAA，DDAA,BB与DD平行吗？通过观察得出结论：BB与DD平行。再联系其他相应实例归纳出公理4。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：ab,bcac。强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用。等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示。如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引aa，bb，则a，b所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。图3针对这个定义，我们来思考两个问题。问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的。若在空间中，再取一点O（图4），过点O作aa，bb，根据等角定理，a与b所成的锐角（或直角）和a与b所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性。注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）。图4在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）。图5（三）应用示例例1 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。图6求证：四边形EFGH是平行四边形。证明：连接EH，因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EH=。同理，FGBD，且FG=。所以EHFG，且EH=FG。所以四边形EFGH为平行四边形。变式训练1、如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD。求证：四边形EFGH是菱形。证明：连接EH，因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EH=。同理，FGBD，EFAC，且FG=,EF=。所以EHFG，且EH=FG。所以四边形EFGH为平行四边形。因为AC=BD,所以EF=EH。所以四边形EFGH为菱形。例2 如图7，已知正方体ABCDABCD。图7(1)哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？(2)直线BA和CC的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线AA垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与BA是异面直线。(2)由BBCC可知，BBA是异面直线BA和CC的夹角，BBA=45，所以直线BA和CC的夹角为45。（3）直线AB、BC、CD、DA、AB、BC、CD、DA分别与直线AA垂直。变式训练 如图8，已知正方体ABCDABCD。图8（1）求异面直线BC与AB所成的角的度数；（2）求异面直线CD和BC所成的角的度数。解：（1）由ABCD可知，BCD是异面直线BC与AB所成的角，BCCD，异面直线BC与AB所成的角的度数为90。（2）连接AD,AC,由ADBC可知，ADC是异面直线CD和BC所成的角，ADC是等边三角形。ADC=60，即异面直线CD和BC所成的角的度数为60。点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法。（四）知能训练1、 判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行。（ ）（2）垂直于同一直线的两条直线平行。（ ）（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。（ ）（4）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等。（ ）（5）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。（）2、填空：1.空间两条不重合的直线的位置关系有 、 、 三种。2.没有公共点的两条直线可能是 直线，也有可能是 直线。3.和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系有 。4.过已知直线上一点可以作 条直线与已知直线垂直。3、如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB=,AD= , AE=2。(1)求BC和E